PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O
MÍNIMOS
Prof. Luis Martínez Catalán
2008
Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y
a) Su producto sea máximo.
b)
La suma de sus cuadrados sea mínima.
c)
El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea
máximo.
Solución:
Sea “x” uno de los números, el otro es “20-x”
a) Sea p ( x ) el producto.

p ( x )  x  ( 20  x )  20 x  x   x  20 x
2
dp ( x )

2
 2 x  20  0  x  10
dx
2

d
p( x)
d p( x)

2



 dx 2
2
dx

2
 Para x  10


 2 0

 x 10
el producto de los números es máximo
p (10 )  10 ( 20  10 )  10  10  100
b) Sea S ( x ) la suma de los cuadrados de los números
S ( x )  x  ( 20  x )
2
2
S ( x )  x  400  40 x  x
2
2
 2 x  40 x  400
2
S  ( x )  4 x  40  0  x  10
S  ( x )  4  0 ,  x  R  S  (10 )  0  S ( x )
para x  10
y es S min (10 )  200
tiene un mínimo relativo
c) P ( x )  x 3  (  x  20 ) 2
P (x)  3
ln
1
 P ( x ) 
ln x  2
3
x
P ( x)

ln(  x  20 )
2
20  x
3
2
P ( x )  x ( 20  x )  3 



20  x 
2
 x
P ( x )  3 x ( 20  x )  2 x ( 20  x )
2
2
3
P ( x )  x ( 20  x ) 3 ( 20  x )  2 x 
2
P ( x )  x ( 20  x )( 60  5 x )  0
2
x
2
 0  x1  0
20  x  0  x 2  20
60  5 x  0  x 3  12
ln
P ( x )  2
ln x  ln( 20  x )  ln( 60  5 x )
1
5

P  ( x )  P  ( x )  2

 

20  x
60  5 x 
 x
P ( x )  10 x ( 20  x ) (12  x )  5 x (12  x )  5 x ( 20  x )
2
P  ( 0 )  0
2
no hay información, además el producto 0 no es un producto
máximo (valor extraño)
P  ( 20 )  0 , 
un mínimo del producto
P ( 20 )  0
(valor extraño)
P  (12 )  0 
 un máximo para x  12 y el
3
2
producto es P
(
12
)

12

8
máx
Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro
dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de
área máxima.
Solución
y
x
2x  2 y  2s
x y  s y  s x
Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima
A  xy
, sustituyendo y en función de x , se tiene:
A  x  (s  x)
A s
x x
2
Derivando con respecto a x
dA
s  2x

dx
dA
 0  2x  s  x 
dx
2
2
d A
dx
s
2
  2  0 , para x 
s
2
 
A máx
Sustituyendo en y  s  x
y  s s  s
2
2
s
s
 Los lados del rectángulo de área máxima son x 
e y 
, que son
2
2
los lados de un terreno cuadrado
Amáx 
s

s
2 2

1
4
s
2
Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el
mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje
en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros
produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150
personas?
Solución
100  0 , 6 x
: precio de c/u de los pasajes
100  x
: número de pasajeros
C  (100  x )  (100  0 , 6 x )
101
a c / u  0 ,6  1
C    60  0 , 6 x  100  0 , 6 x
103
a c / u  0 ,6  3
C   40  1, 2 x
C   0  1, 2 x  40  x  33
 El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.
son funciones de x , tales que lím f ( x )  0
x a
f ( x)
tome la forma
lím g ( x )  0 ; entonces, la función
x a
g ( x)
indeterminada 0 en a.
DEF: Si f y g
y
0
REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume
Francois de L’Hôpital (1661 – 1707)
TEOREMA: (para la indeterminación 0 )
0
Sea f y g
funciones en x , las cuales son diferenciables en un
intervalo I excepto, posiblemente, con el número a  I
Supóngase que para todo x  a
en I , g  ( a )  0
f ( x )
y
y
Si
lím
lím
lím
f
(
x
)

0
g
(
x
)

0
Entonces, si
 L ,
x a
x a
entonces se cumple lím
x a
f ( x)
x a
 L
g ( x)
NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma
indeterminada
0
si x  
0
Ej:
1) lím
x 4
x  x  12
2
x  3x  4
2
x 4
2) lím
x 2
x2
2
L' H

L' H

lím
x 4
lím 2 x
x 2
1
2x 1
2x  3
4

7
5
g ( x )
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1022_10.- MAXIMOS Y O MINIMOS