Aplicaciones de la
Integral definida
Cálculo de áreas
Y
Volúmenes
CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES
A.
B.
C.
D.
Cálculo de la longitud de una curva plana.
Cálculo del área de una figura plana.
Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución.
Cálculo del área de una superficie de revolución
A) Longitud de una curva - en el Plano A1. Curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas Cartesianas)
Para la curva y=f(x) entre x=a, x=b.
b
b
L   (dx)  (dy )  
2
2
a
a
2
 dy 
1 
 dx
 dx 
Para la curva x=f(y) entre y=a, y=b.
b
b
L   (dx)  (dy )  
2
a
2
a
2
 dx 
1 
 dy
 dy 
Ejemplo:
Calcular la longitud del arco de curva
Solución:
Utilizamos la fórmula:
b
b
L   (dx)  (dy )  
2
2
a
a
2
 dy 
1 
 dx
 dx 
hallaremos y’:
y' 
3x
x
2
L
0
 3x
1/ 2

 y 
2
 9x
2
1 2
3/ 2


1  9 x dx  .
1  9 x   
0
9 3


27
2

19  1
3
y  2x
x
entre x=0 y x=2
B) Área de una figura plana
B1. Área de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas
Cartesianas)
A) El área por debajo de la curva
y=f(x) entre x=a, x=b.
b
S   f ( x ) dx
a
B) En el caso de que la curva corte al
eje OX en varios puntos:
x1
S
x2
 f ( x)dx  
a
x1
b
f ( x)dx 

x2
f ( x)dx
C) Área comprendida entre dos curvas y = f(x), y = g(x).
b
S
b
 f ( x)dx   g ( x)dx
a
a
b

  f ( x)  g ( x)  dx
a

B2. Área de curvas expresadas en forma explícita (Coordenadas
Polares)
Supongamos el área en polares ρ = f(φ)
entre φ = φ1, φ = φ2.
S
1
2
2

 d 
2
1
1
2

2
1
f ( ) d
2
B3 Área de curvas expresadas en ecuaciones paramétricas.
Una curva puede ser expresada en
función de un parámetro t:
 x  f1 (t )

 y  f 2 (t )
Para hallar el área de esta curva
comprendida entre x=a, x=b, primero
calcularemos t1 y t2 :
 a  f1 (t )  t1

b  f1 (t )  t2
t2
S   f 2 (t ). f1(t ) dt
t1
Ejemplos de
Cálculo de áreas (de curvas planas)
Mediante integrales definidas
Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la curva y = x3 – 6 x2+ 8 x y el eje
OX.
Solución:
Hallamos los puntos de corte
con OX:
Hacemos y=0 → x3 – 6 x2+ 8 x = 0
Las raíces son
x=0, x=2, x=4.
2
S
4
 ( x  6 x  8x) dx 
 ( x  6 x  8 x) dx  8u
0
2
3
2
3
2
2
Ejemplo 2: Hallar el área de la figura limitada por las curvas y = ex, y = e-x ,
y por la recta x = 1.
Solución:
El área pedida está remarcada en la
gráfica
1
S   e  e
x
x
 dx  e
x
e
x
1
 
0
0
1
0
 (e  e )  (e  e ) 
 (e 
1
e
 2)
0
Ejemplo 3: Hallar el área encerrada en el interior del cardioide :
ρ = a (1 + cos θ)
Solución:
El área pedida es el doble de la
remarcada en la gráfica
S  2
1
2

 a (1  cos  ) d 
2
2
0

a
2
 (1  2 cos   cos  ) d 
2
0
1
1

 3 a
 a   2 sin     sin  cos   
2
2
2


2
2
C) Cálculo del volumen de un cuerpo de revolución.
C1. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva
(Coordenadas Cartesianas) y = f(x) entre x=a y x=b.
I) Alrededor del eje OX.
b
V 
b
 y dx     f ( x)  dx
2
2
a
a
Caso particular: Al rotar la superficie
comprendida entre y=f(x) e y = g(x)
b
V 
 f
a
2
( x)  g ( x) 
2
II) Alrededor del eje OY.
b
V  2
b
 x. y dx  2  x. f ( x) dx
a
a
C) Volumen de un cuerpo de revolución (II)
C2. Volumen del cuerpo engendrado por la revolución de la curva
(Coordenadas paramétricas) y = f(x) entre x=a y x=b.
 x  f (t )

 y  g (t )
I) Alrededor del eje OX.
b
V 
t2
 y dx     g (t )  f '(t ) dt
2
2
a
t1
II) Alrededor del eje OY.
b
V  2
t2
 x. y dx  2  f (t ).g (t ). f '(t ) dt
a
t1
Ejemplos de
Cálculo del Volumen de
Cuerpos de revolución
Ejemplo 1: Hallar el volumen engendrado por la curva y = sin x . A) Al girar
alrededor del eje OX. B) Al girar alrededor del eje OY. En ambos casos
considerar una semionda (el intervalo de x entre 0 y π).
Solución:
A)

V    sin x dx 
2
0
 x sin x cos x  
  
 2
2
2


2
B) Al hacer un giro respecto al eje OY:

V  2

 x.sin x dx  2   x.cos x 
0
0

 2  cos x dx 
0

 2    2 sin x 0  2
2
D) Cálculo del área de una figura de revolución.
D1. Calculo del Área de la figura formada por la revolución de la
curva y = f(x) entre x=a y x=b.
I) Alrededor del eje OX
(C. cartesianas) :
b
S  2  y. 1  ( y ') .dx 
2
a
b
 2  f ( x). 1   f '( x)  .dx
2
a
(C. paramétricas) :
 x  f (t )

 y  g (t )
t2
b
S  2  y. 1  ( y ') .dx  2  g (t ).
2
a
t1

f '(t )    g '(t )  .dt
2
2
D1. Calculo del Área de la figura formada por la revolución de la
curva x = g(y) entre y=m y y=n.
Alrededor del eje OY :
n
S  2  x. 1  ( x ') .dy 
2
m
n
 2  g ( y ). 1   g '( y )  .dy
2
m
Ejemplos de
Cálculos de áreas
de figuras de revolución
Ejemplo 1: Hallar el área de la superficie engendrada por la
revolución alrededor del eje OX del lazo de la curva:
9y2 = x (3 – x)2 .
Solución: Ptos de corte eje X…0, 3
y
1
x (3  x)
P. positiva (+)
3
 y '
2
 3 x 1


3
6
x


x

2
3
3
S  2  y 1  ( y ') dx  2 
2
0
0
3
 2 
0
2
1
3
 3 x
x
x (3  x) 1  

 dx 
6 x
3 

x (3  x) x  1
.
dx  3
3
2 x
Ejemplo 2: Hallar el área de la superficie engendrada por la
revolución alrededor del eje OX del astroide:
3
 x  a.cos t

3
y

a
.sin
t

Solución:
Los límites para t son:
x=a
→ a=a cos3t → t=0.
x=-a → -a=a cos3t → t=π.
El área del astroide indicado es:

a
S  2

a
y. 1  ( y ') .dx  2  g (t ).
2
f
'(t )    g '(t )  .dt
2
2
0
f '(t ) 
dx
 a.3(  sin t ).cos t
2
dt
g '(t ) 
dy
 a.3.cos t.sin t
2
dt
 f '   g '
2
2
 9a sin t.cos t (cos t  sin t )
2
2
2
2
2

S  2
 a sin
0

3
t .3 a sin t cos t dt  6 a
2
 sin
0
4
t cos t dt 
12 a
5
2
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