Estimación e intervalos de
confianza
Capitulo 9
McGraw-Hill/Irwin
©The McGraw-Hill Companies, Inc. 2008
OBJETIVOS






2
Definir un estimador puntual.
Definir nivel de confianza.
Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando se conoce la desviación
estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para la media
poblacional cuando no se conoce la desviación
estándar de la población.
Construir un intervalo de confianza para una
proporción de la población.
Determinar el tamaño de la muestra para un
muestreo de atributos y variables
Estimadores puntuales e intervalos
de confianza de una media


3
Un estimador puntual es un estadístico
calculado a partir de información de la
muestra para estimar el parámetro
poblacional.
Un intervalo de confianza es un conjunto de
valores formado a partir de una muestra de
datos de forma que exista la posibilidad de
que el parámetro poblacional ocurra dentro
de dicho conjunto con una probabilidad
específica. La probabilidad específica recibe
el nombre de nivel de confianza.
Factores que afectan a los intervalos de
confianza.
Los factores que determinan el
ancho del intervalo de confianza
son:
1.El tamaño de la muestra, n.
2.La varianza de la población,
usualmente σ es estimada por s.
3.El nivel deseado de confianza.
4
Interpretación de los intervalos de
confianza.
Para un intervalo de confianza alrededor del 95% se puede esperar que
alrededor de 95% de estos intervalos de confianza contenga la media de la
población. Cerca de 5% de los intervalos no contendrían a la media de la
población. Además el 95% de las medias de las muestras para una muestra
especifica de tamaño dado estarán dentro de 1.96 desviaciones estándar de
la población hipotetica.
5
Características de la distribución t
6
1. Esta distribución, es como la distribución z , una
distribución continua.
2. Es una distribución simétrica y con forma de
campana.
3. No existe una sola distribución de t, mas bien una
famila de distribuciones de t. Todas las distribuciones
de t tiene media 0, pero sus desviaciones estándar
difieren de acuerdo al tamaño de la muestra, n.
4. La distribution t se extiende más y es más plana por
el centro que la distribución normal. Conforme se
incrementa el tamaño de la muestra, la distribución t
se aproxima a la distribución normal estándar, pues
los errores que se cometen al utilizar s para estimar σ
disminuyen con muestras más grandes.
Comparación de las distribuciones t y
z cuando n es pequeña.
7
Intervalo de Confianza Para la Media
Use la distribución Z
Si la desviación
estándar es
conocida o la
muestra es mayor
que 30.
8
Use la distribución t
Si la desviación
estándar no es
conocida y la
muestra es menor
que 30.
Cuando usar la distribución z o t para
el cálculo del intervalo de confianza.
Se supone que la
población es normal
No
Se utiliza la
distribución t
Si
Se utiliza la
distribución z
¿Se conoce la
desviación estándar
de la población?
Determinar cuándo usar la distribución z o la distribución t
9
Intervalo de Confianza para la Media –
Ejemplo usando la distribución t
Un fabricante de llantas desea
investigar la durabilidad de sus
productos. Una muestra de 10
llantas para recorrer 50000
millas reveló una media
muestral de 0.32 pulgadas de
cuerda restante con una
desviación estándar de 0.09
pulgadas. Construya un
intervalo de confianza de 95%
para la media poblacional.
¿Sería razonable que el
fabricante concluyera que
después de 50000 millas la
cantidad media poblacional de
cuerda restante es de 0.30
pulgadas?
10
Dado el problema
:
n  10
x  0 . 32
s  0 . 09
Calcule el I.C. usando la
dist - t (como  es desconocid
X  t  / 2 , n 1
s
n
a)
Tabla de distribución-t Student
Dado el problema:
n =10
Calcule el I.C usando la dist – t
(como σ es desconocida)
X  t  / 2 , n 1
s
n
 X  t .05 / 2 ,10 1
s
 0 . 32  t .025 , 9
0 . 09
 0 . 32  2 . 262
n
10
0 . 09
10
 0 . 32  0 . 064
 ( 0 . 256 , 0 . 384 )
11
Conclusión: El fabricante puede
estar seguro (95% seguro) de que
la profundidad media de las
cuerdas oscila entre 0.256 y 0.384
Intervalo de Confianza para la Media–
Usando Minitab
El gerente del Inlet Square Mall, cerca de Ft. Myers, Florida,
desea estimar la cantidad media que gastan los clientes
que visitan el centro comercial. Una muestra de 20
clientes revela las siguientes cantidades.
¿Cuál es la mejor estimación de la media
poblacional?¿Determine un intervalo de confianza de
95%. Interprete el resultado. ¿Concluiría de forma
razonable que la media poblacional es de $50?¿Y de
$60?
12
Intervalo de Confianza Estimación de la
Media – Mediante Fórmula
Calcule el I.C usando la dist – t (como σ es desconocida)
X  t  / 2 , n 1
s
n
 X  t . 05 / 2 , 20 1
s
 49 . 35  t . 025 ,19
9 . 01
 49 . 35  2 . 093
9 . 01
n
20
20
 49 . 35  4 . 22
Los puntos extremos del intervalo de confianza son $45.13 y $53.57.
Conclusión: Resulta razonable que la media poblacional sea de $50. El
valor de $60 no se encuentra en el intervalo de confianza. De ahí que se
concluya que no es probable que la media poblacional sea de $60
13
Confidence Interval Estimates for the Mean –
Using Minitab
14
Intervalo de Confianza para la Media–
Usando Excel
15
Aproximación de la Distribución
Normal a la Binomial
Para crear un intervalo de confianza para una proporción, es
necesario cumplir con los siguientes supuestos:
1. Las condiciones binomiales, se satisfagan las cuales son:
a. Los datos de la muestra son resultado de conteos.
b. Sólo hay dos posibles resultados (lo normal es referirse a
uno de los resultados como éxito y al otro fracaso).
c. La probabilidad de un éxito permanece igual de una prueba
a la siguiente
d. Las pruebas son independientes. Esto significa que el
resultado de la prueba no influye en el resultado de otra.
2. Los valores de nπ y n(1-π) deben ser mayores o iguales que 5.
Esta condición permite recurrir al teorema del límite central y
emplear la distribución normal estándar, es decir, z, para
completar un intervalo de confianza.
16
Intervalo de Confianza para la
Proporción de una Población
El intervalo de confianza de la
proporción de una población es
cálculado mediante:
p  z / 2
17
p (1  p )
n
Confidence Interval for a Population
Proportion- Example
El sindicato que representa Bottle
Blowers of America (BBA) considera
la propuesta de fusión con
Teamsters Union. De acuerdo al
reglamento del sindicato de BBA,
por lo menos tres cuartas partes de
los miembros del sindicato deben
aprobar cualquier fusión. Una
muestra aleatoria de 2,000
miembros actuales revela que 1,600
planean votar por la propuesta
¿Qué es el estimador de la
proporción poblacional?
Determine un intervalo de confianza de
95% para la proporción poblacional.
Fundamente su decisión en esta
información de la muestra: ¿puede
concluir que la proporción necesaria
de miembros BBA favorece la
fusión? ¿Por qué?
18
Primero,
p 
x

