Método de Análisis para
problemas no lineales de
Control óptimo y discreto
XV Congreso Nacional de Matemáticas
D. Patiño, R. Meziat
Departamento de Matemáticas
Universidad de los Andes
Colombia, 2005
Contenido

Introducción

Confexificación

Método de los momentos

Casos de Aplicación

Conclusiones y trabajo futuro
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Introducción
Proponemos una forma alternativa para resolver
problemas de control óptimo discreto no
lineal:
Min

M in
1
f ( x , u , t ) dt
s .a .
s .a .
x  g ( x, u , t )
x (0)  x0
x (1)  x f
Caso I: Control continuo,
sistema continuo.
f ( x, u , t )dt
0

0


1
x  g ( x, u , t )
u    u1 ,  u 2 ,
x (0 )  x 0
, un
x (1)  x f
Caso II: Control discreto,
sistema continuo.
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Introducción
M in
s .a .
 f  x ,u ,t 
i
i
i
min
x i 1  g ( x i , u i , t i )
u    u1 ,  u 2 ,
x0  a
F  x 1 
u
, un
xN  b
Caso III: Control discreto,
sistema discreto.
x: Variables de estado del sistema
s .t .
x  g t , x , u 
x 0   x 0
xR
n
Caso IV: Forma de Mayer
f  x, t, u  
N1
 a  x, t  u
k
k
k 0
u: Señal de control
g  x, t, u  
N2
 c  x, t  u
k
k
k 0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Introducción
Técnicas clásicas: Análisis por espacio de estados, Control
BIG-BANG, Optimización dinámica
Dificultades de linealidad: Dificultades de convexidad:
NO LINEAL:
NO CONVEXO :
Integración
No aplica la teoría clásica
para
establecer
Inestabilidad
existencia
de
la
Caos
solución.
Singularidades
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Introducción
*Pedregal y Muñoz. Universidad de Castilla – La Mancha
1998
Método de relajación en medidas de probabilidad
(MEDIDAS PARAMETRIZADAS SOBRE EL CONTROL
- YOUNG).
1
Min

f ( x ,  , t ) d  (  ) dt
Espacio de control
0

s .a .
x
  P ( )
 g ( x,  , t )d ( )
(Lineal – Convexo en
medidas de probabilidad)
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Convexificación
*Pedregal y Muñoz.

Proceso de convexificación en el espacio de
control , mediante integración con distribuciones
de probabilidad:
f

fd 

co()
Obtenemos un problema definido en la
envoltura convexa del espacio de control.
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentos
Estructura:
N
f (u ) 
 c
i
i
(u )
•Lineal
0
N

f (u ) d  
cm
i
•Convexa
i
0
mi: Momentos
  (mi )

co (  )
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentos

Estructura polinomial:
f x, u , t  
N

c i  x , t u
N
i
i
g x, u , t  

0
i
0
0
M
 f  x ,  , t d      c  x , t m
M
d i  x , t u
i
 g  x ,  , t d      d  x , t m
i
0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
i
Método de los momentos

Caracterización de momentos
1
 m0

 m1
H m    m 2

 

 mN
m1
m2

m2
m3

m3





m N 1


mN 

m N 1 
 0

 

m2N 
N
  c  x , t m t dt
min
i
m
0

x
i
0
M
 d  x , t m t 
i
i
0
x 0   x 0
x 1   x f
Hankel Semidefinida Positiva
Problema de control óptimo con forma lineal para el control
con una familia convexa de controles m  co()
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Método de los momentos
A
Medida en P()
Convexo
B

