Funciones crecientes y
decrecientes, y prueba
de la primera derivada
Definición: Definición de función
creciente en un intervalos

Se dice que una función  definida en un intervalo es
creciente en ese intervalo si y solo si
  <   siempre que  <  donde    son dos
números cualesquiera en el intervalo.
Definición: Definición de función
decreciente en un intervalos

Se dice que una función  definida en un intervalo es
decreciente en ese intervalo si y solo si
  >   siempre que  <  donde    son dos
números cualesquiera en el intervalo.
Veamos la siguiente figura.
Veamos la siguiente figura.
Veamos la siguiente figura.
Veamos la siguiente figura.
Teorema

Sea  una función continua en el intervalo cerrado , 
y diferenciable en el intervalo abierto ,  :
(i) Si ´  >  para toda  en
creciente en ,  ;
, 
entonces  es
(ii) Si ´  <  para toda  en
decreciente en ,  .
, 
entonces  es
Veamos la siguiente figura
Teorema: Prueba de la primera
derivada para extremos relativos

Sea  una función continua en todos los puntos del
intervalo abierto ,  que contiene al número  , y
supóngase que ´existe en todos los puntos de , 
excepto, posiblemente, en :
(i) Si ´  >  para todos los valores de  en algún
intervalo abierto que tenga a  como su punto extremo
derecho, y si ´  <  para todos los valores de  en algún
intervalo abierto que tenga a  como su punto extremo
izquierdo, entonces  tiene un valor máximo.
Teorema: Prueba de la primera
derivada para extremos relativos

Sea  una función continua en todos los puntos del
intervalo abierto ,  que contiene al número  , y
supóngase que ´existe en todos los puntos de , 
excepto, posiblemente, en :
(ii) Si ´  <  para todos los valores de  en algún
intervalo abierto que tenga a  como su punto extremo
derecho, y si ´  >  para todos los valores de  en algún
intervalo abierto que tenga a  como su punto extremo
izquierdo, entonces  tiene un valor máximo.
Veamos la siguiente figura
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