SEMINARIO DE DESARROLLO ECONOMICO I
Mtro. Celso Garrido
Febrero 2003
Introducción
Matemáticas Financieras
Ana María Hernández Méndez
Alejandro Apolinar Rojas
Introducción
FINANZAS
Asignación de recursos
Tiempo
Al poner en práctica sus decisiones financieras, las
personas se sirven del
Sistema Financiero...
Conjunto de mercados e instituciones mediante las
cuales se realizan los contratos financieros y el
intercambio de activos
Contenido de la sesión
1a sesión
-Equivalencia financiera
-Interés simple
Valor presente simple
Valor futuro simple
-Base mixta
-Cálculo del tiempo
-Descuento bancario o comercial
-Diagrama de tiempo valor y de flujo de caja
-Interés compuesto
-Diferencia entre interés simple e
-Tasa de interés nominal, real y efectiva
-Anualidades
-Amortización
Equivalencia Financiera
El valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés
ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia
Financiera y esto significa que sumas diferentes
de dinero en momentos diferentes de tiempo son
iguales en valor económico.
Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente)
Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un
individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este
incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor
económico o equivalente.
Interés Simple
Interés que se carga al final del período y que no gana interés
en el período o períodos subsiguientes
El interés simple se calcula utilizando sólo el principal,
ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés
anteriores
Ejemplo: Un capital de 100 pesos al 10% en tres periodos
Tiempo 0
$100
1
2
$10
$10
3
Total
en los 3 periodos
$30
$10
Denominación de Variables
Nomenclatura Inglesa
I = interés generado ($)
P = es el capital o principal que
se da o se recibe en préstamo
i = tasa de interés anual (%)
n = número de años o períodos, tiempo
F = monto o valor futuro a fin del período
Nomenclatura Española
I=interés simple
C=capital o principal
i=tasa (tipo de interés tanto por
ciento)
t=tiempo
M=monto
Los intereses:
I=Pin (1)
El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses
F=P+I
(2)
Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los intereses
generados, esto es:
F=P+(Pin)
F=P+Pin (3)
Factorizando la expresión anterior:
F=P(1+in)
(4)
En estás fórmulas básicas del interés simple (1) y ( 3) se tienen cinco variables que son F, P, I,
i y n de las cuales se puede obtener cualquiera de ellas a partir de las tres restantes, así de la
fórmula de interés simple:
I=Pin
P=I/in
i= I/Pn
n=I/Pn
De la fórmula de monto simple se obtiene
F=p(1+in)
P=F/ (1+in)
i=[(F/P)-1]/n
n=[(F/P)-1]/i
Capitalización y Actualización
El planteamiento de los problemas económicosfinancieros se desarrolla en torno a dos conceptos
básicos: capitalización y actualización.
El concepto de capitalización se refiere al estudio
del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o
en que se convertirán los capitales en fechas
colocados en fechas anteriores.
El concepto de actualización se refiere al estudio del
valor en la fecha actual o presente de capitales
Valor Presente Simple
El valor actual o presente de una suma, que vence en fecha futura, es aquel
capital que, a una tasa dada y en el período comprendido hasta la fecha de
vencimiento, alcanzará un monto igual a la suma debida:
I=Pin
(1)
El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los intereses
F=P+I
(2)
Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital inicial más los
intereses generados, esto es: F=P+(Pin)
F=P+Pin (3)
Factorizando la expresión anterior:
F=P(1+in)
(4)
De la fórmula de monto simple despejamos P para obtener el valor presente simple
F=P(1+in)
P= F/ (1+in)
Ejemplo de Valor presente simple
Un miroempresario desea innovar su equipo
de trabajo y recurre a una institución
crediticia, que le cobra el 16% de interés
simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá
que pagar $52,600 dentro de 5 meses?
Tiempo
0
¿Valor?
1
2
3
4
5 Meses
$52,600
Valor Presente
DATOS
Tasa de interes
Valor futuro
Tiempo
16 %
52600
5 meses
P=F/(1+ni)
Sustitución
P= 52600/(1+0.16*5/12)
Valor presente
¡Esta es la
cantidad que le
prestaron!
$ 49,312.50
$ 49,312.50
Tiempo
0
$
49,312.50
1
2
3
4
5 Meses
$52,600
Valor Futuro Simple
El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha
futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán
los capitales en fechas colocados en fechas anteriores.
