TEMA 3
LA TRANSFORMADA Z Y SUS
APLICACIONES
Introduccion

Dada una secuencia x(n), se define
su Transformada Z como:
(Transformada bilateral)

En el caso de sistemas y señales
causales:
(Transformada uniteral)
siendo z una variable compleja: z=x+jy



Sustituyendo z por su expresión en forma polar,
podemos interpretar X(z) en términos de la
Transformada de Fourier
Luego, la Transformada Z puede interpretarse
como la transformada de Fourier multiplicada por
una secuencia exponencial.
A partir de la definición es fácil observar que la
Transformada de Fourier de una secuencia
coincide con la transformada Z de la misma,
evaluada sobre el círculo unidad.

Los principales motivos para introducir
esta generalización son que:
• La Transformada de Fourier no converge para
todas las secuencias.
• Facilita la resolución de problemas analíticos.
• Permite la utilización de la Teoría de variable
compleja en problemas de señales y sistemas
discretos

En este tema estudiaremos la representación de
la TZ de una secuencia y veremos la relación
existente entre las propiedades de la secuencia y
las propiedades de su TZ. Intentaremos ser
precisos pero sin mantener un alto grado de rigor
matemático.




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En este tema estudiaremos la representación de la TZ de
una secuencia y veremos la relación existente entre las
propiedades de la secuencia y las propiedades de su TZ.
Intentaremos ser precisos pero sin mantener un alto grado
de rigor matemático.
Análogamente a la Transformada de Fourier, la
transformada Z convierte una convolución en el domino
temporal en una multiplicación en el dominio Z.
Su utilidad principal consiste en el análisis y síntesis de
filtros digitales.
La configuración de las singularidades determina el tipo de
filtro digital, bien recursivo o no recursivo, y puede usarse
para interpretar su comportamiento frecuencial.
La cuestión de la estabilidad puede enfocarse en términos
de la localización de los polos en el plano Z (Dentro del
circulo unidad)
CONVERGENCIA DE LA
TRANSFORMADA Z



La Transformada Z no converge para todas las secuencias,
ni para todos los valores de z.
Para una determinada secuencia, el conjunto de valores de
z para los cuales la Transformada Z converge, se denomina
REGIÓN DE CONVERGENCIA.
Para que la TZ de una secuencia sea convergente es
necesario que la serie sea absolutamente sumable, es
decir:
EJEMPLO

Sea la secuencia
x(n)=anu(n):
EJEMPLO
La TZ es convergente solo si:
r>a  | z| >a y converge a:





Ya que la TZ es función de una variable compleja, es
conveniente describirla e interpretarla usando el plano
complejo
Un grupo importante de TZ está constituido por aquellas
funciones X(z) que son racionales, es decir un cociente de
polinomios en z.
En ellas, las raíces del numerador(valores de z tales que
X(z)=0), se denominan ceros de X(z).
Análogamente, a las raíces del denominador (valores de z
que hacen que X(z) Õ ¥ ) se les denomina polos de X(z).
No puede haber polos en la Región de convergencia. Los
polos están en el límite de la región de convergencia.

Podemos resumir la convergencia de la TZ en los
siguientes puntos:
1) En general, la región de convergencia (RdC) de X(z) es un
anillo centrado en el origen del plano z, y es una región
conectada.
2) La RdC de una X(z) no contiene polos y está limitada por polos
ó el cero o el infinito.
3) Si la secuencia x(n) es de longitud finita, la RdC es el plano
completo excepto, z=0 y/o z=¥ .
4) Si x(n) es una secuencia por el lado derecho y si el círculo | z|
=R está en la RdC, también lo está la región | z| >R.
5) Si x(n) es una secuencia por el lado izquierdo y si el círculo
| z| =R está en la RdC, también lo está la región | z| <R.
6) Si x(n) es una secuencia por ambos lados, la RdC, es un anillo
centrado en el origen.
LA TRANSFORMADA Z INVERSA




Una de las aplicaciones mas importantes de la TZ es en el
análisis de sistemas discretos LIT. Este análisis suele
requerir calcular la TZ inversa. Los tres métodos básicos
para recuperar la secuencia original a partir de su
Transformada Z son:
Expansión en fracciones parciales o en series de
potencias
Integral de inversión compleja
Inspección directa
Inspección Directa


