Análisis de Sistemas Lineales
“Respuesta de un Sistema Discreto
por Transformada Z”
Ing. Rafael A. Díaz Chacón
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Representación General
x[n]  Z{x[n]}=X(z)
Sistema Lineal e
Invariante en Tiempo
(LIT)
y[n]  Z{y[n]}=Y(z)
En general
y[n] =  (x[n])
Al aplicar Transformada Z a esta ecuación queda Y(z)
= Z{ (x[n])} entonces el objetivo es estudiar esa
ecuación en el plano z
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Definición de Transformada Z
Dada una función
x [ n ] su Transforma
da Z Bilateral

x[ n ]  X B ( z ) 
 x[ n ] z
será
n
n  
mientras
que la anti - Transforma
x[ n ] 
1
2 j 
X B (z)z
n 1
da Z Bilateral
dz  X B ( z )
De igual manera se define la Transforma

x[ n ]  X U ( z ) 
será

x[ n ] z
da Z Unilatera
l
n
n0
y la anti - Transforma
x[ n ] 
1
2 j 
X U (z)z
da Z Unilatera
n 1
l
dz  X U ( z )
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Propiedades de Interés
Se usará el operador Z para denotar la transform
ación
X U ( z )  Z { x [ n ]}
mientras
que el operador Z
1
se usar a para denotar la anti - transforma
ción
1
x [ n ]  Z { X U ( z )}
Algunas
propiedade s de interés serán
1) Linealidad
Z { a * x1 [ n ]  b * x 2 [ n ]}  a * X 1 ( z )  b * X 2 ( z )
2) Desplazami
ento en Tiempo
Z { x [ n  n 0 ]u [ n  n 0 ]}  z
3) Desplazami
Z {e
j 0 n
X (z)
ento en Fase
x [ n ]}  X ( e
4) Escalamien
 n0
 j 0
z)
to en el dominio
 z 
n

Z { z 0 x [ n ]}  X 

 z0 
z
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Propiedades de Interés
5) Diferencia
ción en Frecuencia
Z nx [ n ]   z
6) Inversión
dX ( z )
dz
de Tiempo
1
Z x [  n ]  X  
z
7) Expansión
 x [ n / k ],
Sea x ( k ) [ n ]  
0,

si n es múltiplo
en Tiempo
de k
si n no es múltiplo
entonces,
de k
8 ) Conjugació


Z x ( k ) [ n ]  X ( z )
k
n
Z x [n]  X ( z )
*
9) Convolució
*
*
n en Tiempo
Z x1 [ n ] * x 2 [ n ]  X 1 ( z ) X 2 ( z )
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Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Algunos pares Transformados de Interés
1) A  [ n  m ]  Az
2 ) Au [ n ] 
A
1 z
3) A  u [ n ] 
n
4) n u[n ] 
n
m
Az

1
z 1
A
1  z
z
6 ) s en ( 0 n ) u [ n ] 
Az
z 
1
1
(1   z )
5 ) cos(  0 n ) u [ n ] 
2

z
(z   )
2
1  cos(  0 ) z
1  2 cos(  0 ) z
1
sen(  0 ) z
1  2 cos(  0 ) z
7 ) r cos(  0 n ) u [ n ] 
n
8 ) r sen(  0 n ) u [ n ] 
n

1
1
z  cos(  0 ) z
2
z
2

z  2 cos(  0 ) z  1
2
1
1
z
2
1  [ r cos(  0 )] z
1  2 r cos(  0 ) z
1
[ r sen(  0 )] z
1  2 r cos(  0 ) z
1

sen(  0 ) z
z  2 cos(  0 ) z  1
2
1
r z
2
z  [ r cos(  0 )] z
2
2

z  2 r cos(  0 ) z  r
2
1
r z
2
2

2
[ r sen(  0 )] z
z  2 r cos(  0 ) z  r
2
2
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Métodos de Anti-Transformación Z
1) Integración en el campo complejo.
2) Identificación en una tabla de Transformadas.
2-A) Expansión en Fracciones Parciales.
2-B) División Larga.
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Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Teoremas de Valor Inicial y Valor Final
1) Teorema del Valor Inicial.
Si Z{x[n]} = X(z) entonces x[0] = lim X ( z )
z 
2) Teorema del Valor Final.
Si Z{x[n]} = X(z) entonces lim x [ n ]  lim ( z- 1) X ( z )
n 
z 1
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Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias
y [ n  1]  ay [ n ]  x [ n ]
aplicando
Transforma
da Z a ambos lados
z [Y ( z )  y [ 0 ]]  aY ( z )  X ( z )
la ecuación
en diferencia
s se ha convertido
entonces,
algebraica
,
Y (z)
despejando
Y (z) 
en una ecuación
X ( z )  zy [ 0 ]
za
al aplicar anti - Transforma
da
1
y[ n ]  Z
1
1
X (z) 

