FUNCIONES
Tema 12 * 3º ESO
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
1
CRECIMIENTO
Máximos y Mínimos
Tema 12.4 * 3º ESO
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
2
CRECIMIENTO
•
FUNCIÓN CRECIENTE EN UN INTERVALO
•
•
Una función y = f(x) decimos que es CRECIENTE en un intervalo [a, b] si
tomados dos valores, x1 y x2 de dicho intervalo, tal que x1 < x2 se
cumple:
f (x1) < f (x2)
•
O sea: Al aumentar x aumenta f(x).
•
FUNCIÓN DECRECIENTE EN UN INTERVALO
•
•
Una función y = f(x) decimos que es DECRECIENTE en un intervalo [a, b]
si tomados dos valores, x1 y x2 de dicho intervalo, tal que x1 < x2 se
cumple:
f (x1) > f (x2)
•
O sea: Al aumentar x disminuye f(x).
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
3
Ejemplo 1
y
• Sea f(x) = – 4.x + 4
• Estudiar el crecimiento.
12
• Tabla de valores
• x
y = f(x)
• – 2 – 4.(– 2) + 4 = 12
• 0
– 4.0 + 4 = 4
• 2
– 4.2 + 4 = – 4
•
4
-2
-1
• Vemos que al aumentar el valor de
x disminuye el valor de f(x)
• Luego es DECRECIENTE.
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
0
1
2
x
–4
4
Ejemplo 1 bis
• Sea f(x) = 5.x – 7
• Estudiar el crecimiento.
3
y
• Tabla de valores
• x
y = f(x)
0
•
•
•
•
•
–2
0
1
2
5.0 – 7 = – 7
5.1 – 7 = – 2
5.2 – 7 = 3
Vemos que al aumentar el valor de
x aumenta el valor de f(x)
• Luego es CRECIENTE.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
1
2
x
–7
5
Ejemplo 2
•
•
Sea f(x) = x 2 – 3.x + 2
Estudiar el crecimiento.
y
2
•
•
Tabla de valores
x
y = f(x)
•
•
•
•
•
•
•
0
1
1,5
2
3
•
0 – 3.0 + 2 = 2
1 – 3.1 + 2 = 0
2,25 – 3.1,5 + 2 = – 0,25
4 – 3.2 + 2 = 0
9 – 3.3 + 2 = 2
Hasta el vértice la función vemos que
es DECRECIENTE.
A partir del vértice la función vemos
que es CRECIENTE.
@ Angel Prieto Benito
0
•
1
2
3 x
Nota: El vértice siempre se
encuentra en medio de los
puntos de corte con el eje
de abscisas.
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
6
Ejemplo 3
•
•
Sea f(x) = x3 – 9.x
Estudiar el crecimiento.
•
•
Tabla de valores
x
y = f(x)
•
•
•
•
•
•
•
–3
–2
–1
0
1
2
3
•
Vemos que CRECE, luego DECRECE y por último vuelve a CRECER.
- 27 + 27 = 0
- 8 + 18 = 10
-1+9=8
0–0=0
1–9=–8
8 – 18 = – 10
27 – 27 = 0
@ Angel Prieto Benito
y
–3
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
0
3
x
7
Ejemplo 4
•
•
Sea f(x) = (x – 4) / (x + 2)
Estudiar el crecimiento.
•
•
Tabla de valores
x
y = f(x)
•
•
•
•
•
•
•
•
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
•
Vemos que la función siempre es CRECIENTE.
y
- 8 / (-2) = 4
- 7 / (-1) = 7
- 6 / 0 = NO EXISTE
-5/1 =–5
–4/2=–2
–3/3=–1
– 2 / 4 = – 0,5
– 1 / 5 = – 0,2
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 3º ESO
0
4
x
-2
8
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
•
•
•
•
•
•
MAXIMOS LOCALES
Una función y = f(x) decimos que
presenta un MÁXIMO LOCAL en
un punto x=a cuando en dicho
punto pasa de ser creciente a ser
decrecientre.