n
Calcule
calcule la proporción
1,600
de la muestra
:
 0 . 80
2000
el I.C de 95%
p (1  p )
C.I.  p  z  / 2
 0 . 80  1 . 96
n
. 80 (1  . 80 )
 . 80  . 018
2,000
 ( 0 . 782 , 0 . 818 )
Conclusión
de fusión,
: Es probable que se apruebe la propuesta
pues el estimador
a 75% de los miembros
incluye
del sindicato.
valores superiores
Factor de Corrección de una
Población Finita



Una población con un límite superior es finita
En el caso de una población finita, en la que el número total de objetos
o individuos es N y el número de objetos o individuos es n, se ajusta el
error estándar de la media y de la proporción:
Sin embargo, si n/N < .05, el factor de corrección de una población
finita puede ser ignorado
Error Estándar
Media

19
x

de la
de una Muestra

n
N n
N 1
Error Estándar
Muestra

p

de la
de una Proporción
p (1  p )
N n
n
N 1
Efecto de el FCP cuando n/N Cambia
Observe que FCP se acerca a 1 cuando n/N se hace más pequeño
20
Fórmulas de Intervalo de Confianza para la
Estimación de Medias y Proporciones con un Factor
de Corrección de una Población Finita
I.C. para la Media ()
X z