 X ( z )  zy [ 0 ] 
1 
1  z
Z
]
0
[
y



 Z 

1 
1
az

1
az

1
za






y [ n ]  x[ n ] * a  y [ 0 ]a
n
igual solución
a la encontrada
al resolver
n
la ecuación
en diferencia
s
por métodos analíticos
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias (ejemplo)
Sea la ecuación
en diferencia
s
y [ n ]  3 y [ n  1]  x [ n ]  u [ n ]
con la condición
Aplicando
Transforma
y [  1]  1
inicial
da Z a ambos miembros
1
1
Y ( z )  3 y [  1]  3 z Y ( z ) 
despejando
Y (z) 
1
1
(1  z )( 1  3 z )
Y (z) 
Resolviend
A
1
(1  3 z )
1
Y (z)
1
1  3 y [  1]( 1  z )
1 z


3z
1
2
1
1
(1  z )( 1  3 z )
B
1
(1  z )
o resulta que A  - 9/4 ,
por lo que la anti - Transforma
B  1/4
da Z será
y [ n ]  ((  9 / 4 )(  3 )  1 / 4 ) u [ n ]
n
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Solución de Ecuaciones en Diferencias (otro ejemplo)
Sea la ecuación
en diferencia
s
y [ n  2 ]  0 . 8 y [ n  1]  0 . 25 y [ n ]  x [ n ]  10 ( 0 . 5 )
con las condicione
Aplicando
s iniciales
Transforma
y[0 ]  4,
y [1]  2
da Z a ambos miembros
( z  0 . 8 z  0 . 25 )Y ( z )  z y [ 0 ]  zy [1]  0 . 8 zy [ 0 ] 
2
n
2
despejando
10 z
z  0 .5
Y (z)


A
B
C



z


2
j 0 . 6435
 j 0 . 6435

( z  0 . 5 )( z  0 . 8 z  0 . 25 )
(
z

0
.
5
)
(
z

0
.
5
e
)
(
z

0
.
5
e
)


4 z  3 . 2 z  10 . 6 z
3
Y (z) 
Resolviend
o resulta que A  100 ,
B  - 48  j16,
por lo que la anti - Transforma
C  - 48  j16
da Z será
y [ n ]  (100 ( 0 . 5 )  ( 0 . 5 ) ( 96 cos( 0 . 6435 n )  32 sen( 0 . 6435 n ))) u [ n ]
n
n
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Integral de Convolución
[n]
Sistema Lineal e
Invariante en Tiempo
(LIT)
h[n]
Inicialmente en reposo
En general, se puede escribir
h[n] =  ([n])  y[n] = x[n] * h[n]
Aplicando Transformada Z a esta última ecuación
Y(z) = X(z)H(z)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Función de Transferencia
despejando
H ( z ) se tiene
H (z) 
Y (z)
X (z)
donde
H ( z ) es la Transforma
la respuesta
impulsiva
A la funci o n H ( z ) también
Función
del Sistema
o Función
da Z de
h [ n ].
se le conoce como
de Transferen
cia.
“La Función de Transferencia de un sistema es la
relación de las Transformadas Z de la salida y la
entrada, bajo condiciones iniciales iguales a cero”
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Función de Transferencia
“El conocimiento de la Función de Transferencia de un
sistema proporciona un conjunto de informaciones
importantes acerca del sistema que representa”
“El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema proporciona información
acerca de su respuesta natural y de la estabilidad”
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Diagrama de polos y ceros
POLOS: p es un polo de un sistema si H(p)  
CEROS: c es un cero de un sistema si H(c)  0
“El diagrama de polos y ceros de la Función de
Transferencia de un sistema es una gráfica en el
plano complejo z donde los ceros se destacan con un
símbolo ‘o’ y los polos con un símbolo ‘x’ ”
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
Un sistema,
se explica
H (z) 
H (z) 
que está inicialmen
por la Función
te en reposo,
de Transferen
cia
( z  0 . 5 )( z  0 . 3 j )
( z  0 . 3 )( z  0 . 2 )( z  0 . 6 z  0 . 25 )
2
( z  0 . 5 )( z  0 . 3 j )
( z  0 . 3 )( z  0 . 2 )( z  0 . 3  j 0 . 4 )( z  0 . 3  j 0 . 4 )
los ceros del sistema
serán
c 1   0 .5, c 2  0 .3 j
los polos del sistema
serán
p 1   0 .3, p 2   0 .2 , p 3   0 .3  j 0 .4 , p 4   0 .3  j 0 .4
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Diagrama de polos y ceros (ejemplo)
Imag(z)
1
4
0.3
-1
Re(z)
-0.5
1
-3
-2
-4
-1
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Sistemas de Primer Orden
Un sistema
de primer orden tien e las caracterís ticas siguientes
y [ n ]  ay [ n  1]  x [ n ]
H (z) 
h[ n ]  a u [ n ]
y u [n] 
n
las gráficas
de las respuestas
4,5
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-4
impulso
1
1  az
1
1 a
1

