MATEMÁTICAS
FINANCIERAS
Valor del Dinero en el Tiempo
•Es el cambio en la cantidad de dinero en un período de tiempo.
•Ej: Si invertimos dinero hoy mañana habremos acumulado más
dinero que el que teníamos originalmente. ¿Por qué?
•Una persona que cuenta con dinero para gastarlo hoy, estará
dispuesta a esperar por hacer uso de este derecho sólo si se lo
compensa debidamente por éste sacrificio.
•Una persona que hoy no cuenta con dinero, pero que si lo
tendrá en el futuro, estará dispuesta a pagar por tener el
privilegio de contar con este dinero hoy.
Valor del dinero
El valor del dinero se refiere al poder adquisitivo que éste tiene
en el tiempo.
La manifestación del valor del dinero en el tiempo se conoce
como interés.
Interés = Monto Final – Principal Original
Al capital también se le conoce como Principal, valor presente
ó valor actual.
Sinónimos de monto son: Valor futuro, valor acumulado,
montante.
Valor del dinero
El número de días (meses, años u otros) que transcurren entre
las fechas inicial y final de una operación financiera se le llama
plazo ó tiempo.
Interés
•Es la evidencia del valor del dinero en el tiempo. Es la medida
del incremento entre la suma originalmente prestada o invertida
y la cantidad final debida o acumulada.
•Ejemplo: Pido prestado 100.000 y tengo que devolver 105.000.
El interés pagado es 5.000
•Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto
original por unidad de tiempo se obtiene la tasa de interés.
Tasa de Interés = Interés Acumulado por Unidad de Tiempo X 100%
Cantidad Original
Interés
Es el incremento entre una suma original de dinero prestado y la
suma final debida, o la suma original poseída (o invertida) y la
suma final acumulada.
Este incremento se puede expresar porcentualmente:
Interés
Tasa de Interés (%) 
 100
Monto Inicial
Interés
Ej. Si invierto Q. 300.00 y al termino de un año recibo Q.
315.00, entonces el valor presente C = Q 300.00, el monto M =
Q. 315.00 y los intereses la diferencia entre los dos es decir I =
Q. 315.00 – Q. 300.00 ó I = Q.15.00.
15
Tasa de Interés (%) 
 100  5%
300
Análisis Cuantitativo
•VP = Cantidad de Dinero con que se cuenta hoy.
•VF = Su equivalente dentro de un tiempo.
•VF = VP + VP*i
= (1 + i)*VP
•Donde i : tasa de interés.
•El interés es el pago que se debe hacer por transformar VP en
VF, por trasladar dinero de tiempo presente a tiempo futuro.
Interés Simple
El Interés Simple se calcula utilizando sólo el principal,
ignorando cualquier interés causado en los periodos de interés o
de capitalización anteriores.
Para calcular el valor futuro de una cantidad aplicando interés
simple, se debe utilizar la siguiente fórmula:
VF  VP  1  i  n
Interés Simple
Ej. Se consigue un préstamo por Q. 3,000.00 a dos años de
plazo , con una tasa simple bimestral del 3% ¿cuanto pagará al
final de los dos años por el préstamo recibido?
VF  3000 1  0.0312  Q.4080
Interés Simple
Ej. Cuánto debe invertirse ahora con un tipo de interés del 13%
simple semestral para disponer de dos millones y medio de
quetzales de tres años?
2500 C  1  0.13 6
2500 C  1.78  1404.49
Interés Simple
Ej. ¿En cuanto tiempo se triplica una inversión con un tipo de
interès del 23%?
Si se denomina con C al capital inicial, entonces el monto al
final del plazo es el triple de C, es decir M = 3C tendremos:
3C  C  1  0.23  n 
3  1  n(0.23)
n  2 / 0.23
n  8.6956 8años,8meses,10dìas
Descuento Simple
El compromiso para liquidar un préstamo se formaliza mediante
un documento ó pagaré que ampara una cantidad mayor que
se llama: valor nominal.
