SESION Nº 03
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En la práctica de la ingeniería y ciencias, es muy frecuente él tener que
resolver ecuaciones del tipo f(x)=0. En estas ecuaciones se requiere
conocer el valor ó valores que hacen cero la ecuación. El procedimiento
común a seguir es intentar despejar la variable x. Desafortunadamente,
en la mayoría de los casos prácticos esto es virtualmente imposible.
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Los valores que hacen que una función y=f(x) sea 0, se conocen con el
nombre de raíces ó ceros de la ecuación.
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Existen tres tipos de métodos para resolver este tipo de ecuaciones.
◦ Método analítico._ Consiste en despejar la variable x en función de y.
◦ Método gráfico._ Busca trazar la gráfica de y=f(x)
◦ Método numérico._ Genera una sucesión de valores, que se aproxima a la solución,
en este caso a la raíz.
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Si en un intervalo cerrado [a,b], la función f(x)
es continua y además f(a) tiene signo opuesto
al de f(b), es decir, existe un cambio de signo
(CS), entonces por lo menos existe una raíz
en [a,b].
Ejemplo: Grafique y encuentre los valores que
cumplan el Teorema del Cambio de Signo.
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•.
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Este método es de los más antiguos. También se
le denomina método de Bolzano, quien fue el
primero en proponerlo. Para poder aplicarlo se
requieren las siguientes condiciones:
◦ Conocer un intervalo [x0,x1] que cumpla el TCS.
◦ La raíz debe de ser única.
Proceso.1. Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1).
2. Hallamos el punto medio:
3. Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos
[x0,x2] y [x2,x1], para seleccionar al que cumpla con el
TCS. (Supongamos [x0,x2])
4. Luego, buscaremos el siguiente punto medio x3 y así
repetiremos el mismo procedimiento hasta que f(xn)=0
o hasta llegar a un punto de tolerancia según el
criterio de convergencia.
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Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16
◦ Punto Medio (1+2)/2=1.5, luego f(1.5)=2.875
◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1,1.5]
◦ cc1 = no existe en la primera iteración.
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Para el intervalo [1,1.5]: f(1)= -7 y f(1.5)= 2.875
◦ Punto Medio (1+1.5)/2=1.25, luego f(1.25)=-2.421875
◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.5]
◦ cc2 =
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no cumple con la tolerancia.
Para el intervalo [1.25,1.5]: f(1.25)= -2.421875 y f(1.5)= 2.875
◦ Punto Medio (1.25+1.5)/2=1.375, luego f(1.375)=0.130859375
◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.25,1.375]
◦ cc3 =
no cumple con la tolerancia.
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Requiere un intervalo que cumpla los mismos supuestos que el
método de Bisección. En lugar de obtener el punto medio en
cada iteración, el método busca reemplazar la función original
por otra a la cual sea más simple localizar su raíz.
Proceso.-
1.
Desarrollamos y0=f(x0) y y1=f(x1).
2.
Hallamos siguiente punto convergente:
3.
Evaluamos y2=f(x2). Entonces se tendrá los intervalos [x0,x2] y [x2,x1],
para seleccionar al que cumpla con el TCS. (Supongamos [x0,x2]).
4.
Luego, buscaremos el siguiente punto convergente x3 y así repetiremos
el mismo procedimiento hasta que f(xn)=0 o hasta llegar a un punto de
tolerancia según el criterio de convergencia.
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Para el intervalo [1,2]: f(1)= -7 y f(2)= 16
◦ Nuevo x =
luego f(1.304347826) = -1.3347579518
◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.304347826,2]
◦ cc1 = no existe en la primera iteración.
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Para el intervalo [1.304347826,2] : f(1.304347826)= -1.3347579518 y
f(2)= 16
◦ Nuevo x =
, luego f(1.35791)= -2.22913
◦ Por la TCS el nuevo intervalo es: [1.35791230465787,2]
◦ cc2 =
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no cumple.
Luego repetimos (iteraciones) el mismo procedimiento hasta que f(x) = 0
ó hasta que cumpla con la tolerancia solicitada. El siguiente cuadro nos
muestra los resultados de tales iteraciones.
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La idea de este método es similar a la del método de
Regula Falsi. Este método emplea también una línea recta
para aproximarse a la raíz. En vez de usar un intervalo que
cumpla el TCS.
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Para esto evaluamos la función en x2 obtendremos
y2=f(x2). En vez de considerar intervalos, simplemente
despreciamos el punto (x0,y0) y utilizamos el intervalo
[x1,x2].
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Nuevamente usaremos la ecuación de Leonardo. Consideremos como puntos
iniciales, el intervalo [1,2]. Iniciando con los puntos (1,-7), (2,16)
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Obtenemos 1.30434782608696 con y=-1.33475795183693. Como no se cumple
el criterio de convergencia realizamos otra iteración.
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Se emplean los puntos (2,16) y (1.30434782608696,-1.33475795183693) y se
obtiene 1.35791230466 con y= -.22913572958733. Como no se cumple el
criterio de convergencia realizamos otra iteración.
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Se
emplean
(1.35791230466,
los
puntos
)
y
se
(1.30434782608696,-1.33475795183693)
y
obtiene
=
1.36901332599257
4.32956831210518E-3.
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El procedimiento se repite hasta alcanzar la convergencia
con
y
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raíces de ecuaciones no lineales