ANUALIDADES ORDINARIAS
(VENCIDAS) Y ANTICIPADAS
Una anualidad es una serie de pagos
que cumple con las siguientes
condiciones:
1. Todos los pagos son de igual valor.
2. Todos los pagos se hacen a iguales
intervalos de tiempo.
3. a todos los pagos se les aplica la
misma tasa de interés.
4. El número de pagos es igual al
número de periodos.
ANUALIDAD ORDINARIA O VENCIDA es aquella
en que los pagos se efectúan al final del
periodo.
ANUALIDAD ANTICIPADA es aquella en que los
pagos se efectúan al principio del periodo.
EJEMPLOS:
· Calcular el valor futuro y el valor presente de la
siguiente anualidad ordinaria.
$2.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%,
capitalizable semestralmente.
M = 2.000 [(1 + 0, 04)17 -1] = 47.395,07 valor
futuro
0,04
C = 2.000 [1 – (1+ 0, 04)-17] = 24.331,34 valor
presente
0,04
Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a
15 años de plazo, con pagos de$3.000 mensuales por mes
anticipado, si la tasa de interés es del 12% convertible
mensualmente.
C = 3.000 [1 – (1+ 0,01)-180] (1+0.01) = 252.464,64
0,01
Problemas de Anualidades Vencidas
Calcular el valor futuro y el valor presente de las siguientes
anualidades ciertas ordinarias.
1. $2.000.000 semestrales durante 8 ½ años al 8%,
capitalizable semestralmente.
2. $4.000.000 anuales durante 6 años al 7,3%, capitalizable
anualmente.
3. $200.000 mensuales durante 3 años 4 meses, al 8% con
capitalización mensual.
4. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en
las siguientes condiciones: $20.000.000 de contado;
$1.000.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6
meses y un último pago de $2.500.000 un mes después de
pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar el
9%con capitalización mensual.
5. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el
siguiente plan: $14.000.000 de cuota
inicial; $1.600.000 mensuales durante 2 años 6 meses con
un último pago de $2.500.000, si se
carga el 12% con capitalización mensual?
6. Una mina en explotación tiene una producción
anual de $800’000.000 y se estima que se
agotaráen 10 años. Hallar el valor presente de la
producción, si el rendimiento del dinero es del
8%.
7. En el ejercicio 6 Se estima que al agotarse la
mina habrá activos recuperables por el valor de
$150´000.000. Encontrar el valor presente,
incluidas las utilidades, si estas representan el
25% de
la producción.
8. En el momento de nacer su hija, un señor
depositó $1.500.000 en una cuenta que abona el
8%;
dicha cantidad la consigna cada
cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumento sus
consignaciones a
$3.000.000. Calcular la
suma que tendrá a disposición de ella a los 18
años.
9. Una persona deposita $1´000.000 al final de
cada mes en una cuenta que abona el 6% de
interés, capitalizable mensualmente. Calcular su
saldo en la cuenta, al cabo de 20 años.
Problemas de Anualidades Anticipadas
10. Calcular el valor de Contado de una
propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos
de$3.00.000 mensuales por mes anticipado, si la
tasa de interés es del 12% convertible
mensualmente.
11. Una persona recibe tres ofertas para la
compra de su propiedad: (a) $40´000.000 de
contado; (b)$19.000.000 de contado y
$5´000.000 semestrales, durante 2 ½ años (c)
$20.000.000 portrimestre anticipado durante 3
años y un pago de $2´500.000, al finalizar el
cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger si la tasa
de interés es del 8% anual?
12. ¿Cuál es el valor presente de una renta de
$500.000 depositada a principio de cada mes,
durante15 años en una cuenta de ahorros que
gana el 9%, convertible mensualmente?
13. ¿Qué suma debe depositarse a principio de
cada año, en un fondo que abona el 6% para
proveerla sustitución de los equipos de una
compañía cuyo costo es de $20.000.000 y con
una vida útilde 5 años, si el valor de salvamento
se estima en el 10% del costo?
14. Sustituir una serie de pagos de $800.000 al
final de cada año, por el equivalente en pagos
Mensuales anticipados, con un interés del 9%
convertible mensualmente.
