Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Recordando la forma de la transformada de Laplace de una señal muestreada,

F
*
 s    f kT  e  kTs
k 0
se tiene que ésta es una función periódica, con una frecuencia igual a  s 
2
T
Se demuestra de la siguiente manera:
Sea,
F
*
s 
jn  s  

 f kT  e
 kT  s  jn  s



k 0
 f kT  e
 kTs
e
 jknT  s
k 0
pero como T  s  2 entonces ( para todo k , n enteros) queda,
F
*
s 
jn  s  

 f kT  e
k 0
 kTs
e
 jkn  2 


 f kT  e
k 0
 kTs

F
*
s 
jn  s   F
*
s 
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
La interpretación de este resultado es que existen bandas horizontales en el plano S,
tales que lo que pasa con F *  s  en la banda fundamental se repite en el resto de las
bandas complementarias; entonces se puede hacer el siguiente recorrido:
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Recorrido sobre la banda fundamental y dentro del lado de estabilidad en S:
Cualquier consideración que se haga bajo este recorrido, se repetirá dada la periodicidad
de la función F *  s 
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
sT
El mapeo se da sobre la variable compleja, z  e haciendo que s    j 
En general:
ze
  j  T
e
T
T
T
Es decir que Z tiene su módulo igual a e y su fase como   T .
Así por ejemplo:
S
0  j0
Z
1
j s / 4
1  / 2
j s / 2
1 
   j s / 2
 0
Gráficamente,
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Mapeo entre los planos S y Z
Del mapeo se tienen las siguientes implicaciones:
 El semiplano izquierdo de S corresponde al área interior del círculo unitario en Z.
(Región de Estabilidad)
 Puntos hacia    j  s / 2 en S corresponden a un círculo de radio infinitesimal en Z.
 Un lugar geométrico de parte real
constante en S se corresponde con
un círculo de radio e  T en Z :
 Un lugar geométrico de parte imaginaria
constante en S se traslada como una línea
recta con un ángulo  T en Z :
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
Considérese el siguiente diagrama de bloques:
Luego,
C s   G s  R s 
*
pero sabiendo del Espectro Frecuencial de una señal muestreada que,
C
*
s  
1
T

 C s 
jn  s 
(Se propone su deducción)
n  
entonces, siendo que R *  s   R *  s  jn  s  es periódica, resulta:
Es decir,

1






C s  
G
s

jn

R
s

jn


R
s


s
s

T n  
T
*
1
*
C
*
s   R * s   G * s 
*

Z




G
s

jn


s 
n  

C z   R z  G z 
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
EJEMPLO 1:
En el sistema
se tiene que
G s  
1
sa
Hallar la función de transferencia discreta.
Resp.
Se tiene que,
…o más simplemente,
*

 1  1  

C z   R z  Z  L 
 Z

 sa 

e    Z  e
 at *
 akT
C z   R z 
z

 1 
C z   R z  Z 

s  a
Con lo que de la tabla de la transformada Z se obtiene:
ze
 aT
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Z
EJEMPLO 2:
Considérese el siguiente sistema,
Y  s   R  s   G1  s 
Aquí:
*
luego,
C
*
  
Muestreand o
 s   R *  s   G1*  s   G 2*  s 

Z
Y
*
 s   R *  s   G1*  s 
C  z   R  z   G1  z   G 2  z 
¿Qué pasaría si se elimina el muestreo central?
1
C  s   R ( s )  G1  s   G 2  s   R  s  
T
*
C
*
s  
*
R  s   G 1G 2  s 
*
*

Z






G
s

jn


G
s

jn

 1
s
2
s 
n  

C  z   R  z   G 1G 2  z 
Diferente !
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Cadena Cerrada
Sea el siguiente sistema con realimentación:
Entonces se tiene,
Así:
Y  s   G  s   E *  s 

 con E  s   R  s   Y  s  H  s 
E s   R s   H s  G s  E
E
Finalmente,
Y
*
*
s  
*
s 

E
*
s  
R
*
 s   GH *  s   E *  s 
s 
*
1  GH  s 
R
*
s  R * s 
s  
*
1  GH  s 
G
*

Z
Y z  
G z 
1  GH  z 
 R z 
Sistemas de Control en Tiempo Discreto
Función de Transferencia en Cadena Cerrada
Otras configuraciones típicas:
     
Y z  
     
Y z  
      
Y z  
      
Y z  
Función de Transferen cia
Función de Transferen cia
Función de Transferen cia
Función de Transferen cia
G z 
1  G z  H z 
 R z 
G1  z  G 2  z 
1  G1  z  G 2 H  z 
G 2  z  G1 R  z 
1  G 1G 2 H  z 
GR  z 
1  GH  z 
 R z 
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