I=Pin
(1)
El monto “final” del período correspondería al capital inicial más los
intereses
F=P+I
(2)
Sustituyendo (1) en (2) el pago al final del período es igual al capital
inicial más los intereses generados, esto es:
F=P+(Pin)
F=P+Pin (3)
Factorizando la expresión anterior:
se obtiene la fórmula de monto simple
F=P+I = P+Pin=P(1+in)
Ejemplo de Valor futuro simple
Una institución crediticia otorga un préstamo de
$ 49 312.50 pesos a una tasa de interés simple de
16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después
de 5 meses?
Tiempo
0
$ 49 312.50
1
2
3
4
5 Meses
¿Valor?
Valor Futuro
DATOS
Tasa de interes
Valor presente
Tiempo
16 %
49312.5
5 meses
F=P(1+ni)
Sustitución
F= 49312.50*(1+0.16*5/12)
Valor Futuro
Monto que pagará
dentro de 5 meses
$ 52,600.00
Tiempo
0
$
49,312.50
1
2
3
4
5 Meses
$ 52, 600
Base Mixta
P=capital o suma prestada
t=Tiempo
I= interés o rédito
Se tiene de acuerdo con las leyes de variación proporcional
I=PnK (1)
Donde k es una constante, cuyo valor depende únicamente
de las condiciones contractuales de préstamo. Si las condiciones son del i% anual
(año comercial de 360 días).
P= 100 unidades
n=360 días ( año comercial )
I=i unidades( i%=i unidades por cada 100 en 360 días)
Mediante la aplicación de la fórmula 1 se tiene:
i= 100(360) k
se despeja
k=i/100(360)
Al reemplazar en la fórmula 1 se tiene:
I= Pin/100(360)
para el año de 365 días, el año real , el mismo desarrollo conduce a:
I=Pin/ 100(365)
y para años bisiestos, el año real es de 366 días.
El interés simple ordinario o comercial es el que se calcula considerando el año de 360 días. El
interés simple real o exacto es el que se calcula con año calendario de 365 días o de 366 , si
se trata de año bisiesto.
Los bancos acostumbran calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días ; pero
par la duración de tiempo de préstamos a corto plazo (plazos menores que un año), cuentas los
días efectivos calendario.
Ejemplo Base Mixta
¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de
$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de
30 días?
Tiempo
0
1
2
3
4
30 días
$ 12,500
¿Intereses
+ el principal?
Solución
Datos
P=
i=
n=
I=
Fórmula
12500
19.75 anual
30 días
¿?
I=Pin/360
la tasa de
interés se
toma en
decimales
Sustitución
I=12500(.1975)(30)/360
I=
205.73
Ejemplo Base Mixta
¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de
$ 12,500 a una tasa de referencia de 19.75 en un periodo de
30 días?
Capital o principal
Intereses
I=$205.73+ P= $12,500
Tiempo
0
5
10
15
20
30 días
$ 12,500
Este es monto
total al final del
periodo
$12705.73
Ejemplo de Base Mixta
INF. FINANCIERA
SALDO PROMEDIO
DIAS DEL PERIODO
TASA BRUTA
TASA ISR
INTERESES A FAVOR
I.S.R. RETENIDO
%
%
(+)
(-)
COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA
SALDO INICIAL
DEPOSITOS ABONOS (+)
RETIROS/CARGOS
(-)
SALDO FINAL
6036.50
30
2.00
0.40
8.05
2.01
6030
16.56
2.01
6044.55
Ejemplo de Base Mixta
INF. FINANCIERA
SALDO PROMEDIO
6036.50
DIAS DEL PERIODO
30
2.00
TASA ISR
%
%
INTERESES A FAVOR
(+)
8.05
I.S.R. RETENIDO
(-)
2.01
TASA BRUTA
0.40
COMPORTAMIENTO DE SU CUENTA
SALDO INICIAL
6030
DEPOSITOS ABONOS
(+)
16.56
RETIROS/CARGOS
(-)
2.01
SALDO FINAL
Saldo Promedio
Saldo inicial
Intereses anteriores
6044.55
6030
6.05
SP= 6036.1
Depositos y abonos
Intereses del mes anterior= 6.50
Intereses ganados= 10.06
Total 16.56
I =Pin/360
Rendimiento
I=
6036.50*30*0.02/360
I=
10.06
ISR
ISR 6036.50*30*0.004/360
ISR= 2.01
Intereses a Favor
Intereses - ISR
I=10.06-2.01
I=
8.05
Descuento Simple
Descuento bancario o comercial
Se define como el interés simple de una deuda, que se paga por adelantado.
Para el banquero, “descuento” significa “interés simple”, pagado de antemano.