Al negociar el documento antes de la fecha de vencimiento
ofreciéndolo a un tercero a un precio menor que la cantidad
estipulada en el mismo, ocurre un DESCUENTO.
El descuento puede ser evaluado como:
a) Descuento real.
b) Descuento comercial.
Descuento Simple
Descuento real: se calcula en base al capital del valor nominal
del documento en el momento en que se negocia, usando la
fórmula del interés simple.
Descuento comercial:
Se calcula tomando como base el valor futuro del capital
recibido en préstamo.
Si D es la cantidad que se descuenta, n el tiempo , d la tasa de
descuento simple y M el monto o valor nominal del documento,
entonces….
D  n  d M
Descuento Simple
Ejemplo: Cual es el descuento que se hace a un pagaré de Q.
500.00 seis meses antes de su vencimiento, con una tasa de
descuento simple del 40%?
D  1/ 2  0.4500  100
Descuento Simple: Fórmula General
El descuento en el pagaré se obtiene restando del valor
nominal la cantidad en que se negocia es decir: D = M-C de
donde el capital ó valor presente es C = M-D.
Puesto que D = n(d)M al reemplazarlo tendremos:
C = M – n(d)M
Si: M es el valor al vencimiento y C el valor descontado del
documento, n = períodos antes de su vencimiento y d = tasa de
descuento simple, entonces…
C  M (1  nd)
Descuento Simple: Fórmula General
¿Cuánto recibe el Sr. López por un documento de dos
millones de quetzales, cuatro meses antes del vencimiento y
con un descuento del 39% simple anual?
Para tener las mismas unidades de tiempo, la tasa se divide
entre 12, d = 0.39/12 = 0.0325 (el plazo tambièn puede
expresarse en años dividiendo los 4 meses entre 12, es decir
4/12 = 1/3 años)
Si: M = 2,000,000.00, plazo = 4 meses entonces…
C  2000000(1  4(0.0325))
C 2000000(0.87)  Q.1740000.00
PORCENTAJE
Es común que un comerciante ofrezca sus productos con
ciertas rebajas ó descuentos. Se pueden evaluar con las
fórmulas que estamos usando. Por Ej. si en la ecuación
D = n(d)M se hace n = 1, entonces D = d(M)
C = M(1-d)
¿A que precio vende un televisor una tienda si lo ofrece con un
28% de descuento sobre el precio de lista que es de Q.
1,860.00?
C  1860(1  0.28)
C 1860(0.72)  Q.1339.20
INTERES SIMPLE EXACTO Y
ORDINARIO
•
El interés (ó descuento) simple es exacto si el año se
considera de 365 días ó 366 si es bisiesto, y es ordinario si
el año es considerado con 360 días.
Ej. Obtener el monto acumulado por un capital de Q. 800.00
que se invierten a 45 días de plazo con una tasa de interés
simple del 36%, suponiendo que es: a) exacto y b)
ordinario.
a) Interés simple exacto.
M = 800 (1 + 45(0.36/365)
M = 800 (1.044383562)
M = Q. 835.51
b) Interés simple ordinario.
M = 800 (1+ 45 (0.36/360)
M = 800 (1.045)
M = Q. 836.00
INTERES SIMPLE EXACTO Y
ORDINARIO
•
Como se observa y aunque es mínima la diferencia, es más
productivo invertir con interés simple ordinario que con el
exacto.
TIEMPO REAL Y TIEMPO
APROXIMADO
•
•
•
•
También el plazo puede ser medido de dos maneras
distintas que son:
a) Con tiempo real ó exacto.
b) Con tiempo aproximado.
En la 1ª. El plazo se calcula contando los días naturales
entre fechas y en la segunda los meses son considerados de
30 días.
INTERES SIMPLE
1.
2.
3.
4.
•
Interés simple, exacto, con tiempo real.
Interés simple, exacto, con tiempo aproximado.