El método de inspección directa se trata simplemente de
familiarizarse con la TZ e identificar ciertos pares.
Si la TZ es una función racional, la expresión en forma de
serie de potencias puede obtenerse fácilmente mediante
división de polinomios. Podremos observar como
precisamente los coeficientes asociados a cada uno de los
términos z-n de la serie son los valores de la secuencia , ya
que por definición la TZ es:
Descomposición en Fracciones
Simples


Consiste en realizar una Descomposición en Fracciones
Simples e identificar las transformadas simples de los
términos así obtenidos.
M:orden de P(z)
• Si
siendo N orden de Q(z)


Si M<N y solo existen polos de primer
orden:
Si M ≥ N y solo existen polos simples:
siendo los Bi los coeficientes obtenidos mediante división hasta que el resto
sea de un orden igual al del denominador menos 1. Con este resto se
procede a descomponer en fracciones simples y el resultado se añade al de
la división.
TEOREMA DE LOS RESIDUOS

En el caso de polos múltiples, por ejemplo uno en z=pi , de orden de
multiplicidad s, la descomposición resulta
En general, si
es una función racional de z:
es decir, tiene 5 polos en z = z0 (4 f(z) no tiene polos en z = z0)
El residuo de dicha función en z = z0 es :
En particular si 5 = 1 para z0 es = p

Caso general: Si la función a integrar Φ (z)
tiene varios polos Pi, con grados Si,
dentro de C:
Cálculo a partir del Teorema de los
Residuos

Teorema de la integral de Canchy:
Transformada Z Inversa
(Multiplicando por zk-1 a ambos lados e integrando...)
1 si – n + k = 0 => n= k , 0 otro caso
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
LINEALIDAD:
Si
Entonces:
•DESPLAZAMIENTO:
Si
Entonces:
(posible adición o desaparición de 0/ )
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
INVERSIÓN DE UNA SECUENCIA:
Si
Entonces:
MULTIPLICACIÓN POR UNA SECUENCIA EXPONENCIAL:
Si
Entonces:
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
•TEOREMA DEL VALOR INICIAL
Si
CONJUGACIÓN DE UNA SECUENCIA COMPLEJA.Si
Entonces:
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.
Si
Entonces:
PROPIEDADES DE LA
TRANSFORMADA Z
CONVOLUCIÓN DE DOS SECUENCIAS.
Sea
Entonces
EJEMPLO
Determinar la TZ inversa de:
Pero
Entonces
Luego:
EJEMPLO
Determinar la TZ de las secuencias
TEOREMA DE LA
CONVOLUCIÓN COMPLEJA
Sean
Entonces:
Siendo
RELACIÓN DE PARSEVAL
Sean
Si X(z) y*(n) convergen en el círculo unitario
FUNCIÓN DEL SISTEMA Y
FILTROS DIGITALES
FILTROS FIR
(NO RECURSIVOS)
"La Función del Sistema puede expresarse como un polinomio en el numerador"
FILTROS IIR
N>0
"La Función del Sistema tendrá polos,
de c/n de los cuales
contribuye con una sec. Exponencial a la k(n)"
FUNCIÓN DEL SISTEMA
Estabilidad:
"Si la Rdc incluye el círculo unidad, el Sistema es ESTABLE y viceversa".
Si además de ser estable es CAUSAL, incluye el círculo unitario
y la zona del plano z (se entiende hasta z = ∞ , desde aquel).
ESTABILIDAD
Si evaluamos X(z) sobre el círculo unidad comenzando en z=1 (w=0) hasta z=-1 (w=Π),
pasando por z=j (w=B/2), obtenemos la TF para 0<w<B. Continuando a lo largo de este
círculo obtendríamos la TF desde B a 2B (\ desde -B a 0).
Con esta interpretación se hace evidente la propiedad de periodicidad de la TF de una
secuencia.
•Cuando la serie de potencias puede sumarse y expresarse de forma sencilla decimos
que la TZ está en forma cerrada.
•Toda secuencia que pueda representarse como suma de exponenciales puede
representarse por una TZ de tipo racional.
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