Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
En forma análoga, una ecuación de estado en tiempo discreto, es una ecuación de
diferencias de primer orden vectorial. La ecuación de salida, que completa el modelo en
tiempo discreto es descrita con las mismas matrices C y D del modelo en tiempo continuo.
Partiendo de,


X  A X  BU

Y  C X  D U
Si se asume que el vector de entrada sólo cambia instantes equidistantes,
U t   U  kT

para k  0 , 1, 2 , 
entonces la representación en tiempo discreto de la ecuación de estado será:
X
 k  1 T   P T  X  kT   Q T U  kT 
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Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
Para la deducción de las matrices P T  cuadrada  nxn  y Q T  se parte de la solución
de la ecuación de estado en tiempo continuo,
X t   e
At
X 0   e
At

t
e
 A
0
B U   d 
At
donde se sabe que  t   e es la matriz de transición de estado.
Como el vector de entrada se asume constante entre instantes de muestreo, se tiene que
para el k-ésimo instante, la solución será:
X  k  1 T   e
o también,
A  k  1 T
X  kT   e
AkT
X 0   e
X 0   e
A  k  1 T
AkT

 k  1 T
0

kT
0
e
 A
e
 A
B U   d 
B U   d 
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At
Multiplicando esta última expresión por e y restándola de la anterior, resulta:
X  k  1 T   e
AT
X  kT   e
A  k  1 T

 k  1 T
e
 A
kT
B U  kT  d 
Haciendo y    kT  se tiene,
X  k  1 T   e
Y haciendo t  T  y
AT
X  kT   e

AT
T
e
 Ay
0
B U  kT  dy
da,
X  k  1 T   e
AT
X  kT  

T
0
e
 At
B U  kT  dt
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Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
Comparando este resultado con la solución en tiempo continuo, se tiene finalmente que:

 P T  



 Q T  

e
AT
 T e At dt  B


 0

Si en particular existe la inversa A  1 entonces se puede alternativamente calcular,

Q T   e
AT

1
I A B
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Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
En forma compacta,
 X k  1  P T  X k  Q T U


Y  C X  D U
k
k
 k
k
EJEMPLO: Hallar la representación en tiempo discreto para T=1, del sistema continuo,
0
X t   
0

1 
 X t  
 2
0 
  u t 
1 
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Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
SOLUCIÓN:
Se recuerda que mediante Laplace, la matriz de transición de estado es,
 t   L
siendo la inversa de una matriz,
M
1
1
  sI  A  

1
 Cofactores  M T

Det  M 
Det  M 
Adjunta  M
Luego,
1
P T    T   
0
1  e  / 2 
2T
e
 2T


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Modelo en Variables de Estado en Tiempo Discreto
T
At
Q T     e dt  B
 0

Por otro lado,
 T
Q T    
 0

1

0
1  e 
2t
e
2t
2T
T
e
 1


/ 2   0   2
4


 dt      
 2T
1
e
1
    


 2

2
 2 x1
Sustituyendo el valor del período de muestreo en las matrices, resulta finalmente:
X
k 1
1

0
0 , 432 
X
0 ,135 
k
 0 , 284 

 uk
 0 , 432 
NOTA: Las dimensiones de las matrices entre las versiones, se conservan
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Solución de la Ecuación de Estado Discreta
Sea, X k 1  P X k  Q U k con
apropiadas.
y
X ,U , P
zX  z   zX
Aplicando la transformada Z se tiene:
 zI
Vectores y Matrices de dimensiones
Q
0
 P X z   Q U z 
 P  X  z   zX 0  Q U  z 
Luego, X  z     z  zX 0  Q U  z 
Ahora la matriz de transición de estado (en Z) es   z    zI  P  . Finalmente,
1
Xk  Z
1
  z  zX 0  Q U  z 
Aquí:
Sol . Homogénea
Z
1
  z  zX 0 
Sol . Particular
Z
1
  z  Q U  z 
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Solución de la Ecuación de Estado Discreta
EJEMPLO: Hallar la solución (en el tiempo) para la ecuación de estado,
1
X k 1  
0
0
0 
X

 k   uk
2
1 
cuyas condiciones iniciales son X 0  1 0 
T
y la entrada es un escalón unitario.
SOLUCIÓN:
La entrada a considerar es, U  z  
z
z 1
  z    zI  P 
1
y la matriz de transición de estado es,
0 
z  2


z  1
 0

 z  1  z  2 
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Solución de la Ecuación de Estado Discreta
Con lo que la solución homogénea es,
Y la solución particular es,
  z   zX
0
 z  2
z

 z /  z  1 
 0 

 
 z  1  z  2   0 
0


 z  Q U z   

 z /  z  1 z  2 
Finalmente, con la suma de las dos soluciones, resulta:


z


z

1


X z   

z


  z  1  z  2  



Xk
 1k 


 

k
k
2  1 


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