Interés ordinario, con tiempo real.
Interés ordinario, con tiempo aproximado.
Ej. Con las cuatro formas descritas obténgase el monto
acumulado al 15 de octubre , por un capital de Q. 5,000.00
que se ha invertido el 25 de marzo anterior con intereses
del 24.5%.
Interés simple, exacto, con tiempo real: se hace con un
calendario a la vista, entre las dos fechas hay 204 días
(marzo 6, abril 30, may 31, junio 30, julio 31, agosto 31,
septiembre 30 y octubre 15). i=0.245/365
M = 5,000 ( 1 + 204 (0.000671233) = Q. 5,684.66
INTERES SIMPLE
Interés simple, exacto, con tiempo aproximado: como los
meses se considera de 30 días y el depósito se hace el 25 de
marzo, a este mes corresponden 5 días, de abril a
septiembre son 6 meses igual a 180 días y del mes de
octubre son 15, n = 5 +180 + 15 = 200 días.
M = 5,000 ( 1 + 200 (0.000671233) = Q. 5,671.23
Interés simple, ordinario, con tiempo real: respecto al
primero solo cambia la tasa de interés diaria. i=0.245/360.
M = 5,000 ( 1 + 204 (0.245/360) = Q. 5,694.17
Interés simple ordinario con tiempo aproximado.
M = 5000 ( 1 + 200 (0.245/360) = Q. 5680.55
Ejemplo
El 9 de mayo se consiguió un préstamo y se firmo un pagaré
por dos y medio millones de quetzales, con vencimiento al
6 de abril del año siguiente que es bisiesto y con recargos
del 45% simple anual. Encontrar el capital que se prestó y
la tasa de descuento simple, si el acreedor negocia el
documento el día 30 de noviembre anterior en dos millones
de quetzales.
Solución: a) encontrar en la fecha préstamo el VP 2.5
millones. (al no mencionar = interés ordinario y t. real)
tiempo = 333 días.
M = Q. 2,500,000.00
tasa es .45/360 = 0.00125
2500000 = C (1 + 333 (0.00125)
2500000 = C (1.41625)
C = 2500000/1.41625 = Q. 1,765,225.07
Ejemplo
b) Hallar tasa de descuento simple con la que se negocia el
documento.
C = M (1 –nd)
2,000,000= 2500000 ( 1-128 (d))
0.80 = 1 – 128 (d)
d = (1-0.8)/128 = 0.0015625
tasa = x 360 = .5625 ó 56.25% anual
Interés Compuesto
En el caso del interés compuesto, el interés para cada periodo se
calcula sobre el principal más el monto total de interés aplicado
en todos los periodos anteriores.
En otras palabras se aplica interés sobre interés, de forma de
ajustar el valor del dinero en el tiempo no sólo sobre el
principal, sino también sobre el interés.
INVERSIONES
Q.200.00
30 años
0%
8%
0 0.006666667
Q72,000.00 Q298,071.89
Q.300.00
20%
0.016666667
Q4,595,567.56
40%
0.033333333
Q802,982,511.22
20%
0.016666667
Q6,893,351.34
40%
0.033333333
Q1,204,473,766.83
30 años
0%
8%
0 0.006666667
Q108,000.00 Q447,107.83
Juan Wesley dijo…

Gane todo lo que pueda

Ahorre todo lo que pueda.

Dé todo lo que pueda.