Los bancos emplean esta clase de descuento porque reporta ventaja.
Si F es una deuda contraída es decir valor nominal, n es el intervalo de tiempo
fracción de un año para cubrirla y d, la tasa de interés, el
descuento es:
D=Fnd
Por lo tanto el valor presente de una deuda es:
P=F-Fnd= F(1-nd)
se usa el descuento bancario simple para períodos menores a aun año ya que la
aplicación de la fórmula p=f(1-nd) puede ser ruinosa para el deudor, cuando n es
suficientemente grande
Donde: Dc= descuento bancario
F=valor nominal del descuento
d=tasa nominal del descuento
n=tiempo
P= valor presente
Ejemplo de descuento comercial
Si el banco realiza operaciones de descuento de 20% anual
y si el señor Julio López desea descontar el documento el 5 de julio,
los $11 500 (el valor nominal del pagaré) devengaran los siguientes
intereses (descuento) durante los tres meses en que se adelanta el
valor actual del documento.
D=Fnd
Solución
D=Fnd
donde d es el descuento
D= 11500(3/12)(0.20)
D=
575
$ 575 son el descuento que se aplica
Valor nominal
11500
Menos el descuento
575
Valor anticipado
10925
Entonces el señor López
recibe $10 925 que es el
valor comercial del
documento hasta la fecha
que anticipo el pago; el
descuento de calculó en
base al valor nominal del
pagaré
Descuento comercial
En el comercio se acostumbra ofrecer una rebaja sobre el precio de lista por alguna
razón, ejemplo promociones especiales de venta, compra al por mayor, pronto pago, etc.
El descuento como la comisiones se expresan al tanto por ciento y en su valor no
interviene el tiempo. Sea i% el descuento concedido sobre la factura de valor $ S,
entonces se tiene:
Descuento => D= Si
Descuento en cadena o en serie
Con frecuencia ocurre que dentro de una misma factura se hacen una serie de
descuentos sucesivos independientes entre si.
Valor neto de una factura
S
VN1
VN2
VN3
...
VNn
%
Descuento
d1
d2
d3
...
dn.
Valor neto de la factura
VN1=S(1-i1)
VN2=S(1-i1)(1-i2)
VN3=S(1-i1)(1-i2)(1-i3)
...
VNn=S(1-i1)(1-i2)...(1-in)
D=P(100-d)/100*(100-d’/100)*(100-dn/100)
Descuento simple
Si un cliente firma un documento por $ 2500 a
cuatro meses. Un banco otorga un descuento de
8% anual ¿qué cantidad le dará el banco?
Descuento en cadena o en serie
Sobre una factura de $50000 se conceden los
siguientes descuentos:
a) por compra al por mayor 8%
b)por promoción especial de ventas 5%
c) por despacho sin empaques 6%
Calcular el valor neto a pagar
d 0.08
n 4 meses
D ¿?
Solución
Sustitución
0.33333333
D= 1000(0.08)(4/12)
D=
Ejercicio 2
Datos
P
D
d´
d´´
d´´´
50000
¿
8%
5%
6%
26.6666667
Fórmula
D=P[(100-d)/100*(100-d''/100)*(100-d´´´/100)...]
NOTA:Como se puede observar
en la sustitución tomamos el
porcentaje tal cual sin
convertirlo a decimales, esto se
hace porque la fórmula lo
permite y al restar el porcentaje
y luego dividir entre cien
automaticamente estamos
convirtiendo ese porcentaje en
décimales y podemos realizar la
operación.
Sustitución
D=50000[(100-8)/100*(100-5/100)*(100-6/100)]
41078
D=
el valor neto a pagar es
$41078
Diagramas de Tiempo Valor
Un diagrama, el tiempo puede medirse de dos maneras diferentes
en sentido positivo (de izquierda a derecha), si se tiene fecha inicial y se cuenta con
un valor futuro, en sentido negativo (de derecha a izquierda), si se tiene un fecha de vencimiento
o final , y un valor antes del vencimiento
Tiempo
0
Valor
presente
P
Tiempo
Valor
presente
1
5
P
3
2
4
5
F
Valor
futuro
4
3
2
1
0
F
Valor
futuro
Diagrama de Flujo de Caja
A
B
+
1
Tiempo
C
2
3
4
5
6
7
0
-
F
D
E
A,B y C ingresos (+)
D,E y F egresos (-)
Al colocar en un diagrama de tiempo-valor flechas arriba para
los ingresos y flechas hacia abajo
para los egresos
Interés Compuesto
Los intereses generados en un período devengan un interés generado anteriormente.