m
Vector de
momentos
Proyección
Convexo
COVEXIFICACIÓN
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problema
Supongamos el caso donde el control solo toma dos valores:
M in
s .a .
 f  x ,u ,t 
i
i
i
x i 1  g ( x i , u i , t i )
u    u1 
x0  a
EL PROBLEMA ES NO
LINEAL EN EL CONTROL !!!!!
xN  b
M in
EL PROBLEMA PUEDE
NO SER CONVEXO!!!!
h(u) ES COERCIVO!
s .a .
 f  x ,u ,t 
i
i
i
x i 1  g ( x i , u i , t i )
h  u    u  u1   u  u1  u  0
2
x0  a
2
xN  b
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
2
Análisis del problema
Para abordar el problema de no linealidad y el de no
convexidad, utilizamos una relajación en medidas de
probabilidad.
1
M in
  f  x ,  , t  d     dt
i
i
i
f


co()
0
s .t .
x i 1 
 g ( x ,  , t )d  ( )
i
i
i
 h ( )d  ( )  0
i
  P ( )
Espacio de control
fd 
Obtenemos un problema definido
en la envoltura convexa del
espacio de control.
(Lineal – Convexo en
medidas de probabilidad)
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problema
La convexificación se realiza mediante distribuciones de
probabilidad, y a su vez se discretizan por los momentos
algebraicos.
N
f (u ) 
 c
i
i
(u )
  (mi )
0
N

f (u ) d  
cm
i

co (  )
i
0
mi: Momentos
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Análisis del problema
CARACTERIZACIÓN
MOMENTOS:
 m0

 m1
H m    m 2

 

 mN
m1
m2
DE

m2
m3

m3





m N 1


mN 

m N 1 
 0

 

m2N 
Hankel Semidefinida Positiva
n
m in
m
  c  x t  m  t dt
i
i, i
i
i
0
M
s .t .
x i 1 
 d  x, t  m t 
i
i
i
0
p i m i  ti   0
x0  a
xN  b
Problema de control óptimo con forma lineal para el control con
una familia convexa de controles m  co()
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1
S(x)
Modelo:

x  V cos 

y  V sin   S ( x )
y
Se trata de minimizar la
energía del sistema y la
cantidad que se aleje de
la horizontal
x
L
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1
Minimización de
energía cinética
(Corriente en y):
   2    2 
   x    y  dt
0 

t
Min
PROBLEMA DE
CONTROL NO
LINEAL

s .a .
x  V cos 

y  V sin   S ( x )
x (0)  0
y (0)  0
x (1)  L
MÉTODO
CLÁSICO
(HAMILTON)
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1 –
Método clásico
H  g p a
T
2
2


H   x    y   p 1V cos   p 2V sin   p 2 S ( x )
 
 

 p    H
x
H
u
Principio del mínimo de
Poyntriaguin
0

p1
x  V
RUNGE-KUTTA 4to ORDEN
p1
2

 4x
2
2x
y  V
p1
2
 4x

2
Vx
p1   4
p1
2
 4x
 2x
2
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1 –
Método clásico
t vs X
t vs Y
X vs Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1 –
Método clásico
PROBLEMA DE
CONTROL NO
LINEAL
   2    2 
   x    y  dt
0 

t
Min

RELAJACIÓN
CONVEXA
s .a .
x  V cos 

y  V sin   S ( x )
x (0)  0
y (0)  0
x (1)  L
PROGRAMA
MATEMÁTICO
CONVEXO
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Ejemplos trigonométricos 1 –
Nueva propuesta
Base trigonométrica
Matriz de TOEPLITZ semidefinida
positiva
m0

 m1
m 1 
  0
m0 
m 1  m 1
real ( m 1 )  
imag ( m 1 )  
   2    2 
Min    x    y   dt
     

s .a .
x  V

y  V  x
   1
2
x 0   0
2
y 0   0
x (1)  L
m0  1
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 1 –
Nueva propuesta
t vs X
t vs Y
X vs Y
COMPARACION CON EL MÈTODO HABITUAL
Estimación del
Error
ei 
t vs X
 xi

 xi 
xi
 X  0 . 01047
 Y  0 . 1184

 Y  0 . 0758
2
X
 0 . 0555
2
t vs Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 2
Minimización
de
energía
cinética
(Corriente en x, y):
   2    2 
   x    y   dt
0 

t
Min

s .a .
y
x  V cos   S ( y )

y  V sin   S ( x )
x
x (0)  0
L
y (0)  0
x (1)  L
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 2 –
Método clásico
PRINCIPIO DEL MÍNIMO
DE POYNTRIAGUIN


x V
 
2
2V 

y 
 
2

y
p1   2

x
 y
2
p2  2
2
 2 x  p2
V
 
2
2
V
 
2
2
 2 y  p1
  2 y  p1
  2 x  p2
 2 y  p1
RUNGE-KUTTA 4to
ORDEN
L
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 2 –
Nueva propuesta
      