Ejemplo: Si colocamos Q. 100.00
durante 5 años
AÑOS
CAPITAL
INICIAL
INTERES
INICIAL
SUMA TOTAL
1
100.00
10.00
110.00
2
110.00
11.00
121.00
3
121.00
12.10
133.10
4
133.10
13.31
146.41
5
146.41
14.64
161.05
Con interés simple hubieran sido: M = C(1+0.1*5)=150
a) M1 = Co (1+ (i*n) se quita el n porque es igual a 1
M1 = Co (1+ i) = 100 (1+10/100) = 110
b) M2 = S1 (1+i) = Co (1+i) (1+i)
M 2  Co(1  i) 2
M 2  100(1  10 / 100)2  121
c) M3 = S2(1+i) = Co (1+i) (1+i) (1+i)
M 3  Co(1  i)3
S3  100(1  10 / 100) 3  133.10
Y así sucesivamente, de esto podemos concluir que para obtener la suma total al
término de un año determinado, aplicamos la expresión siguiente:
(5) M n  Co(1  i)n
al aplicar con el año cinco tendremos:
M 5  100(1  10 / 100)5  161.05
Interés Compuesto
El cálculo del valor futuro de una cantidad aplicando interés
compuesto se hace de la siguiente forma:

M n  C  1 i 
n
En donde:
M: Valor Futuro.
C: Valor Presente.
n : Numero de periodos de capitalización.
i : Tasa de interés.
Interés Compuesto
Obtener el monto acumulado si un capital de Q. 100.00 es
invertido al 60% anual en un plazo de cinco años.

M n  100 1 0.6  Q.1048.58
5
En donde:
M: Valor Futuro.
C: Valor Presente.
n : Numero de periodos de capitalización.
i : Tasa de interés.
Interés Compuesto
Obtener el monto acumulado si un capital de Q. 100.00 es
invertido al 60% anual en un plazo de cinco años.

M n  100 1 0.6  Q.1048.58
5
En donde:
M: Valor Futuro.
C: Valor Presente.
n : Numero de periodos de capitalización.
i : Tasa de interés.
Ejemplo Interés
Ud. Ha pedido un crédito automotriz por un valor de 18.000 a
una tasa de 12% anual, el cual se debe cancelar en tres años
más ¿Cuánto se debe cancelar si se aplica interés simple? ¿Qué
pasa si el interés es compuesto?
Solución:
Usando interés simple:
M  18.000 1  0.12 3  24.480
Usando interés compuesto:
M  18.000 1  0.12  25.289
3
Ejemplo Interés
•Comparando ambas formas de pago:
Monto Inicial Tasa de Interés
18,000
12%
18,000
12%
Interés Pagado Monto Final
6,480
24,480
7,289
25,289
Diferencia. 809
Se observa claramente que en un mismo crédito, utilizando
interés compuesto, el interés y el monto final son siempre
mayores o iguales que si se usara interés simple.
Período de capitalización
Es el tiempo que hay entre dos fechas sucesivas en la que los
intereses son agregados al capital.
El número de veces por año en las que los intereses se
capitalizan, se llama Frecuencia de capitalización y se
denota con p.
Si el período de capitalización de intereses es, digamos mensual,
entonces las expresiones siguientes son equivalentes: “el
interés es capitalizable mensualmente”, “es convertible
mensualmente”, es “compuesto mensualmente”, “es interés
nominal mensual” ó “compuesto por mes”. En este caso p =
12.
Valores más comunes para p
Período
Anual
Semestral
Cuatrimestral
Trimestral
Bimestral
Mensual
Quincenal
semanal
diario
Frecuencia (p)
1
2
3
4
6
12
24
52
360
Valor futuro para datos con Frecuencia de
capitalización
El valor futuro M de un capital C al final de np períodos, esta
dado por:
np
M  C  1 i / p 
Donde n es el plazo en año, i la tasa de interés anual
capitalizable en p períodos por año.
Ej. Obtener el monto acumulado en cinco años por un capital
de Q. 500.00 que se invierte con un tipo de interés del 40%
compuesto bimestralmente.
5*6
M  500 1  0.40 / 6 
M  500(6.93)
M  3,466.03
Encontrar tasa si….
Encontrar la tasa de interés compuesto trimestral, si un capital
se duplica en dos años.
