TEOREMA DE THALES
TEMA 11.2 * 2º ESO
@ Angel Prieto Benito
Apuntes de Matemáticas 2º ESO
1
Teorema de Thales
@ Angel Prieto Benito
•
Teorema de Thales
•
Si dos rectas secantes se cortan
por dos o más rectas paralelas,
los segmentos correspondientes
que determinan sobre las rectas
secantes son proporcionales.
•
De igual manera los triángulos
que se originan son semejantes,
pues sus lados son
proporcionales y sus ángulos
iguales.
•
Los triángulos ROJO, AZUL y
CRIS son semejantes.
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2
Teorema de Thales
B
@ Angel Prieto Benito
Por el Teorema de Tales:
•
•
•
AB BC AC
---- = ---- = ----- = r
A’B’ B’C’ A’C’
•
Los segmentos que determinan las
tres rectas paralelas sobre las rectas
secantes son proporcionales.
•
En el ejemplo de la figura:
•
•
•
2,5
2,5
5
----- = ----- = ----2
2
4
•
1,25 = 1,25 = 1,25
A’
A
C
•
B’
C’
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3
C = C’ = C”
Triángulos
posición dede
Tales
Triángulos
enenposición
Thales
•
•
•
•
•
•
En Tales se originan los
siguientes triángulos:
ABC , A’B’C’ y A”B”C”
Los ángulos
correspondientes son
iguales:
A=A’=A” ; B=B’=B” ;
C=C’=C”
Y como los lados son
proporcionales, podemos
concluir que dos o más
triángulos en posición de
Tales son semejantes.
Dos o más triángulos están
en posición de Tales cuando
tienen un ángulo común (C) y
los lados opuestos (AB, A’B’,
A”B”) son paralelos.
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A”
B”
B’
A’
A
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B
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Problema_1
• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la
sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de
longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de
la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente.
h
Como los rayos del sol se consideran
paralelos, los dos triángulos rectángulos
formados están en posición de Tales y
son semejantes:
1
--- = ------ 
1m
s
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0,5
S
h
0,5. h = 8,4  h = 16,8 m
8,4
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5
Problema_2
• Hallar la distancia entre las cúspides de dos edificios para poder
construir una pasarela entre ambos.
24 m
24 m
60 m
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6
•
Resolución:
•
•
•
•
Lo primero es idealizar el problema:
Los triángulos ABC y A’B’C son semejantes por estar en posición de Tales.
Conocemos: CA’=60 m, A’ = 24 m, AB = 24 m
Deducimos, por si lo necesitamos CA=CA’ – AA’ = 60 – 24 = 36 m
B’
•
•
•
•
•
•
Por el Teorema de Tales:
•
•
•
•
•
•
Volviendo al T. de Tales:
36
43,25
------ = -------24
BB’
Operando:
BB’ = 28,83 m
C=C’
CA
CB
------ = -----AA’
BB’
B
Por Pitágoras:
CB = √ (CA2 + AB2) =
= √ (362 + 242) = 43,25 m
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24 m
24 m
60 m
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A
A’
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Teorema de Tales
A
B”
C”
B’
B
C’
C
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Si dos rectas secantes (en rojo en
la figura) son cortadas por rectas
paralelas entre sí (en azul en la
figura), los segmentos que
determinan en las rectas secantes
son proporcionales.
Podemos poner:
AB’
AC’
B’C’
----- = ----- = ------ = k
AB
AC
BC
Y también:
AB” AC” B”C”
----- = ----- = ------ = k’
AB
AC
BC
Los triángulos ABC, AB’C’ y AB”C”
son semejantes.
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8
• Ejemplo_1:
A
B’
B
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C’
C
• Sea el triángulo ABC tal que,
• AB=10, BC=6, CA = 8
• Trazamos una recta paralela al
lado BC.
• Los triángulos ABC y AB’C’ son
semejantes.
• Se cumple que:
• AB’ AC’ B’C’
• ----- = ----- = ------ = k
• AB
AC BC
• 5
4
3
• --- = ---- = ---- = 0,5
• 10 8
6
• La razón de semejanza es k=0,5
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• Ejemplo_2:
• Sean dos triángulos isósceles
semejantes, cuyas bases miden
12 y 9 cm. La altura del menor es
de 3 cm.
• Hallar la altura del mayor y la
razón de semejanza.
A
B’
C’
•
•
•
•
H’
B
H
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C
Se cumple que:
BC
AH
----- = ----- = k
B’C’ AH’
• 12 h
• --- = ---- = 4/3 , que es la razón.
• 9
3
• h =3.4/3 = 12/3 = 4 m
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Problema_1
• Para medir la altura de un edificio hemos empleado el método de la
sombra por el Teorema de Tales, utilizando una varilla de 1 m de
longitud. Hallar la altura del edificio si sabemos que las sombras de
la varilla y del edificio son de 0,5 m y de 8,4 m respectivamente.
Como los rayos del sol se consideran
paralelos, los dos triángulos rectángulos
formados son semejantes:
H
1
0,5
--- = ------ 
H
0,5. h = 8,4  h = 16,8 m
8,4
1m
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s
S
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11
Problema_2
• Un arbusto de 1,35 m de longitud proyecta una sombra de 0,85m. Al
mismo tiempo la sombra de la iglesia del pueblo mide 25 m. Hallar la
altura de la iglesia.
Como los rayos del sol se consideran
paralelos, los dos triángulos rectángulos
formados son semejantes:
h
H=?
1,35
0,85
--- = ------  -------- = -------H
h=1,35 m
s
S
H
25,42
1,35.25,42 = 0,85.H  34,317 = 0,85.H
Luego H = 34,317/0,85 = 40,3729 m
H=40373 mm con notable precisión.
s=0,85
S=25,42 m
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Aplicación de Thales
•
Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
•
1.- Se traza una recta desde A con una inclinación
cualquiera respecto al segmento AB.
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A
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13
B
Aplicación
•
Dividir un segmento AB en 7 partes iguales.
•
2.- Sobre dicha recta se llevan siete veces
consecutivas una distancia d cualquiera.
d
d
d
d
d
d
d
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A
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14
B
Aplicación
•
Dividir un segmento AB en 7
partes iguales.
•
3.- Se une el extremo resultante
de la recta con el punto B del
segmento a dividir. Se trazan
paralelas a la línea trazada
anteriormente que pasen por las
divisiones de la recta.
d
d
d
d
d
d
d
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A
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15
B
Aplicación
•
Dividir un segmento AB en 7
partes iguales.
•
4.- Los cortes de las paralelas
así trazadas con el segmento AB
nos determinarán las 7 partes en
que queda dividido el segmento
AB.
d
d
d
d
d
d
d
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A
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B
Ejercicios propuestos
• 1.- Dividir un segmento de 10 cm en tres partes iguales,
de modo que cada una sea el doble que la anterior.
• 2.- Dividir un segmento de 12 cm en tres partes iguales,
de modo que cada una sea el triple que la anterior.
• 3.- Dividir un segmento de 15 cm en cuatro partes
iguales, de modo que cada una sea los 3/2 de la
anterior.
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RECTAS NOTABLES EN UN TRIÁNGULO - INTEF