Min    x    y   dt
0 
     
2
1
2

s .a .
x  V cos   y

s .a .
x  V  y

y  V  x

y  V sin   x
x 0   0
   2    2 
Min    x    y   dt
  
0 
 
t
y 0   0
   1
2
x 1   L
2
x 0   0
x t   L
y (0 )  0
BASE DE LA RELAJACIÓN: {1,eit,e-it}
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Ejemplos trigonométricos 2 –
Nueva propuesta
20 puntos
t vs Y
t vs X
30 puntos
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 2 –
Nueva propuesta
# puntos
X

2
X
Y
Y
2
20
puntos
0.1315
0.0542
0.1432
0.0595
30
puntos
0.0961
0.0385
0.1019
0.0439
40
puntos
0.0773
0.0301
0.1010
0.0366
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 3 –
Minimizar trayectoria

Vp 1
x 
2
p1  p 2
t
Min

2
y dt

Vp 2
y 
0
2
p1  p 2

s .a .
x  V cos 

2
2
EDOs

p  2 x
y  V sin   S ( x )
NO
LINEALES
S ( x)  x
t
x (0)  0
y (0)  0
x (t )  L
Min
y
2
dt
0

s .a .
PROBLEMA DE CONTROL
CONVEXO
x  V

y  V  x
   1
2
x (0)  0
2
y (0)  0
x (1)  L
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 3 –
Minimizar trayectoria
t vs Y
t vs X
COMPARACIÓN
X vs Y
CON PMP
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos trigonométricos 3 –
Minimizar trayectoria
# puntos
20
puntos
30
puntos
40
puntos
Y
X

0.0765
0.0201
0.1012
0.0435
0.0645
0.0123
0.0812
0.0329
0.0443
0.011
0.0810
0.0387
2
X
Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
2
Ejemplos polinomiales 1 –
Seguimiento de trayectoria
1
M in
  x  10 t 
2
1
|dt
M in
2
dt
0
0


s .t .
  x  10t 
s .t .
x  u  ux  x
2
m0

 m1
x (0)  0
M in
m1 
0
m2 
x (0 )  0
h
2
s .t .
x  m 2  m1 x  x
N

r 1
  x  1 0 rh  2   x  1 0  r  1  h  2 
r 1
 r

x r  x r 1
h
m0

 m1
 m 2  r   m1  r  x r  x r
m1 
0
m2 
x0  0
x (0 )  0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 1 –
Seguimiento de trayectoria
Control signal
t vs X
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 1 –
Seguimiento de trayectoria
mk  u
*
*

k
?
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 2
10
M in
x t
2

2
10
dt
M in
0
x  m 2  m1 x  x
m0

 m1
2
|dt
0

s .t .
 x t 
2

x  u  ux  x
2
s .t .
m1 
0
m2 
x (0)  0
x (0 )  0
M in
h
N

2
r 1
s .t .

2

x r   rh 


x r  x r 1
h
m0

 m1
  x
2
r 1
   r  1 h 
2
 
2
 m 2  r   m1  r  x r  x r
m1 
0
m2 
x0  0
x (0)  0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 2
Control signal
t vs X
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 3 – Sistema
multivariable
1
1
m in
u t 
x  t
2
  y  t  dt
m ,x
2
  y  t  dt
2
0

0
s .t . x  m 1

s .t .
x  t
 
m in
2
xu


y  1  u
2
x 0  0
m in
m ,x, y 
s .t .