Si C es el capital, entonces el monto acumulado en dos años
debe ser el doble es decir M = 2 ( C ) , el plazo n = 2 años,
la frecuencia de capitalización p = 4, porque es
capitalizable trimestralmente: np = 8,
2C  C  1  i / 4 
8
2  (1  i / 4)8
1 i / 4  8 2
i / 4  1.0905 1
i / 4  0.090597733
i  0.362030932
Encontrar n si….
¿En cuanto tiempo se triplica un capital que se invierte al 48%
compuesto mensualmente?
Solución: n es la incógnita, i = 0.48, p = 12, el capital se
triplica por tanto M = 3 (C) .
3C  C  1  0.48 / 12
12 n
3  (1.04)12 n
(12n) ln(1.04)  ln(3)
ln(3)
n
(12) ln(1.04)
n  1.098612289
/ 0.470648558
n  2.3342518
años.  2años,4m eses,0.33días
FLUJO DE DINERO
EN EL TIEMPO
Flujo de Dinero en el Tiempo
•Línea de Tiempo
»Corresponde a una recta dividida en intervalos, donde se
ubican barras verticales que indican los movimientos de
dinero
»El cero denotará el tiempo presente, inicio del período o
primer instante.
»El 1 denotará el período siguiente, es decir, al primer
período transcurrido entre los instantes 0 y 1
respectivamente, y así sucesivamente.
Flujo de Dinero en el Tiempo
•Línea de Tiempo
»Las barras verticales sobre la línea indicarán los
ingresos o flujos positivos.
»Las barras verticales bajo la línea indicarán los egresos
o flujos negativos
Representación Gráfica
Ingresos
0
1
2
Egresos
Presente
3
n-1
n
Tiempo
TASA EFECTIVA Y TASA NOMINAL
•Es mas rentable una tasa compuesta mensualmente que cuando
es semestralmente, pero ¿qué tanto es más productiva? Y ¿cuál
será la tasa compuesta mensualmente que produce los mismos
intereses que otra con capitalización semestral?
•TASAS EQUIVALENTES: Son dos tasas que con diferentes
períodos de capitalización producen iguales intereses en el
mismo plazo.
Ej. Tasas equivalentes
•¿Qué tasa de interés compuesto mensual producirá el mismo
monto acumulado que un 50% compuesto semestralmente?
•SOLUCION.
•
M 1  C (1  i / 12)12
M 2  C (1  0.5 / 2) 2
Al....igualar
C (1  i / 12)12  C (1  0.5 / 2) 2
(1  i / 12)12  (1  0).5 / 2) 2
(1  i / 12)  (1.25)1/ 6
i  (0.037890816
)(12)
i  0.454689792
TASA EFECTIVA
•La tasa e compuesta anual, equivalente a la tasa nominal i
compuesta en p períodos por año, se denomina tasa efectiva
M 1  C (1  e)
1
M  C (1  i / p ) p
Al....igualar
C (1  e)1  C (1  i / p ) p
1  e  (1  i / p ) p
e  (1  i / p) p  1
Ej. TASA EFECTIVA
•Encontrar la tasa efectiva que corresponde a la tasa nominal del
68% compuesta trimestralmente.
e  (1  i / p )  1
p
e  (1  0.68 / 4)  1
e  1.87388721 1
e  0.87388721
4
Ej. TASA EFECTIVA
•Cuál es la tasa nominal bimestral que corresponde a un 25% de
tipo de interés efectivo?
e  (1  i / p )  1
p
0.25  (1  i / 6)  1
6
1  i / 6  1.25
6
i / 6  1.037890816 1
i  0.037890816* 6  0.227344896
ANUALIDADES
•Sistema de pago de sumas fijas, a intervalos iguales de tiempo.
Se usa el término anualidad por costumbre, por anualidad
contingente que es la probabilidad anual de vida de las
personas.
•Es sinónimo de rentas, series uniformes, pagos periódicos,
amortizaciones, cuotas, etc.
CALCULO DEL MONTO DE UNA
ANUALIDAD
•C = pago períodico de una anualidad ó renta.
•i = tasa efectiva por período capitalización.
