Análisis de Fourier para
señales Discretas
Francisco Carlos Calderón
PUJ 2010
Objetivos
1.Definir la DTFT y estudiar algunas de sus
propiedades.
2.Analizar señales y SLIT discretos utilizando
la transformada de Fourier.
3.Definir la DFT y estudiar algunas de sus
propiedades.
Desarrollo en serie de fourier de señales
discretas y periódicas
• Una señal en tiempo discreto es periódica de
periodo N si:
x(n)x(nN
)
• Donde N es un entero positivo
Desarrollo en serie de fourier de señales
discretas y periódicas
x[n] akejkn
k
2k
k 
N
• Solo hay N valores de k
k ={0,1,2,3…,N-1}
Desarrollo en serie de fourier de señales
discretas y periódicas
• Reemplazando en el desarrollo en series de
fourier generalizado:
2

nk
j
N
x
(n
)
a
ke
k
N

2

nk

j
1
a
x
(
n
)
eN
k 
N
n

N

• Como cada uno de los términos de la serie
tiene periodo N por lo tanto su suma también
tiene periodo N

2

nt
j
T
x
(t)
a
ke
n


T

2
nt
j
1 
T
c

x
(
t
)
e
dt
,
n

(...,

1
,
0
,
1
,...)
n

T
0
Propiedades de la Serie discreta de
Fourier.
• Suponiendo que x(n) es una señal periódica,
de frecuencia fundamental:
2
0 
N
• Y con los coeficientes de la serie de fourier
discreta notados como:
SFD
x(n) ak
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Linealidad:
FS
x(t) ak
FS
y(t) bk






z
n

Ax
n

By
n




c

Aa

Bb
k
SFD
k
k
•
Desplazamiento de tiempo:


x
n

m




e a

j

km
SFD
0
k
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Convolución
2

k


x
(
n
)
*
h
(
n
);
h
(
n
)no
periodica

a
H
 
k
N

SFD


j

n
k
H
(

)

h
(
n
)
e

k
n


•
Modulación
SFD




x
t
y
t




c
a

b
k
k
k
Propiedades de la Serie Continua de
Fourier.
•
Conjugación y simetría:

Nk
ak  a
•
Convolución periódica
SFD




x
t

y
t




c

Na
b
k
k
k
N

1
N

1
k

0
k

0
y
(
n
)

x
(
n
)

x
(
n
)

x
(
k
)
x
(
n

k
)

x
(
n

k
)
x
(
k
)


1
2
1
2
1
2
Transformada de fourier en tiempo
discreto DTFT
Recordando la pareja transformada de fourier
en tiempo discreto:


1

jwt
jwt
X
(
w
)x
(
t)
e
dt
x
(
t
) 
X
(
w
)
e
dw
2

t

w



 

 
jwt
X
(
w
)

x
(
t
)
e
dt


(
t

nT
)
x
(
t
)
e
dt



s
s


n




t


t




jwt

jwnT

x
(
nT
)
e

n


Transformada de fourier en tiempo
discreto DTFT
• Sustituyendo wT por la nueva frecuencia
discreta  “en Radianes”

X(
)
x(n
)e
j
n
n

1
x(n
)  X(
)ejnd

2
 2
Propiedades de la Transformada de fourier
en tiempo discreto DTFT
• Usando la notación:

x(n)
X
(

)

1

• Y sean



xn


X


yn


Y

Propiedades de la Transformada de fourier
en tiempo discreto DTFT
•
Periodicidad



X


2



X
(

)
•
Linealidad:






z
n

Ax
n

By
n



Z
(

)

AX
(

)

BY
(

)

•
Desplazamiento de
tiempo:
j

n
 
0


x
n

n



e
X
(

)
0
Propiedades de la Transformada de fourier
en tiempo discreto DTFT
•
Desplazamiento en frecuencia:
j

n 
0



x
n
e



X



0
•
Multiplicación “modulación”:
1


x
n
y
(
n
)



