El número de oro
Las proporciones de un rectángulo
Hasta hace poco eran casi universales los aparatos de TV cuyo formato
de pantalla era 4:3. Esto significa
que
Anchura
de la pantalla
Altura de la pantalla

4
3
Las proporciones de un rectángulo
En la actualidad es posible elegir entre
otros formatos, siendo frecuente el
16:9; incluso es posible elegir qué formato usar dependiendo de la emisión
que se esté recibiendo.
El formato, independientemente del tamaño del televisor, nos determina la
forma del rectángulo que vemos.
Formato 4:3
Formato 16:9
Un problema geométrico
La figura que se da a continuación es
un rectángulo dividido en un cuadrado y otro rectángulo.
¿Qué formato del rectángulo inicial
hacen que el segundo rectángulo sea
semejante al primero?
¿El rectángulo mas armónico?
Si el lado del cuadrado lo tomamos
igual a 1, y es x la medida del lado
mayor del rectángulo, debe cumplirse
que
x
1

1
x -1
Resolviendo esta ecuación, que tiene
dos soluciones, la única que tiene
sentido es la positiva, y resulta ser:
1
5
2
 1 . 6180339887 4 .....
A este número se le llama “número
áureo”, o número de oro, y se suele
representar por la letra griega F.
Nótese que la ecuación que resuelve
nuestro problema puede escribirse
así:
1
 x -1
x
Como el número F es solución de esa
ecuación resulta que
1
 F 1
F
es decir
1
1 . 6180339 ...
 1 . 6180339 ...  1  0 . 6180339 ...
El rectángulo de formato F:1 fue
considerado en la antigüedad clásica
griega como el más estéticamente
agradable, y hoy en día nuestro DNI,
carnet de conducir y tarjetas bancarias
responden con bastante exactitud a
dicho formato.
En el Partenon se encuentran ejemplos
de rectángulos que responden a la proporción áurea.
Desde el Renacimiento, muchos
artistas, singularmente pintores, han
utilizado en sus obras dimensiones
relacionadas con la razón áurea.
Soneto de Rafael Alberti
A ti, maravillosa disciplina,
media, extrema razón de la hermosura
que claramente acata la clausura
viva en la malla de tu ley divina.
A ti, cárcel feliz de la retina
áurea sección, celeste cuadratura,
misteriosa fontana de mesura
que el Universo armónico origina.
A ti, mar de los sueños angulares,
flor de las cinco formas regulares,
dodecaedro azul, arco sonoro.
Luces por alas un compás ardiente.
Tu canto es una esfera transparente.
A ti, divina proporción de oro.
Pero hay mucho más detrás del
número áureo.
Notemos primero un hecho que
puede parecer sorprendente.
Partimos de un rectángulo de altura
a y anchura b arbitrarios, y por
tanto de formato b:a
Tomemos, por ejemplo, a=3, b=11.
Ahora construimos esta sucesión de
números:
3, 11, 14, 25, 39, 64, 103, 167, 270,..
Como se ve, cada término a partir del
tercero es suma de los dos que le
preceden.
¿Cómo son los formatos de los rectángulos cuyos lados son dos términos
consecutivos de la sucesión? Veamos:
VALOR DECIMAL
FORMATO
11:3
3,6667
14:11
1,2727
25:14
1,7857
39:25
1,5600
64:39
1,6410
103:64
1,6094
167:103
1,6214
270:167
1,6168
Si siguiéramos un poco más calculando términos de la sucesión veríamos
la tendencia:
VALOR DECIMAL
FORMATO
437:270
1.6185
707:437
1,6178
1144:707
1,6181
El cociente entre la anchura y la altura
se va aproximando al número áureo.
Este hecho es cierto cualquiera que
sea la elección de los dos primeros
números, lo cual revela una conexión
entre el número áureo y las sucesiones que obedecen a la regla de formación antes expuesta.
La sucesión de Fibonacci
La más sencilla entre todas se obtiene
cuando los dos primeros términos son
iguales a 1:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,…
Esta sucesión se conoce con el nombre
de “sucesión de Fibonacci”
La sucesión de Fibonacci
Su interés se debe a que aparece en
la naturaleza donde no esperaríamos
encontrarla. Por ejemplo, en el caso
de las pepitas del girasol, estas se
disponen según espirales cuyo número es un término de la sucesión de
Fibonacci.
La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci
La sucesión de Fibonacci
Este es un ejemplo de cómo el
número áureo determina la
disposición de las semillas del
girasol.
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