INTERPOLACIÓN
Tema 7
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
1
INTERPOLACIÓN
CUADRÁTICA
Tema 7.4 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
2
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla:
• X Y
• 1
2
• 3
10
• 5
26
•
•
•
Si nos dan tres puntos,
calculamos las
pendientes:
Interpolación cuadrática:
• Su forma será:
•
• f(x) = a.x2 + b.x + c
•
Y hallaríamos “a”,”b” y “c” resolviendo el
sistema:
•
•
•
2 = a.12 + b.1 + c
10 = a.32 + b.3 + c
26 = a.52 + b.5 + c , por el Método de
Gauss
m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4
•
m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8
•
Las pendientes no
coinciden.  NO hay
Interpolación lineal.
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
3
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
•
Aplicando Gauss en el sistema:
•
•
•
a+ b+c=2
9.a + 3.b + c= 10
25.a + 5.b + c = 26
•
•
•
a+ b + c = 2
- 6.b – 8.c = - 8
- 20.b – 24.c = - 24
•
•
•
a+ b + c = 2
- 6.b – 8.c = - 8
16.c = 16
•
f(x) = x2 + 1
 c=1  b=0  a=1
es la función de interpolación.
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4
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla:
• X Y
• 1
2
• 3
10
• 5
26
•
Si nos dan tres puntos,
calculamos las pendientes:
m=8
m=4
•
m=(10-2)/(3-1)= 8/2 = 4
•
m=(26-10)/(5-3)=16/2 = 8
•
Las pendientes no coinciden. 
NO hay Interpolación lineal.
Debe pues hacerse una
interpolación cuadrática.
•
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5
INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA
Sea la Tabla:
•
•
•
•
•
X
1
3
5
7
•
Si nos dan más de DOS
puntos, calculamos las
pendientes:
Y
1
9
25
49
•
m=(9-1)/(3-1)= 8/2 = 4
•
m=(25-9)/(5-3)=16/2 = 8
•
Las pendientes no
coinciden.  NO hay
Interpolación lineal.
@ Angel Prieto Benito
•
•
Si nos dan sólo tres puntos y no están
alineados, debemos realizar una interpolación
cuadrática.
Pero en nuestro ejemplo, al darnos más de tres
puntos en la Tabla, debemos comprobar si
existe Interpolación Cuadrática:
•
•
•
y 
Δy 
Δ2 y 
•
•
•
•
Vemos que Δ2y = 8 = Cte
Si Δx=Cte e Δ2y =Cte  F. Cuadrática
Su forma será:
f(x) = a.x2 + b.x + c
1
9
8
Matemáticas Aplicadas CS I
25
16
8
49
24
8
6
Hallamos “a”,”b” y “c” resolviendo el sistema:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1 = a.12 + b.1 + c
9 = a.32 + b.3 + c
25 = a.52 + b.5 + c por Gauss
a+b+c =1
9.a + 3b + c = 9
25.a + 5b + c = 25
A la (2) la quito 9 veces la (1)
A la (3) la quito 25 veces la (1)
a+b+c =1
- 6.b – 8.c = 0
- 20.b – 24.c= 0
A 3x(3) la quito 10x(2)
a+b+c =1
- 6.b – 8.c = 0
16.c = 0
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•
•
•
Y obtengo c=0
Si c=0  En la (2): b= 0
Si b=0 y c=0  En la (1): a=1
•
Luego la función interpoladora
cuadrática será:
f(x) = a.x2 + b.x + c
f(x) = x2
Interpolamos:
f(4) = 42 = 16
Extrapolamos:
f(8) = 82 = 64
•
•
•
•
•
•
Matemáticas Aplicadas CS I
7
APLICACIONES DE LA
INTERPOLACIÓN
Tema 7.5 * 1º BCS
@ Angel Prieto Benito
Matemáticas Aplicadas CS I
8
•
EJERCICIO 1
•
Sea la Tabla:
•
Año Habitantes
•
•
2002
2005
•
En la práctica
podemos
simplificar mucho
las operaciones
haciendo el
siguiente cambio:
•
Año Habitantes
•
•
2
5
7000
13000
7
13
@ Angel Prieto Benito
•
Como sólo me dan dos pares de valores, realizo
una interpolación lineal: y=mx + n
•
•
•
•
•
•
•
•
Calculo la pendiente:
m = (13-7)/(5-2) = 6/3 = 2
Por la ecuación punto-pendiente:
y-yo=m.(x.xo)
y-7 =2.(x-2)
y=2.x -4+7
f(x) = 2.x + 3 sería la
F. de Interpolación Lineal, que sirve tanto para
interpolar como para extrapolar.
•
•
f(2004)f(4)=2.4+3 = 11 miles de habitantes.