2
y  1  2m2  m4  x
x
2
 1

m t
 1 
m2 t 

y 0  0
h
2
m1  t 
m2 t 
m3  t 
2
m2 t 

m3  t   0

m 4  t  
x 0  0 y 0  0
N
   x
r
r 1
x r  x r 1
h
y r  y r 1
h
 1

m r
 1 
m2  r 

x0  0
 rh    y r  rh    x r 1   r  1  h    y r 1   r  1  h  

2
2
2
2
 m1
 1  2m2  m4  x
m1  r 
m2  r 
m3  r 
2
m2  r 

m3  r   0

m 4  r  
y0  0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 3 – Sistema
multivariable
mk  u
*
*

k
?
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 4 –
Existencia de minimizador
1
m in
u t 

 u   x t 
2
 dx  x 1 
0

xu
s .t .
x 0  0
  u   1  u
2

NO EXISTE
MINIMIZADOR!!
2
1
m in
u t 

1  2m2  m4  x t 
2
 dx  x 1 
0

s .t .
x  m1
x 0  0
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Ejemplos polinomiales 3 – Sistema
multivariable
Control signal
t vs X
t vs Y
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación discreto
Planificación de trayectorias.
Posibilidades de movimiento:
1. Arriba
2. Abajo
3. Quieto
Punto meta
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación discreto
Formulación:
N
m in
N
m in
x
i0
s .t .
x i 1  x i  u i
u i   1, 0
xi  y i
2
i
i0
2
i
x
s .t .
x i  1  x i  m 1, i
m 6 ,i  2 m 2 ,i  0
 1

m
 1, i
 m 2 ,i

 m 3 ,i
m 1, i
m 2 ,i
m 2 ,i
m 3 ,i
m 3 ,i
m 4 ,i
m 4 ,i
m 5 ,i
m 3 ,i 

m 4 ,i
0
m 5 ,i 

m 6 ,i 
xi  y i
Método de Análisis para Problemas no Lineales de Control óptimo y Discreto, D. Patiño.
Casos de aplicación discreto
Trayectoria
Control
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Casos de aplicación discreto
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Casos de aplicación discreto
Control de un motor DC.
R: Resistencia eléctrica del
motor.
I: Momento de Inercia
L: Inductancia
K: Torque
i: Corriente
w: Velocidad Angular
Solo acepta tres voltajes a la
entrada (+1, -1, 0)
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Casos de aplicación discreto
Formulación I:
2
m in
 i
   V in
2
2
2
 dt
s .t .
2
i
R
i
L
0
s .t . i  
R
1
i
L
 
   m2 t   dt
2
0
2
m in
 i
K
L
V in
i
L
u    1, 0
i  0   i0
 0  0
 
K
1
L
m1
i
L
m6  2m2  0
 1

m
 1
m2

 m3
m1
m2
m2
m3
m3
m4
m4
m5
m3 

m4
0
m5 

m6 
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Casos de aplicación discreto
Corriente
Velocidad angular
Control
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Casos de aplicación discreto
Formulación II:
2
m in
2
0
2
m in
  m  t   dt
  V  dt
2
s .t .
in
i
s .t . i  
1
i
L
 
K
L
V in
i
L
u    5, 0 
i  0   i0
i
L
0
R
R
 0  0
 
K
1
L
m1
i
L
m6  25m2  0
 1

m
 1
m2

 m3
m1
m2
m2
m3
m3
m4
m4
m5
m3 

m4
0
m5 

m6 
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Casos de aplicación discreto
Control
Velocidad angular
Corriente
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Conclusiones y trabajo futuro





Los resultados con las técnicas de relajación son
buenos y poseen una buena exactitud.
El problema transformado es convexo en el control,
por lo cual posee solución (Cesari, 1983)
La señal de control se obtiene a partir del momento
central en la serie de momentos de la
convexificación.
Aplicaciones fuertes en economía.
Próxima meta: Controlar sistemas MIMO (Multiple
Input Multiple Output)
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Ecuaciones en Derivadas parciales