Vamos a usar lo aprendido hasta el momento
en un nuevo tema denominado “relaciones
fundamentales entre las funciones
trigonométricas de un ángulo”
En este tema lograremos:
• Deducir las relaciones trigonométricas
fundamentales de un ángulo.
• Aplicar las identidades fundamentales, en
la demostración y simplificación de
expresiones trigonométricas.
RELACIONES FUNDAMENTALES ENTRE LAS FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
Usando el círculo Trigonométrico unitario se deduce que las
funciones trigonométricas son:
sen  
y
 y
csc  
y
1
cos  
x
1
tan  
y
x
 x
1
sec  
1
x
cot  
x
y
RELACIONES INVERSAS:
Del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
csc  
sen  . csc   1
sen  
sec  
cos  . sec   1
cos  
tan  . cot   1
tan  
cot α 
1
sen 
1
csc 
1
cos 
1
sec 
1
cot 
1
tan α
RELACIONES DE COCIENTES:
También del gráfico anterior se deduce lo siguiente:
Si
tan  
y
; pero
sen   y
;
cos   x
x
tan  
cot  
x
y
; pero
cot  
sen 
cos 
cos   x
cos 
sen 
;
sen   y
RELACIONES PITAGÓRICAS:
En el  rectángulo se tiene: y  x
2
2
 1 (teorema de Pitágoras)
De lo que se deduce lo siguiente:
sen   cos   1
2
2
1  tan   sec 
2
2
1  cot   csc 
2
2
Las ocho relaciones deducidas anteriormente reciben el
nombre de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
FUNDAMENTALES, y se emplearan para demostrar y
simplificar expresiones trigonométricas.
RECUERDA: Las Identidades Trigonométricas son igualdades
que contienen funciones trigonométricas de ciertos ángulos…
DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si
una identidad es realmente una identidad, para lo cual se
hacen transformaciones, se usan las identidades
fundamentales.
SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en
convertir la expresión original en otra más simple y
elemental.
CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el
otro.
2. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos
de seno y coseno.
3. También, realizar operaciones aritméticas y
algebraicas(factorización y/o simplificación).
4. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
… sólo la práctica constante te permitirá
adquirir más habilidad y destreza…
DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS:
Ejemplo 1.- demostrar la siguiente identidad.
Sen
Como Sen
que :
2
2
x  Cos
2
x  Cos
x 1
2
x  Sen x  Csc x
y Csc x 
1
Sen x
1  Sen x 
, si los sustituimos, tenemos
1
Sen x
Simplificamos senos, y tenemos que:
Y
1  Sen x 
1
Sen x
11
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
Ejemplo 2.- Demostrar la siguiente identidad:
Como
Csc
2
x 
1
Sen
2
1
Csc
2
 Cos
x 1
x
1
, sustituimos y nos queda:
 Cos
1
x
Sen
Multiplicando medios y extremos obtenemos: 1  Sen
Que equivale a: Sen² x + Cos² x =
2
2
2
2
x 1
x
x   Cos
1
Como Sen² x + Cos² x = 1 , sustituyendo llegamos a: 1 = 1
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
2
x 1
Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Como
Sen
2
Tan
x 
Cos
2
1
 Sen x 
1
Csc x 
y
Sen x
 Sec
2
x
2
x  Sen x  Csc x  Sec
 1  Sec
2
, Simplificando senos, y nos queda:
x
x
Si sacamos común denominador y sumamos, entonces tenemos que:
Sen
2
x  Cos
Cos
2
2
x
 Sec
2
x
, como
Sen
2
x  Cos
2
x  1 y Sec
x
2
1
x 
Cos
Sustituyendo en el paso anterior nos queda que:
1
Cos
2

x
1
Cos
2
2
x
, si los sustituimos nos queda que:
Sen x
x
2
x
2
Cos x
Sen
2
Sen
Cos x
x
2
2
Tan
x
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica.
2
x
Cos
Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Sacando común denominador tenemos:
Cos
2
x
2
 1  Csc
2
x
Sen x
2
x  Sen x
2
2
 Csc
2
x
Sen x
Como Cos 2
igualdad:
x  Sen x  1
2
y
Csc
2
x 
1
2
,obtenemos la siguiente
Sen x
1
2
Sen x

1
2
Sen x
Con lo que queda demostrada nuestra identidad trigonométrica
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