¿Cómo se construye el intervalo de
confianza para la proporción
poblacional(P) con una muestra
aleatoria?
Desarrollemos el ejercicio
siguiente:
Planteamiento

Objetivo:
•
Construir el intervalo de
confianza
para
la
proporción P con una
muestra aleatoria.
 Ejercicio:
“En
el
sondeo
más
reciente
de
la
encuestadora GPS se
obtuvo
que
a
447
electores
José
Rodríguez(A) les inspira
personalmente
mucha
confianza, mientras que
Marino Rojas(B) inspira
mucha confianza a 478
electores de un total de
2478
personas
encuestadas. ¿Cuál sería
el intervalo de confianza
al
95%
para
la
proporción de cada uno?”
Revisemos
 ¿Cuáles son los
datos?
Revisemos el
enunciado del
ejercicio y
apuntemos los
datos en el
recuadro de la
izquierda.
Cálculo de las proporciones

Los datos y resultados
son:

Proporciones
muestrales:
 Rd = 447/2478 = 0,180
 Ro = 478/2478 = 0,193

Número de casos:
2478
Rojas inspira confianza
a un 19,3 % de las
personas encuestadas
y
Rodríguez
a
un
18,0%.
Recordemos: p=x/n
En el sondeo más
reciente
de
la
encuestadora GPS se
obtuvo que a 447
electores
José
Rodríguez(A) les inspira
personalmente mucha
confianza, mientras que
Marino Rojas(B) inspira
mucha confianza a 478
electores de un total de
2478
personas
encuestadas.
¿Cuál
sería el intervalo de
confianza Recordemosal
95% para la proporción
de cada uno?
Recordemos
 La pregunta es:
 ¿Cuál sería el intervalo de confianza al
95% para la proporción poblacional de
cada candidato(A y B)?.
Veamos paso por paso
 ¿Qué pasos
debemos dar
para responder
la pregunta?.
Indiquemos los
pasos a
continuación:
1.
2.
3.
4.
Describámoslos

¿Qué debemos hacer para
responder la pregunta?.
1. Conocer los supuestos
que debemos aplicar.
Los pasos son los siguientes:
Los símbolos que emplearemos para
referirnos a los parámetros ( población) y a
las estadísticas ( muestra) son:
2. Aplicar la fórmula
adecuada (en función
de los supuestos) para
la construcción del
intervalo.
3.
Realizar el cálculo.
4. Interpretar resultado.
Supuestos
1.
1.
Conocer los supuestos que
debemos aplicar
2.
1.
En el ejemplo:
p n ≥ 5 es 478 (cumple la condición)
(1-p) n ≥ 5 es 2000 (cumple la condición),
luego n es grande
En el sondeo GPS la población de interés es la
población electoral del país, luego es muy grande
2.
3.
Debemos saber si la muestra tiene un
tamaño grande
a)
Si la muestra tiene un tamaño grande
podemos aplicar la Ley de los Grandes
Números. Para saber si n es grande
deben cumplirse estas dos condiciones:
1. p n ≥ 5
2. (1-p) n ≥ 5
b)
Si la muestra es pequeña no podemos
construir el intervalo de confianza
(tendríamos que aplicar otros métodos
alternativos no explicados en la
asignatura).
Debemos conocer si trabajamos con una
población finita
a)
La norma que empleamos para saber si
la población es finita es que el número
de casos sea inferior a 100.000 (en este
caso debemos comprobar el paso 3)
b)
Si la población es mayor de 100.000
(infinita) no debemos comprobar el
paso 3.
Debemos conocer si trabajamos
con una muestra con reemplazamiento o
sin reemplazamiento
a)
En poblaciones finitas si el muestreo es
sin reemplazamiento hay que aplicar la
corrección respectiva.
b)
En poblaciones finitas si el muestreo es
con reemplazamiento no hay que
aplicar tal corrección .
¿Cómo se construye el intervalo de confianza
para la proporción con una muestra?
2. Aplicar la fórmula adecuada (en función de los supuestos) para
la construcción del intervalo
n es grande (Ley de los Grandes
Números).
Población infinita
n es grande (Ley de los Grandes
Números).
Población finita (muestreo sin
reemplazamiento)
El valor z se establece en función
del nivel de confianza (en el
ejemplo: 95%) y se obtiene en la
tabla de la curva normal.
z=1,96 se relaciona con un área de 0,475. Al
ser simétrica la curva supone un área de
0,475x2=0,950, es decir, un 95% de
probabilidad o nivel de confianza.
¿Cómo se construye el intervalo de confianza
para la proporción con una muestra?
2. Aplicar la fórmula adecuada (en función de los supuestos) para
la construcción del intervalo y 3. Realizar el cálculo
En nuestro ejemplo, al ser una
población infinita y un n grande
optamos por la fórmula:
Proporciones:
Rd = 447/2478 = 0,180
Ro = 478/2478 = 0,193
Número de casos:
2478
Z95=1,96
IC (π)= 0,180 ± 0,015
IC (0,165 ; 0,195) para Rd
IC (π)= 0,193 ± 0,016
IC (0,177 ; 0,209) para Ro
¿Cómo se construye el intervalo de confianza
para la proporción con una muestra?
4. Interpretar resultado
Hemos obtenido que el IC95
es (0,165 ; 0,195) para Rd y
(0,177 ; 0,209) para Ro es
decir: la probabilidad que
el intervalo construido
comprendido entre esos
valores contenga el
verdadero valor del
parámetro P,es del 95%.
Por lo tanto, entre un 16,5% y un
19,5% confía en José Rodríguez y
entre un 17,7% y un 20,9% confía
en Marino Rojas .
Puesto que ambos intervalos se
solapan se trata de un empate
técnico. El nivel de confianza de
ambos intervalos es del 95%
Prueba de hipótesis para una
proporción(P)
 Supongamos que un portavoz del
partido A haya señalado que en
Rodríguez confía una de cada
cinco personas esto es, el 20%.
 El sistema de hipótesis quedaría
planteado como sigue:
 H0:
P = 0,20
 H1:
P ≠ 0,20
Prueba de hipótesis para una
proporción(P)
 Se establece un nivel de significación(α)

Habitualmente α = 0,05 (5%)
 Se plantea un estadístico de prueba
Que sigue una distribución N(0,1)
 Se establece la región de rechazo
La región de rechazo, con un nivel de significación de 0,05
se situaría fuera del intervalo de valores z (-1,96;1,96)
Prueba de hipótesis para una
proporción(P)
 Cálculo
 Z* = (0,180-0,200) / 0,008 = -2,5
 Contraste
 -2,5 es menor que -1,96 por lo que
pertenece a la región de rechazo.
 Decisión: Se debe rechazar la
hipótesis nula(Hο).
Rodríguez no recibe la confianza de una de cada cinco
personas, con un nivel de significación del 0,05%.
Prueba de hipótesis para una
proporción(P)
 ¿y qué ocurre con Rojas?
 Las hipótesis, la región de rechazo y el
estadístico de contraste, son idénticas.
 El valor de z* es:
z* = (0,193-0,200) /0,008= -0,88
 -0,88 es mayor que -1,96 por lo que no
pertenece a la región de rechazo. En este caso sí
se podría afirmar, que Rojas recibe la
confianza de una de cada 5 personas . La
muestra con ese nivel de significación(α),
no es capaz de aportar la información
necesaria para rechazar la Hο.
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