LÍMITE
DE UNA
SUCESIÓN
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Estudiar la convergencia de una sucesión es ver
que sucede con los términos según la sucesión
avanza, es decir, según n se hace más y más
grande.
Pueden suceder varias cosas, por ejemplo,
consideremos las sucesiones:
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
an
2
0,2
0,02
0,002
0,0002
0,00002
0,000002
Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, an se va
acercando cada vez mas a 0. si n siguiera tomando valores mas
grandes (acercándose a infinito), los términos de la sucesión
estarían cada vez mas cerca de cero. Lo cual nos dice que la
sucesión converge a 0 (cero), es decir que su limite es cero.
Matemáticamente, esto seria;
lim a n  lim
n 
n 
2
0
n
Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a cero”
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
an
No
existe
11,11…
101,01… 1001,001… 10001,001… 100001
1000001
Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va
haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando
valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la
sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo
cual nos dice que la sucesión converge a ∞ (infinito), es decir que su
limite es infinito. Matemáticamente, esto seria;
2
n
lim bn  lim

n 
n  n  1
Se lee “limite cuando n tiende a infinito de an es igual a infinito”
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
an
No
existe
11,11…
101,01… 1001,001… 10001,001… 100001
1000001
Observe que conforme n se hace cada vez mas grande, bn se va
haciendo cada vez mas grande también. si n siguiera tomando
valores mas grandes (acercándose a infinito), los términos de la
sucesión también se estarían acercando cada vez mas a infinito. Lo
cual nos dice que la sucesión diverge a ∞ (infinito), es decir que su
limite es infinito. Matemáticamente, esto seria;
2
n
lim bn  lim

n 
n  n  1
Se lee “limite cuando n tiende a infinito de bn es igual a infinito”
Estudiemos lo que pasa con la sucesión
n
10
11
100
101
1000
1001
10000
an
1
-1
1
-1
1
-1
1
Observe que de acuerdo al valor que toma n (par o impar), bn se va
alternando entre -1 si n es impar y 1 si n es par. Lo cual nos dice que
la sucesión no converge a algún valor determinado ni tampoco
diverge a ∞ o - ∞, es decir que su limite no existe.
Matemáticamente, esto seria;
Se lee “limite cuando n tiende a infinito de cn no existe”
Ya sabemos que significa ser convergente pero:
• ¿Cómo podemos saber si una sucesión tiene o
no límite?
• ¿Cómo se calculan los límites?
CUIDADO!!!
Para ver si una sucesión tiene límite, una tabla como
las anteriores puede ayudar, pero no es definitiva.
Observa que hubiera sucedido si completases la 1ª
tabla con la sucesión cn ¿qué hubieras pensado?
DEFINICIÓN DE LIMITE DE UNA
SUCESIÓN
Una sucesión an tiene por límite L
si y sólo si para cualquiera número
positivo ε que tomemos, existe un
término ak, a partir del cual todos
los términos de an, siguientes a ak
cumplen que |an−L| < ε.
EJEMPLO
La sucesión an = 1/n tiene por límite 0.
1

−0 <;
1

< ;  >
1

Se puede determinar a partir de que término de la sucesión,
su distancia a 0 es menor que un número positivo (ε), por
pequeño que éste sea.
1
  = 0.1;
>
;
 > 10
0.1
Como k>10 a partir del a11 se cumplirá que su distancia a 0
es menor que 0.1.
1
− 0 < 0.1 ;
0.09090 < 0.1
11
Vamos a determinar a partir de que término la
distancia a 0 es menor que 0.001.
1
 = 0.001;
>
;
 > 1000
0.001
A partir del a1001 se cumplirá que su distancia a 0
es menor que 0.001.
1
− 0 < 0.001;
0.000999 < 0.001
1001
También podemos definir el límite de una
sucesión mediante entornos:
Una sucesión an tiene por límite L si y sólo si
para cualquier entorno de L que tomemos,
por pequeño que sea su radio ε, existe un
término de la sucesión, a partir del cual, los
términos que siguen pertenecen a dicho
entorno.
EJERCICIOS RESUELTOS
Demuestra que la sucesión
2+4
 =
tiene límite 2.

Averigua los términos cuya
distancia a 2 es menor que
0.1.
Aplicamos la definición de
limite de sucesiones
Resta de fracciones
cancelamos términos ,
aplicamos la definición de
valor absoluto y resolvemos la
inecuación
A partir de a41 la distancia a 2 será menor
que una decima.
Demuestra que la sucesión
2

 = 2 tiene por limite 1
 +3
y averigua cuántos términos
de la sucesión están fuera
del E (1 , 0.001).
Aplicamos la definición de
limite de sucesiones
Resta de fracciones
Definición de valor absoluto
Resolvemos la inecuación
Los primeros 54 términos quedan
fuera del entorno.
EJERCICIOS PROPUESTOS
• Probar que
3−8
lim
→∞ 4+1
3
=
4
. Averigua los
términos cuya distancia al límite es menor que
0.01.
• Probar que
.Averigua los términos
cuya distancia al límite es menor que 0.001.
• Probar que
.Averigua los términos
cuya distancia al límite es menor que 0.01.
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