El interés compuesto es el interés devengado por el principal al final de un período y
que devenga interés en el período o períodos subsiguientes
Año
C an tid ad
acu m ulad a
In terés
p agad o
C an tid ad acum u lada
al fin al d el p eriod o
1
P
Pi
P + P i= P (1+ i)
2
P (1+ i)
P (1+ i)i
P (1+ i) + P (1+ i) i= P (1+ i)
3
.
P (1+ i)
.
.
.
n
P (1+ i)
2
n -1
1
2
2
2
2
P (1+ i) i
.
P (1+ i) + P (1+ i) i= P (1+ i)
.
.
.
P (1+ i)
n -1
i
P (1+ i)
n -1
+ P (1+ i)
n -1
3
i= P (1+ i)
n
Comparación entre Interés simple e interés compuesto
La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto
es mediante la elaboración de gráficas correspondientes a una misma tasa
Por ejemplo, la tasa del 20% y un capital de $ 1000.
Los montos son F= 1000(1+n0.20) para interés simple
y F= 1000(1+0.20)n para el interés compuesto
Función discreta
función continua
a= valor futuro de $ 1000 al interés del 20%
b= Valor futuro de $1000 al interés compuesto del 20%
A línea recta F = 100[1+0.20]
B función exponencial F= 1000(1.2)n
El valor futuro a interés compuesto crece en razón geométrica y su gráfica
corresponde a la de una futura función exponencial. Por su parte , el monto
a interés simple crece en progresión aritmética
Comparación entre Interés simple e Interés compuesto
La mejor forma de comparar los valores futuros de interés simple e interés compuesto
es mediante al fórmula elaboración de gráficas correspondientes una misma tasa
b
2000
b
b
A
a
a
a
1000
a
b
B
a
0
1
2
3
4
5
años
Como se observa la suma acumulada al final del período n es:
F=P(I+i)n
Esta fórmula relaciona una cantidad (presente con una
cantidad futuro (f)
De esta fórmula se deduce:
P= F(1/1+n)n = F(1+n)-n ó bien:
P=F/(1+i)n
I= (f/P)1/n-1 ó bien
I=
n= log F - log P / log (1+i)
n
(f/p) - 1
Período de Capitalización
El interés puede ser convertido en capital anual, semestral
trimestral, y mensual así como diario,dicho período es
denominado período de capitalización. Al número de veces que el
interés capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de
conversión.
Por ejemplo, ¿cuál es el período de capitalización de un depósito bancario que
paga el 5% de interés capitalizable trimestralmente?
Un año = 12 meses/3 meses= 4
4 es el período de capitalización trimestral
Tasa de Interés Nominal,
Efectiva (o real) y Equivalente
Cuando se realiza una operación financiera, se pacta una
tasa de interés anual que rige durante el lapso que dure la
operación, ésta es denominada tasa de interés nominal.
Sin embargo, si el interés se capitaliza en forma semestral ,
trimestral o mensual, la cantidad efectiva pagada o ganada
es mayor que si se compone en forma anual. Cuando esto
sucede, se puede determinar una tasa efectiva de
interés.
Dos tasas de interés anuales con diferentes periodos de
capitalización serán equivalentes si al cabo de un año
producen el mismo interés compuesto, es decir si dos tasas
anuales de interés con diferentes períodos de capitalización
es se dice que son equivalentes, si el rendimiento obtenido
por capitalización es igual al final del año.
Partiendo de la fórmula
F= P(1+in/n)n
la tasa efectiva es el rendimiento anual “ie”, es
el rendimiento anual que se obtendría al final
del período cuando la tasa nominal “in” se
capitaliza “n” veces. Para una inversión
unitaria anual se tiene lo siguiente:
1(1+1e)=1(1+in/n)n-1 -->ie=(1+in/n)n-1
despejando in se tiene la tasa nominal por
periodo:
in=n[(1+ie)1/n-1
Cuando la tasa nominal se capitaliza por “m” años , se
obtienen para un año
se despeja:
(1+in/n)m=[(1+in/n)n]m=
F=P(+in/n)nm
in=m[(1+ie)n/m-1
Ejemplo
¿Cuál es la tasa efectiva de interés que se recibe de un
depósito bancario de $ 1000.00 pactado al 48% de interés
anual convertible mensualmente?