F(2010)f(10)=2.10+3=23 miles habitantes.
Matemáticas Aplicadas CS I
9
• EJERCICIO 2
• El volumen de beneficios, en millones de €, de una empresa es el
siguiente:
• Marzo  8 M€
Abril  7 M€ Mayo  5 M€
• ¿Qué beneficios se pueden esperar para el mes de Julio?.
•
• Miramos si los datos pueden encajar en una interpolación lineal:
• m=(7 – 8) / (4 – 3) = – 1
• m=(5 – 7) / (5 – 4) = – 2
• La pendiente es el doble  No hay interpolación lineal.
• Al darnos tres valores de referencia no alineados, lo más adecuado
es hacer una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.
• Adecuamos: Marzo  1 Abril 2 Mayo  3 Julio  5
• Resolvemos el sistema:
• 8 = a.12 + b. 1 + c
• 7 = a.22 + b. 2 + c
• 5 = a.32 + b. 3 + c
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10
•
… EJERCICIO 2
•
… EJERCICIO 2
•
•
•
•
Resolvemos el sistema:
8 = a.12 + b. 1 + c
7 = a.22 + b. 2 + c
5 = a.32 + b. 3 + c
•
•
•
– 2.b – 24 = – 25
– 2.b = – 25 + 24
b=½
•
•
•
•
Por Gauss
a+b+c=8
4.a + 2.b + c = 7
9.a + 3.b + c = 5
•
•
a+½+8=8
a=–½
•
F(x) = – ½ .x2 + ½ .x + 8
•
•
•
•
F2 – 4.F1 y F3 – 9.F1
a + b + c=8
– 2.b – 3.c = – 25
– 6.b – 8.c = – 67
•
•
•
•
Luego:
F(5) = – ½ .25 + ½ .5 + 8 =
= – 12,5 + 2,5 + 8 =
=–2
•
•
•
•
F3 – 3.F2
a + b + c=8
– 2.b – 3.c = – 25
c=8
•
Habría 2 millones de € de
pérdidas de seguir esta
tendencia.
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11
•
EJERCICIO 3
•
Sea la población de Valladolid a lo largo de los últimos 10 años, dado en
forma de tabla y en miles de habitantes.
•
•
•
•
•
•
•
Año
Habitantes
•
•
•
•
Estaríamos frente a una INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA.
y 
360
365
375
390
Δy 
5
10
15
Δ2y 
5
5
•
Vemos
1992
360
1994
365
1996
375
1998
390
2000
410
Miramos si hay interpolación lineal:
m=(365-360)/(1994-1992)=5/2=2,5
m=(375-365)/(1996-1994)=10/2=5
Las pendientes no coinciden.  No hay interpolación lineal.
Δx=2=Cte e
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Δ2y =5=Cte  F. Interpolación Cuadrática
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12
• …
•
•
•
f(x) = a.x2 + b.x + c
 Tomamos tres puntos cualesquiera:
A(1992,360) , B( 1994, 365 ) y C (2000,410)
•
•
•
•
Resolvemos el sistema:
360 = a.19922 + b. 1992 + c
366 = a.19942 + b. 1994 + c
410 = a.20002 + b. 2000 + c
•
•
6 = (19942 - 19922).a + 2.b = 7972.a + 2.b
44 = (20002 - 19942).a + 6.b = 23964.a + 6.b
•
•
•
•
que nos da: 26 = 48.a
 18 = 23916.a + 6.b
 44 = 23964.a + 6.b
 a = 0,5416 ; b = - 2156,08 ; c = 2145903,36
quedando la función:
f(x) = 0,5416.x2 - 2156,08.x + 2145903,36
que nos dará en todo momento el número de habitantes de Valladolid en
cualquier año entre 1992 y 2000, sin mas que sustituir la “x” de la función
por el año correspondiente.
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13
•
ESTRATEGIA A SEGUIR PARA COEFICIENTES MUY GRANDES:
•
•
•
c + 1992.b + 19922 .a = 360
c + 1994.b + 19942 .a = 366
c + 2000.b + 20002 .a = 410
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Cambio: 1992  2 ,, 1994  4
Queda:
c + 2.b + 22 .a = 360
c + 4.b + 42.a = 366
c + 10.b + 102.a = 410
Resolvemos por Gauss:
c + 2.b + 4 .a = 360

2.b + 12.a = 6

8.b + 96.a = 50

•
•
De donde a=26/48 = 0,5416,
b= -0,2500;
La función de interpolación cuadrática es:
• Antes Ahora
•
•
•
•
•
1992
1994
1996
1998
2000





2
4
6
8
10
c + 2.b + 4 .a = 360
2.b + 12 .a = 6
48.a = 26
c= 358,3333
• f(x) = 0,5416.x2 – 0,2500.x + 358,3333
•
Hallar, por ejemplo, f(1997) sería hallar f(7)
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14
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