TEMA 9 * 4º ESO Opc B
SUCESIONES
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
1
TEMA 9.2 * 4º ESO Opc B
LÍMITE DE UNA
SUCESIÓN
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO Opción B
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Límite de una sucesión
•
Una sucesión es una función real cuyo dominio es el conjunto de los
números naturales N.
•
Una sucesión de números reales tiene por límite el número real a cuando,
dado un número real r positivo, por pequeño que sea, existe un término de
la sucesión tal que todos los siguientes a él verifican:
•
|an – a| < r
•
El límite se representa por la notación.
•
Lím
•
noo
•
•
Si una sucesión tiene por límite un número real se llama convergente.
En caso contrario se llama divergente. Aparece el +oo o el - oo
an = a
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Ejemplo 1
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Hallamos el valor de algunos términos:
a1 = 1,
a10 = 1’9,
a100 = 1’99
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Hallamos el término pedido:
| an - a | < r  | an - 2 | < 0,001
2n – 1
2n – 1 – 2n
| -------- - 2 | < 0,001  | ----------------- | < 0,001
n
n
1/n < 0,001  1 < 0,001.n  1/0,001 < n  n > 1000  n=1001
2n - 1
Sea la sucesión an = -------n
Hallar su límite.
Calcular la distancia entre el término a10 y el límite.
Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una milésima.
Lím an = 2
noo
Hallamos la distancia de a10 al límite
| a10 - a | = |1,9 – 2| = |-0’1| = 0’1
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Ejemplo 2
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Hallamos el valor de algunos términos:
b1 = -0’5,
b20 = -2’7619,
b2000 = -2’9975
Lím bn = - 3
noo
•
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Hallamos la distancia de a20 al límite
| b20 - b | = |- 2’7619 – (-3)| = |3 – 2’7619 | = 0’2381
•
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•
•
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Hallamos el término pedido:
| bn - b | < r  | bn – (-3) | < 0,0001
2 – 3n
2 – 3n + 3n + 3
| ----------- - (-3) | < 0,0001  | --------------------- | < 0,0001
n+1
n +1
5/(n+1) < 0,0001  5 < 0,0001.n + 0,0001  5 – 0’0001 < 0’0001n
4’9999 < 0,0001n  4’9999 /0’0001 < n  n > 49999  n=50000
2 – 3n
Sea la sucesión bn = --------n+1
Hallar su límite.
Calcular la distancia entre el término b20 y el límite.
Hallar el término a partir del cual esa distancia es menor que una diezmilésima.
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Sucesión creciente y decreciente
•
Sucesión creciente es aquella en que el valor de los términos crece
respecto a los términos anteriores.
•
Se deberá cumplir
•
Sucesión decreciente es aquella en que el valor de los términos decrece
respecto a los términos anteriores.
•
Se deberá cumplir
•
Si una sucesión es creciente y está acotada superiormente, entonces es
convergente.
Si una sucesión es decreciente y está acotada inferiormente, entonces es
convergente.
Si no se produce alguno de los casos anteriores entonces es divergente.
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•
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an+1 – an ≥ 0
an+1 – an ≤ 0
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Ejemplo 1
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Hallamos el valor de algunos términos:
a1 = 1,
a10 = 1’45,
a100 = 1’495
Lím an = 1,5
noo
3n - 1
Sea la sucesión an = -------2n
Hallar su límite.
Ver si es creciente o decreciente.
• Crecimiento
•
3(n+1) – 1
3n + 1
n(3n+2) – (n+1)(3n+1)
• an+1 - an = -------------- – ----------- = ------------------------------- =
•
2(n+1)
2n
2n(n+1)
•
3n2 +2n – (3n2 +4n+1)
– 2n – 1
–
• = ------------------------------- = -------------- = ---- = –  Decreciente
•
2n(n+1)
2n(n+1)
+
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Ejemplo 2
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Hallamos el valor de algunos términos:
a1 = 0,5
a10 = -0,7272 a100 = -0,9703
Lím an = - 1
noo
Crecimiento
2 – (n+1)
2–n
(n+1)(1 – n) – (n+2)(2 – n)
an+1 - an = -------------- – ----------- = ----------------------------------- =
(n+1) + 1
n+1
(n+2)(n+1)
1 – n2 – (4 – n2)
–3
–
= ----------------------- = ---------------- = ---- = –  Decreciente
(n+2)(n+1)
(n+2)(n+1)
+
2–n
Sea la sucesión an = -------n+1
Hallar su límite.
Ver si es creciente o decreciente.
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