z
za
[1  a ]u [ n ]
n 1
y escalón serán
yu[n]
a = 0.75
h[n]
1
6
11
16
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Sistemas de Primer Orden
Respuesta Impulsiva de un Sistema Discreto de Primer Orden
1.5
h[n]
1
0.5
a = 0.75
0
-2
0
2
4
6
8
10
Tiempo n
12
14
16
18
20
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Sistemas de Primer Orden
Respuesta Escalón de un Sistema Discreto de Primer Orden
5
4
a = 0.75
yu[n]
3
2
1
0
-2
0
2
4
6
8
10
Tiempo n
12
14
16
18
20
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Sistemas de Segundo Orden
Un sistema
orden tien e las caracterís ticas siguientes
de segundo
y [ n ]  2 r cos(  ) y [ n  1]  r y [ n  2 ]  x [ n ]
2
con
H (e
j
0  r 1 y
)
0  
1
1  2 r cos(  ) e
 j
 (n  1 )r n u [ n ]

 n sen ((n  1 )  )
u[n ]
h[ n ]   r
sen (  )

 (n  1 )(  r ) n u [ n ]

r e
2
 j 2
si   0
si 0    
si   
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Sistemas de Segundo Orden
n 1
n 1


1
r
( n  1) r



u[n ]
2
2
(
r

1
)
(
r

1
)
r

1



j n 1

 1  ( re j  ) n  1  
  1  ( re )
  B 
  u [ n ]
y u [ n ]    A 
j
j

 1  re

   1  re

n
n

1
r ( r )
( n  1) r (  r ) 




u[n ]
2
2
  ( r  1)
( r  1)
r 1

donde A 
las gráficas
de las respuestas
e
j
2 j sen(  )
impulso
y
B 
e
si   0
si 0    
si   
 j
2 j sen(  )
y escalón para valores de r y  serán
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Respuestas impulsivas de sistemas de segundo orden
2
1,5
r = 0.75
1,5
r = 0.75
1
 = 45°
 = 0°
0,5
1
0
0,5
-0,5
0
-1
3
r = 0.75
2
 = 180°
1
1,5
1
r = 0.5
 = 0°
0
-1
0,5
-2
-3
0
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Respuestas escalón de sistemas de segundo orden
20
15
10
r = 0.75
5
 = 0°
0
2
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
-1,5
-2
r = 0.75
 = 180°
1,5
1
0,5
0
-0,5
-1
r = 0.5
 = 180°
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Consiga la respuesta de los sistemas descritos por las
ecuaciones en diferencias siguientes aplicando
Transformada Z
ecuación
ecuación
y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p2(n-2) y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n]
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p2(n-4)
y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4)n u[n] y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4)n q1(n-1)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q2(n-2)
ASL/RAD/2001
Respuesta de un Sistema Discreto por
Transformada Z
Consiga la función de transferencia de los sistemas
descritos por las ecuaciones en diferencias siguientes
ecuación
ecuación
y[n] + 10y[n-1]+24y[n-2] = 50p2(n-2) y[n]+10y[n-1]+24y[n-2] = q2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6u[n]
y[n] + 8y[n-1]+12y[n-2] = 6p2(n-4)
y[n] + 8y[n-1]+165y[n-2] = 6(0.4)n u[n] y[n]+8y[n-1]+165y[n-2]=6(0.4)n q1(n-1)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]=6 p2(n-2)
y[n] + 8y[n-1]+25y[n-2]= q2(n-2)
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