•j = tasa nominal anual.
•p = número capitalizaciones en el año.
•j(p)= tasa nominal con m períodos de capitalizaciones/año.
•VF = Monto de una anualidad.
•VA = Valor actual ó presente de una anualidad.
(1  i) n
VF  C
i
1  (1  i)  n
VA  C
i
CALCULO DEL MONTO Y VALOR ACTUAL
DE UNA ANUALIDAD
•Ejemplo:
•Hallar el monto y el valor actual de una anualidad de
Q.5000.00 pagaderas semestralmente durante 7 años 6 meses al
8.6% capitalizable semestralmente.
(1  i )
VF  C
1
i
(1  0.086/ 2)15
VF  5000
1
0.086/ 2
VF  102,379.34
n
n
1  (1  i)
VA  C
i
1  (1  0.086/ 2) 15
VA  5000
0.086/ 2
VA  54443.71
CALCULO DEL MONTO DE UNA
ANUALIDAD ANTICIPADA
•Una anualidad anticipada ó inmediata es una sucesión de pagos
o rentas que se efectúan ó vencen, al principio del priódo de
pago. Este tipo de anualidades son muy frecuentes en los
negocios
(1  i) n 1  1
1  (1  i )  ( n 1)
VF  C
 1 VA  C
1
i
i
CALCULO DEL MONTO DE UNA
ANUALIDAD ANTICIPADA
•Ej. Una compañía deposita al principio de cada año Q. 20,000
en una cuenta de ahorro que abona el 7%. ¿A cuanto
ascenderán los depósitos al cabo de 5 años? Cuanto será al día
de hoy?
(1  i) n 1  1
1  (1  i )  ( n 1)
VF  C
1
VA  C
1
i 51
i
 ( 51)
(1  .07)  1
1

(
1

.
07
)
VF  20000
1
VA  5000
1
.07
.07
 ( 4)
1  (1.07)
VF  123065.81
VA  5000
 1  87744.23
.07
AMORTIZACION DE PRESTAMOS
•En la amortización de una deuda, cada pago o anualidad que se
entrega al acreedor, sirve para pagar los intereses y reducir el
importe de la deuda. En el estudio de la amortización se
presentan tres problemas básicos que son: hallar el importe de
los pagos periódicos, hallar el número de pagos necesarios para
amortizar una deuda y hallar la tasa de interés.
FONDO DE AMORTIZACION
•Un fondo de amortización es una cantidad que va
acumulándose mediante pagos periódicos que devengan cierto
interés, de modo que en un número determinado de períodos se
obtenga un monto prefijado. Ej. Fondo de pensiones, reservas
para reemplazar activos, etc.
FONDO DE AMORTIZACION
•Un fondo de amortización es una cantidad que va
acumulándose mediante pagos periódicos que devengan cierto
interés, de modo que en un número determinado de períodos se
obtenga un monto prefijado. Ej. Fondo de pensiones, reservas
para reemplazar activos, etc.
(1  i ) n  1
C  VF /
i
FONDO DE AMORTIZACION
•Una compañía contrae una deuda de Q. 500,000 para ser
cancelada dentro de 4 años. La Junta Directiva de la compañía
decide que se hagan reservas anuales iguales, con el objeto de
cancelar la deuda en la fecha de su vencimiento. Si el dinero
puede invertirse ganando el 8%, hallar la suma que es necesario
acumular cada año y hacer un cuadro que muestre el
crecimiento del fondo.
4
(
1

.
08
)
1
(1  i )  1 C  500000/
 110960.40
C  VF /
.08
i
n
FONDO DE AMORTIZACION
•Cuadro de amortización.
FECHA
final año
final año
final año
final año
1
2
3
4
1
2
3
4
TOTAL EN FONDO
intereses
Pago anual Total agregado al fondo
110960.4022
0
110960.4022
110960.402
230797.6366
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Interés simple, ordinario, con tiempo real - ivn