X
(
p
)
Y
(


p
)
dp


2


2


Propiedades de la Transformada de fourier
en tiempo discreto DTFT
•
•
Diferenciación en frecuencia



 dX
nx
(n
)


d

Convolución



x
n
*
y
(
n
)



X

Y
(

)

•
Desplazamiento en frecuencia:

j

n

0


e
x
(
n
)



X



0
Propiedades de la Transformada de fourier
en tiempo discreto DTFT
• DTFT de señales periódicas:
2
N1 jk0n 
Xake
0 
,con
N
k0

N1

ake
jk0n
k0
a 2(k )
N1
k0
k
N1
X2ak(k0)
k0
k {0,1,2,...,N1} N0  2
X
(0
)X
(0
2
)
0
Transformada discreta de Fourier
DFT
2

nk
j
N
x
(n
)
a
ke
k
N


X(
)
x(n
)ejn
n

2

nk

j
1
a
x
(
n
)
eN
k 
N
n

N

1
j
n
x(n
)  X(
)e d

2
 2
Se pretende encontrar la transformada de fourier de la secuencia discreta
1
,
0

n

N

1

x
(
n
)

x
(
n
)
w
(
n
),
w
(
n
)


original
0
,


Transformada discreta de Fourier
DFT
1
,
0

n

N

1

x
(
n
)

x
(
n
)
w
(
n
),
w
(
n
)


original
0
,


N

1

X
(

)

x
(
n
)
e
,
period
de
peri
2


j

n
n

0
2k
k 
X
(

)

x
(
n
)
e,
k

{
0
,
1
,
2
,
3
,...,
M

1
}
k
M
n

0
N

1


j

n
k
Puede tomarse cualquier valor de M por practicidad se toma M=N
Transformada discreta de Fourier
DFT y su inversa IDFT
N

1
X
(
k
)

x
(
n
)
e,
k

{
0
,
1
,
2
,
3
,...,
N

1
}

n

0

j

n
k
2k
k 
N
2

nk

j
1
a
x
(
n
)
eN
k 
N
n

N

N

1
1
j

n
k
x
(
n
)

X
(
k
)
e
,
n

{
0
,
1
,
2
,
3
,...
N

1
}

N
k

0
Propiedades de la Transformada discreta de
Fourier DFT
• Usando la notación:
DFT
x(n) 
X
(
k
)

1
DFT
• Y sean
k
n



Y


x
n



X
k y
DFT
DFT
Propiedades de la Transformada discreta de
Fourier DFT
•
•
Periodicidad
kN
X(N
X
)
Linealidad:






z
n

Ax
n

By
n




Z
(
k
)

AX
(
k
)

B
(
k
)
DFT
•
Desplazamiento en n:


x
n

n




e X
(
k
)
0

j

kn
DFT
0
Propiedades de la Transformada discreta de
Fourier DFT
•
IDFT inversión alternativa “y rápida”
 



1


x
n
 DFT
X
(
k
)
N
•
x(n) 
X(k)

1
Convolución
N

1
IDFT




X
k
Y
K




x
(
m
)
y
(
n

m
)

m

0
DFT
DFT
Convolución lineal mediante la DFT
Para realizar la convolución lineal de dos secuencias x(n) de longitud N y
y(n) de longitud M mediante la DFT, se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se expanden al final de las dos secuencias con ceros de tal manera
que tengan una nueva longitud K que cumpla:
kMN1
2. Con estas nuevas secuencias ya (k ) y xa (n) se calcula:
y
n
)

IDFT
(
Y
(
k
)
X
(
k
))
l(
a
a
Referencias
 Señales y sistemas continuos y discretos, Soliman.
S y Srinath. M. 2ª edición cap 7
 Señales y sistemas ,Oppenheim, alan cap 5
 Apuntes de clase Prof. Jairo Hurtado PUJ
 Apuntes de clase Prof. Julián Quiroga PUJ
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