n
I.C. para la Media ()
N n
X t
N 1
s
N n
n
N 1
I.C. para la Proporción ()
p z
21
p (1  p )
N n
n
N 1
IC para la Media con FCP Ejemplo
Hay 250 familias en Scandia,
Pennsylvania. Una muestra
aleatoria de 40 de estas
familias revela que la
contribución anual media fue
de $450, y la desviación
estándar, de $75. ¿La media
poblacional puede ser $445 o
$425.
1.- ¿Cual es la media de la
población?¿Cuál es el mejor
estimador de la media
poblacional?
2.- Analice la razón por la que se
debe emplear el factor de
corrección para una
población finita.
3.- Construya un intervalo de
confianza de 90% para la
media de la población?
4.- Interprete el intervalo de
confianza.
22
Dado en el Problema:
N = 250
n = 40
s = $75
1.- No conoce la media poblacional, que es el
valor que quiere calcular. El mejor
estimador de la media poblacional es la
media de la muestra, que es de $450.
2.- Como n/N = 40/250 = 0.16, el FCP debe ser
usado.
3.- La desviación estándar de la población no
es conocida por eso se utiliza la
distribución t (puede usar la distribución z
debido a que n>30)
Use la fórmula de abajo para calcular el
intervalo de confianza
X t
s
n
N n
N 1
IC Para la Media con FCP - Ejemplo
X t
s
N n
n
N 1
 $ 450  t .10 , 40 1
 $ 450  1 . 685
$ 75
250  40
40
250  1
$ 75
250  40
40
250  1
 $ 450  $ 19 . 98 . 8434
 $ 450  $ 18 . 35
 ($ 431 . 65 ,$ 468 . 35 )
Es probable que la la media poblaciona
En otras palabras,
l sea de más de $431.65
¿la media de la población
e inferior
puede ser de $445? Sí, pero no es
probable que sea de $425. ¿Por qué? Por que el valor de $445 se encuentra
del intervalo
23
de confianza
a $468.35.
y $425 no pertenece
al intervalo
de confianza.
dentro
Elección del tamaño adecuado de
una muestra
El tamaño adecuado de una muestra
depende de tres factores:
 El nivel de confianza deseado.
 El margen de error que tolerará el
investigador.
 La variabilidad de la población que se
estudia.
24
Elección del tamaño adecuado de una
muestra

Para encontrar el tamaño de la muestra:
 zs 
n

 E 
2
donde :
E - es el error admisible
z - es el valor normal estándar correspond iente al
nivel de confianza
s - es la desviación
25
deseado
estándar de la muestra
(para un estudio piloto)
Elección del tamaño adecuado de una
muestra - Ejemplo
Un estudiante de administración pública
desea determinar la cantidad media que
ganan al mes los miembros de los
consejos ciudadanos de las grandes
ciudades. El error a calcular la media
debe ser inferior a $100, con un nivel de
confianza del 95% . El estudiante
encontró un informe del Departamento
del Trabajo en el que la desviación
estándar es de $1,000. ¿Cuál es el
tamaño de la muestra que se requiere?
 zs 
n

 E 
Dado en el problema:

E, el máximo error admisible, es $100

El valor de z para un nivel de confianza
de 95% es1.96,

El estimador de la desviación estándar
es $1,000.
 (19 . 6 )
 1 . 96  $ 1, 000 


$
100


2
 384 . 16
 385
26
2
2
Elección del tamaño adecuado de
una muestra - Ejemplo
Un grupo consumidor desea estimar la media del cargo de
electricidad por familia en Julio con un error de $5 usando un
nivel de confianza de 99%. ¿La desviación estándar es
estimada de estudios similares la cual es $20.00? ¿Qué tan
grande debe ser la muestra?
2
 ( 2 . 58 )( 20 ) 
n
  107
5


27
Tamaño del Muestra Para
Proporciones

La fórmula para determinar el tamaño de la
muestra en el caso de una proporción es:
Z 
n  p (1  p )  
E 
2
donde :
p es estimado
de un estudio
piloto o de alguna
otra fuente,
si no fuera asi puede ser usado 0.50
z - el valor de z - para el nivel de confianza
E - el máximo
28
error permitido.
deseado
Otro Ejemplo
El Club American Kennel desea estimar la proporción de
niños que tiene como mascota a un perro. Si el club
desea que el margen de error sea del 3% de la
proporción de la población ¿cuantos niños tendrán que
contactar? Se requiere un nivel de confianza del 95%
y el club estimó que el 30% de los niños tiene un perro
como mascota.
2
 1 . 96 
n  (. 30 )(. 70 ) 
  897
 . 03 
29
Otro Ejemplo
Un estudiante desea estimar la
proporción de ciudades que
cuantan con recolectores de
basura privados. El estudiante
desea que el margen de error
se encuentre a .10 de la
proporción de la población el
nivel de confianza deseado es
de 90%, y no se encuentra
disponible ningún estimador
para la proporción de la
población. ¿Cuál es el tamaño
de la muestra?
30
2
 1 . 65 
n  (. 5 )( 1  . 5 ) 
  68 . 0625
 . 10 
n  69 ciudades.
Final del Capitulo 9
31
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File - albeiro vergara urango