f (a - h) < f (a) > f (a + h)
f (a)
MINIMOS LOCALES
Una función y = f(x) decimos que
presenta un MÍNIMO LOCAL en un
punto x=b cuando en dicho punto
pasa de ser decreciente a ser
crecientre.
f (b - h) > f (b) < f (b + h)
y=f (x)
Máximo local
f (b)
Mínimo local
x
•
Nota: h es un número positivo.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
a
b
9
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
•
•
•
•
•
•
MAXIMOS RELATIVOS
Una función y = f(x) decimos que
presenta un MÁXIMO RELATIVO en un
punto x=a cuando en dicho punto presenta
un máximo local sin ángulos y h es muy
pequeño.
Máximo absoluto
y=f (x)
Máximo relativo
f (a)
MINIMOS RELATIVOS
Una función y = f(x) decimos que
presenta un MÍNIMO RELATIVO en un
punto x=b cuando en dicho punto presenta
un mínimo local sin ángulos y h es muy
pequeño.
f (b)
MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
Una función y = f(x) decimos que
presenta un MÁXIMO/MÍNIMO ABSOLUTO
en un punto cuando f(x) el mayor/menor
valor de la función en dicho punto.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
Mínimo relativo
Mínimo absoluto
a
x
b
10
•
Ejemplos de MÁXIMOS Y MÍNIMOS
•
Sea la función f(x) = a.x2 + b.x + c
•
Ejemplo 1
•
•
•
•
Sea la función cuadrática f (x) = 2x2 – 2
Como a = 2 > 0  Parábola cóncava
Presenta un Mínimo Local en el vértice:
Mín = V(0 , – 2)
•
Ejemplo 2
•
•
•
•
Sea la función cuadrática f (x) = – x2 + 2.x
Como a = – 1 < 0  Parábola convexa
Presenta un Máximo Local en el vértice:
Mín = V(1 , 1)
•
Nota: En ambos casos los máximos y mínimos
locales son también relativos y absolutos.
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V=Min
V=Max
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11
Ejercicio completo
•
En el siguiente ejercicio determinar:
•
•
•
•
•
Dominio de la función.
Tipo de funciones representadas e intervalos correspondientes.
Puntos de discontinuidad.
Valor de la función en dichos puntos.
Intervalos de discontinuidad.
•
•
•
•
•
•
Máximos y mínimos locales.
Coordenadas.
Máximos y mínimos absolutos.
Coordenadas
Máximos y mínimos relativos.
Coordenadas
•
•
Intervalos de crecimiento.
Intervalos de decrecimiento.
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Apuntes de Matemáticas 3º ESO
12
y = f(x)
Ejercicio
G
5
B
4
3
H
D
M
2
A
F
N
J
1
E
I
C
0
1
2
3
4
5
6
7
L
8
9
10
x
-1
K
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13
Ejemplo práctico
•
•
•
Compramos 50 kg de cierta mercancía a 5€ el kilo.
Cada día que pasa se deterioran 2 kg, que ya no podemos vender.
A su vez cada día que transcurre desde la compra el kg aumenta en 50
céntimos. ¿Cuánto tiempo debemos esperar a venderla para obtener el
máximo beneficio?.
•
Si la vendemos muy pronto, vendemos más kg pero a un precio muy
parecido al de compra, con lo cual los beneficios serán muy pequeños.
Si la vendemos muy tarde, vendemos cada kg a un precio muy elevado
respecto al de compra, pero tendremos ya muy poco género para vender,
con lo cual los beneficios, si les hay, serán muy pequeños.
•
•
•
•
•
•
Sea x el número de días que esperamos para vender el género.
Venta=Kilos x Precio
V=(50 – 2.x).(5 + 1.x)=250 – 10.x + 50.x – x2 = – x2 + 40.x + 250
f(x)= – x2 + 40.x + 250  Función cuadrática  Parábola
El máximo beneficio se alcanzará en el vértice de la misma, siendo ésta
convexa.
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14