15. Un empleado consigna $300.000 al principio
de cada mes en una cuenta de ahorros que paga
el 8%, convertible mensualmente. ¿En cuánto
tiempo logrará ahorrar $30.000.000?
Anualidades Diferidas
Recuerda que las anualidades diferidas
son aquéllas en las que el pago de la
primera renta se pospone pordeterminado
tiempo, o en las que se busca el monto de
una anualidad en una fecha posterior al
vencimiento de los pagos.
Dada su naturaleza resulta poco relevante
si se trata de una anualidad vencida o de
una anualidad anticipada. Por lo tanto, en
esta nota estudiaremos a las Anualidades,
Simples, Ciertas, Vencidas y Diferidas así
como a las Anualidades, Simples, Ciertas,
Anticipadas y Diferidas.
Valor Actual
La gráfica de tiempo y valor de una anualidad
diferida que involucra a su valor actual es como
sigue:
La gráfica indica que los pagos inician cuatro
periodos después de la fecha de contratación de la
operación. Si desconocemos el importe de C
primero tendríamos que obtener el valor actual de
las seis rentas y después obtener el valor actual de
dicha cantidad a la fecha cero.
Se puede demostrar que es irrelevante
cómo considerar a los pagos, si como
vencidos o como anticipados. Lo importante
es saber de qué fecha sería el valor actual
de la anualidad, según la consideren como
vencida o anticipada, para determinar
cuántos periodos restan para llegar a la
fecha cero.
Si consideras pagos vencidos el valor
actual correspondiente será de un periodo
anterior al primer pago y, por lo tanto, el
valor actual de la operación se encuentra
a 1−k periodos del primer pago, donde k
indica el número de periodos entre el
inicio de la operación (fecha en la que se
encuentra C) y el primer pago. Atendiendo
a la gráfica el problema sería resuelto
como sigue:
Por otro lado, si consideran pagos anticipados el valor actual de la
anualidad será de la misma fecha en que se efectúa el primer pago, de
manera que harían falta periodos para llegar a la fecha cero o de
contratación de la operación. Algebraicamente tendríamos:
Compara estas dos expresiones y asegúrate de entender que son
iguales.
Con excepción de los números empleados en este ejemplo ambas
ecuaciones muestran la forma común para resolver casi cualquier
problema de anualidades diferidas que involucre valor actual;
simplemente se resuelve la ecuación para la variable desconocida
Monto
Remítete a la gráfica anterior. Observa que si se te
pidiera el monto de esa anualidad a la fecha de
vencimiento de la operación se vuelve irrelevante
que la anualidad sea diferida, ya que sólo deseamos
saber cuánto valen esos seis pagos con determinada
tasa de interés en la misma fecha en que se efectúa
el último pago; en otras palabras, es un problema
de anualidad vencida.
Sin embargo, se podría presentar una situación
como la que muestra la siguiente gráfica:
Supón que desconocemos M y se nos brinda
determinada tasa de interés. Para resolver el problema
tenemos primero que obtener el monto de la
anualidad para, en un segundo paso, computar el
valor del mismo tantos periodos después como nos lo
solicite el caso.
Una vez más no es importante por sí misma la forma
en que se consideran los pagos, lo significativo es
saber de qué fecha sería el monto obtenido en función
de esa elección.
Asumiendo pagos vencidos el monto de la anualidad
sería de la misma fecha del último pago, y sólo haría
falta llevar esa cantidad k periodos después para
obtener el monto final deseado. En este caso k señala
el número de periodos entre el último pago y la fecha
en la que se solicita el monto.
La ecuación quedaría como sigue:
Si asumimos pagos anticipados, el monto de dicha
anualidad correspondería a un periodo posterior al
último pago y, por lo tanto, restarían k-1 periodos
para obtener el monto correcto. Algebraicamente:
Claramente las dos ecuaciones son iguales
entre sí.
Al igual que con las dos ecuaciones para
valor actual, a partir de estas de monto
podemos resolver para cualquier variable.
Las distintas mecánicas ya las hemos
estudiado en notas anteriores.
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