F=1000(1+0.04)12
F=1000(1.601032)
F=1601.0322
I=F-P
I=1601.0322-1000
i=I/P
i=601.0322/1000
i=0.6010
la tasa efectiva de interés ganada es de 60.10%
Usando la formula directamente se tiene:
ie=(1+in/n)n-1
ie=(1+0.48/12)12-1
ie=(1.601032)-1
ie=.601032
ie=60.10%
el resultado es el mismo que el anterior
Ejemplo de tasa nominal
Hallar la tasa nominal im capitalizable mensualmente
equivalente a la tasa del 8% capitalizable o
convertible semestralmente. Sustituyendo en la
fórmula:
in=m[(1+ie)1/m-1]
in=12[(1+0.08/2)2/12-1]
in=12(0.0065)=0.078696
in=7.869%
Anualidades
Una anualidad es una serie de pagos periódicos
a intervalos de tiempo iguales y generalmente del mismo monto
los conceptos básicos para las anualidades son:
* La renta
* La renta anual
* La plazo de la anualidad
* El intervalo de pago o período
* La tasa de una anualidad
Clasificación
Ciertas
Anualidades a plazo fijo y rentas perpetuas
Por fecha de pago:
anualidades vencidas u ordinarias
anualidades anticipadas
Anualidades diferidas
anualidades perpetuas
Contingentes
Criterio
Tipos de anualidad
a) A) Tiempo
Ciertas
Contigentes
B) Intereses
Simples
Generales
c) c)Pagos
Vencidas
Anticipadas
D) Inicio
Inmediatas
diferidas
A)
a) Anualidad cierta: sus fechas son fijas y se estipulan de
antemano. Por ejemplo:
Al realizar una compra a crédito se fija tanto la fecha
que se debe de hacer el primer pago así como la fecha en
que se realiza el último.
a) Anualidad contigente: tanto la fecha del primer pago como
la fecha del último pago no se fijan con antelación sino que
esta sucede por un hecho fortuito, por ejemplo las rentas
vitalicias que se otorgan cuando fallece el conyuge, por lo
que no se sabe cuando morirá.
b) B)
c) Cuando el periodo de pago coincide con el de la
capitalización de los intereses, por ejemplo el pago de una
renta determinada a una cierta tasa de interés.
•Anualidades generales. En esta el periodo de pago
no coincide con el periodo de capitalización
C)
de acuerdo con los pagos
anualidad vencida: los pagos se realizan al
periodo de vencimiento
....
0
1
2
3
anualidad anticipada: los pagos se realizan antes de
la fecha de vencimiento
....
0
1
2
3
D) Anualidad inmediata:
Es el caso más común y la realización de los
cobros o pagos tiene lugar en el periodo
inmediatamente siguiente ala formación del trato
Anualidad diferida:
Se pospone la realización de los cobros o pagos.
Se adquiere hoy un artículo a crédito, para pagar
con abonos mensuales , el primer pago habrá
de hacerse por ejemplo seis meses después de
haber adquirido la mercancía.
Valor Presente de una anualidad
A=P[i/(1+(1+i)-n]
Despejando
P=A[1-(1+i)-n/i
AMORTIZACIONES
En las finanzas, la expresión amortizar se utiliza para
denominar un proceso financiero mediante el cual se
extingue, gradualmente, una deuda por medio de
pagos periódicos, que pueden ser iguales o
diferentes.En la amortización de una deuda, cada
pago o cuota que se entrega sirve para pagar los
intereses y reducir el importe de la duda.
Recomendaciones para elaborar el laboratorio
1. No es lo mismo tasa de interés que interés o intereses, la primera está expresada
en (%) porcentaje y la segunda en el tipo de moneda que se este manejando (pesos, dólares, etc.)
2. La tasa de interés y el tiempo debe de ir expresado en las mismas unidades, por ejemplo si tenemos
periodos semestrales, la tasa de interés debe estar expresada en una tasa de interés semestral.
3. No confundir periodo de capitalización con el término capitalización, porque el primero es
sólo la frecuencia de conversión y el segundo esta relacionado con el valor futuro.
4. En esta presentación vienen insertadas hojas de cálculo; para que puedan activar la hojas
sólo den doble click, y se activará, pero esto sólo se puede realizar en Windows 95 , 98,
y Mileniun; en Windows XP no se pueden activar.
5. Consultar la siguiente bibliografía:
-Portus, Lincoyan. Matemáticas Financieras. Mc Graw Hill, México. 1998
-Díaz Mata, Matemáticas Financieras. Tercera edición. Edit Mc Graw Hill.
6. Si tienen alguna otra duda por favor dirigirse con los Asistentes.
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