Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Tipos de Señales
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Sistema de Control Discreto
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
Multiplexión y Demultiplexión
Muestreo y Retención
Conversión A/D (Cuantización y Codificación)
Conversión D/A (Decodificación)
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Operaciones Básicas
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Circuito de Retención
Es un dispositivo para la reconstrucción de señales continuas, a partir de una secuencia de
valores discretos (señal de tiempo discreto).
Otros tipos: de primer orden, interpolación poligonal, etc.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
El Teorema de Nyquist-Shannon, establece que la frecuencia
mínima de muestreo necesaria para evitar el “aliasing” debe ser:
fm>2.BW
BW: ancho de banda de la señal a muestrear
(BW=fmax-fmin)
Para señales con fmin = 0, se puede expresar como,
fm>2.fmax
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Teorema del Muestreo (Nyquist-Shannon)
Aliasing: Las muestras D son un “Alias” de las muestras B
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico

f
*
P
t   f t   P t   f t     t  kT    t  kT
 P 
k 0
Aproximación de Tope Plano:
 f  kT

*
f P t   
0


Así,
f
*
P


para kT  t  kT  P
para kT  P  t   k  1 T
 f kT  t  kT    t  kT
 P 
k 0
Laplace:
Lf

*
P
t   
k o
  kT  P  s
 e  kTs
  1  e  Ps
e
f  kT 

  
s
s
 s
 
 
   f  kT e  kTs  F P*  s 

 k 0
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Aproximación por series:
e
 Ps
 1  Ps 
 Ps  2

 Ps  3
2!
Si P  T entonces
F
*
P
s  
e
 Ps

3!
 1  Ps  . Luego ,

P   f  kT e
 kTs

f
*
P
t  
k 0

P   f  kT  t  kT

k 0
Se observa que el ancho de pulso “P” está actuando como un atenuador de la señal.
Para evitar este inconveniente, se coloca un dispositivo de retención que mantenga el
valor de la señal muestreada, quedando las expresiones finales:

f
*
t    f  kT  t  kT 
k 0

F
*
 s    f  kT e  kTs
k 0
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Introducción: Proceso de Muestreo Periódico
Ejemplo: Se tiene un proceso de muestreo periódico como se indica:
¿Cuánto vale el período fundamental (cantidad de muestras hasta que se repite la
secuencia) de la señal de tiempo discreto , si la señal de tiempo continuo tiene una
frecuencia de 3 Hz ?
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Representación de los Sistemas Discretos:
Ecuaciones de Diferencias Finitas
Un sistema de tiempo discreto SISO tiene como representación la ecuación de diferencias
general:
x k  a1 x k 1  a 2 x k  2    a n x k  n  b0 u k  b1u k 1  b 2 u k  2    b m u k  m
donde u ies la entrada en el instante
Ejemplo:
yi
es xlaj salida en el instante
j
x k 1  x k  2 u k
Se debe leer como que “el próximo valor de la salida es igual a su valor actual menos el
doble del valor de la entrada presente”
La “Ecuación de Diferencias Finitas” para el mundo discreto, es el equivalente a las
ecuaciones diferenciales ordinarias del mundo continuo.
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Transformada Z: Definición General
Ts
z  e en la
Dada una secuencia discreta,
k  1, 2 , 3,  y haciendo
x  kT para
expresión de la transformada de Laplace de una señal muestreada, se define a la
transformada Z como:
X  z   Z x k  

 x kT   z
k
k 0

En detalle:
X
*
 s    x kT e
k 0
 kTs
   X  z  
ze
Ts

 x kT  z
k 0
k
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplos
f t    (t )
Considérese la función escalón unitario:

Entonces,
F
*
 s    f kT e
 kTs


k 0
1
k
e

 kTs

k 0
e
 kTs
   F  z  
ze
Ts
k 0

z
k
k 0
Pero se sabe por convergencia de series que la serie, 1  x  x 2  x 3   converge a:
si
1
1 x
con lo que,
F z   1  z
1
z
2
z
3
x 1
convergerá como:

si
F z  
1
1 z
1

z
z 1
z
1
1
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplos
f t   e
Considérese ahora la función:

Luego,
F
*
s    e
 akT
e
 kTs

e

k 0
 at
 k  a  s T
 1 e
  a  s T
e
 2  a  s T

k 0
La convergencia de la serie es:
F
*
s  
1
1 e
 aT
e
 Ts
con lo que,

F z   Z e
 aT

F z  
1
1
1 z e
 aT
z
ze
 aT
para
e
  a  s T
1
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Nomenclatura y convenciones
f t 
Función continua:
f
*
t 
Transformada de Laplace de una función continua muestreada:
F
*
s 
Transformada Z de una función continua muestreada (secuencia):
F z 
Función continua muestreada:
Secuencia:
f kT  o f k
para k  0 , 1, 2 , 
Formalmente el asterisco * desaparece en la notación de la transformada Z ya que la
transformada está definida sobre funciones discretas; sin embargo se puede escribir:
F  z   Z  f t 
entendiéndose que primero se muestrea y luego se aplica la transformada.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Propiedades
Traslación Real: RETARDO
Sea
f t  nT
 entonces,
F  z   Z  f t  nT

   f  k  n T  z
k
 z
n
k 0
Haciendo
m  kn
resulta,
Z  f t  nT

 f k  n T  z
k 0
 
z
n

 f mT   z
m 0
ya que
f  mT
 0
para m  0 , queda finalmente:
Z  f t  nT
 
z
n
F z 
m
 k  n 
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Propiedades
Traslación Real: ADELANTO. Sea
F  z   Z  f t  nT
f t  nT

entonces,

   f  k  n T  z

k
 z
k 0
Haciendo
m  kn
resulta
Z  f t  nT
 
n
 f k  n T  z
k  n 
k 0

z
n
 f mT   z
m
mn
n 1
Representando
 f mT   z
m 0
m
a las condiciones iniciales, queda finalmente:
n 1

m 
Z  f t  nT   z  F  z    f  mT   z 
m 0


n
EJEMPLO:
Z  f t  3T   z F  z   z f 0  z f 1  zf 2
3
3
2
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Transformada Z: Propiedades
CONVOLUCIÓN REAL
 

Z   f 1  kT   f 2  n  k T   F1  z   F2  z 
 k 0

Se recuerda que en tiempo continuo, la convolución real es:
t

L   f 1    f 2 t    d    F1  s   F 2  s 
0

EJERCICIO: Demostrar la convolución real en tiempo discreto.
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Transformada Z: Ejemplo
Hallar la transformada
x k  2  3 x k 1  2 x k  0
X z 
dadas, la ecuación de diferencias
y las condiciones iniciales,
x0  0
x1  1
SOLUCIÓN:
Se tiene que,
luego,
de donde:
Z x k  2   z X  z   z
2
y
Z x k 1   zX  z 
z X  z   z  3 zX  z   2 X  z   0
2
X z  
z
z  3z  2
2
Obsérvese que se ha obtenido una función racional en Z, equivalente a la función
racional en el plano S que se obtiene para una ecuación diferencial en tiempo continuo.
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