Límites y
continuidad de
funciones
Limites de sucesións
Limite de una sucesión
La idea que hay tras el concepto de
límite es la siguiente: en determinadas
situaciones, los términos de la
sucesión tienden a un valor
determinado:
n
An
1
Ejemplo:
Vemos claramente que
cuando n se hace muy
grande, los términos de
la sucesión se aproximan
cada vez más a cero.
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valores de n
n
1 10
0,5 20
0,33333333 30
0,25 40
0,2 50
0,16666667 60
0,14285714 70
0,125 80
0,11111111 90
0,1 100
An
0,1
0,05
0,03333333
0,025
0,02
0,01666667
0,01428571
0,0125
0,01111111
0,01
Describimos esta
situación diciendo que el
límite de la sucesión es
cero y escribimos:
Valores de los
términos de la
sucesión
n
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
An
0,001
0,0001
0,00001
0,000001
0,0000001
0,00000001
0,000000001
Análogamente, estudiando los
términos de
n
1
2
3
4
5
10
100
1000
10000
1000000
an
1
1,33333333
1,5
1,6
1,66666667
1,81818182
1,98019802
1,998002
1,99980002
1,999998
vemos que cada vez se acerca
más a dos, pero que nunca van
a pasar de ahí:
El límite es el número al que
se dirigen los términos de la
sucesión sin llegar a alcanzarlo
nunca.
La definición formal de límite es:
Que significa:
L es el límite de una sucesión an si podemos
acercarnos al valor de L con términos de
nuestra sucesión tanto como queramos .
O también:
L es el limite de una sucesión an si podemos
hacer la diferencia entre algunos términos de la
sucesión y el valor del límite tan pequeña como
se quiera.
Cando una sucesión tiene límite
decimos que converge, o que es una
sucesión convergente
SUCESIÓN DIVERGENTE: 
Diremos que una sucesión diverge
cuando su límite no existe porque los
valores de la sucesión se hacen cada
vez mayores:
n
1
2
3
4
5
10
100
1000
10000
1000000
an
1
2,66666667
4,5
6,4
8,33333333
18,1818182
198,019802
1998,002
19998,0002
1999998
La tabla
representa
los valores
de algunos
términos de
la sucesión:
Puede comprobarse que se hacen
cada vez mayores sin detenerse en la
proximidad de ningún valor: en este
caso escribiremos:
La sucesión diverge
Para la sucesión
Los valores
tienden a
números muy
grandes pero
negativos:
n
1
2
3
4
5
10
100
1000
10000
1000000
an
0
-13
-50
-123
-244
-1989
-1999899
-1999998999
-2E+12
-2E+18
Formalmente:
Una sucesión An se dice que diverge
cuando su límite es infinito: cuando la
sucesión de términos no se detiene
en ningún valor
LÍMITES DE
FUNCIONES
Límites de funcións
Límites de funciones
La principal diferencia entre los límites
de sucesiones y los límites de
funciones es que en las funciones no
sólo estudiamos los límites cuando x
se hace infinita, sino que haremos
“estudios locales”: estudiaremos a que
valores tiende la función en un
entorno de un punto determinado.
Para a función f(x) = x2- 4,
Veamos algunos ejemplos de lo que
ocurre en el entorno de x=2 para
varias funciones.
Aproximándonos a 2 desde valores
inferiores (menores que 2, que se
encuentran en el eje a la izquierda
de dos) observamos que los valores
de la función se acercan
paulatinamente cada vez más a 0,
aproximándose infinitamente.
Aproximándonos a 2 desde valores superiores
(mayores que 2, que se encuentran en el eje a
la derecha de dos) observamos que los
valores de la función se acercan
paulatinamente cada vez más a 0, hasta
aproximándose infinitamente.
Cuando los límites a ambos lados coinciden, decimos que existe límite de la
función, que es igual a ese valor común:
Se define el límite de una función como:
La función de la gráfica no tiene límite:
- por la izquierda se va a -, y
- por la derecha el límite es -1.
Al no coincidir los límites laterales no
existe límite
lim f ( x )   1
x1

y
x1

f(x)=-2x+1
1
-4
-3
-2
-1
x
1
-1
-2
-3
-4
-5
lim f ( x )  
f(x)=1/(x-1)
2
-6
-7
-8
-9
2
3
4
Cuando x
También se estudia el límite de las
funciones cuando el argumento (la
variable dependiente) tiende a infinito:
y
Cuando x→-∞, la función toma valores
cada vez más próximos a 1, de manera
que:
f(x)=x^2/(x^2-1)
y
4
f(x)=x^2/(x^2-1)
4
2
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-2
-4
-4
En la gráfica vemos que cuando x→∞,
la función toma valores cada vez más
próximos a 1, de forma que:
Como podemos comprobar si
hacemos una tabla de valores:
x
-2
-5
-10
-100
-1000
y
1,3333
1,0416
1,0101
1,0001
1,0000
Se definen los límites de una función
cuando la variable independiente se
hace infinita como:
TEOREMA:
El límite de una función, si existe,
es único
LIMITES Y
OPERACIONES
LÍMITES E OPERACIÓNS
Límites y operaciones
Las propiedades de las
operaciones aritméticas
realizadas con sucesiones y
funciones permiten
simplificar el cálculo de
límites al permitir
descomponerlos en límites
de cálculo más sencillo.
En el caso de las inversas y de los cocientes,
estas igualdades se cumplirán en el caso de que
ni en las sucesiones ni en los límites se anulen
los denominadores.
Estas propiedades se cumplen igualmente en el
caso de las funciones, en los mismos términos.
La principal aplicación de las
propiedades de los límites es el
método de cálculo de estos:
Indeterminaciones
Las posibles indeterminaciones que
pueden aparecer en el cálculo de los
límites son:
Cocientes finitos:
Cocientes infinitos:
Sin tanta formalidad, para calcular un
límite de una función, se sustituye en la
expresión de la función la
indeterminada por el valor al que
tiende:
No siempre es tan simple la cuestión.
En muchas ocasiones aparecen
operaciones irresolubles que reciben
el nombre de indeterminaciones:
Potencias:
y además
¿Que hacer con las indeterminaciones?
Cuando en el cálculo de un límite
obtenemos como resultado una
indeterminación intentaremos
eliminarla simplificando la expresión,
mediante métodos apropiados a cada
caso.
Lo veremos con detalle.
INDETERMINACIONES
Exemplo:
1.- Se factorizan numerador y
denominador y se simplifica la expresión:
En el caso:
1.- Miramos los límites laterales
construyendo las tablas de valores
próximos a 2:
x
1,9
1,99
1,999
1,9999
2.-Se calcula el límite de la expresión
simplificada:
Si eso permite calcular el límite:
problema resuelto.
Si no, tendremos que calcular los límites
laterales para ver si existen, y de existir,
si coinciden.
x
2,1
2,01
2,001
2,0001
f(x)=1/(x-2)
-10
-100
-1000
-10000
f(x)=1/(x-2)
10
100
1000
10000
En consecuencia:
De donde:
NO EXISTE
LÍMITES
INFINITOS.
El infinito y las
indeterminaciones
Límites infinitos
EL INFINITO Y LOS LÍMITES
El infinito aparece en el cálculo de límites:
O en el de asíndotas:
Asíntota horizontal:
Decimos que el límite de una
función –por la derecha o por la
izquierda- cuando el argumento se
acerca a un valor, será infinito si
canto más nos acerquemos al valor
del argumento más crece el valor
de la función:
y=b/
En el ejemplo:
y=0
Asíntota vertical:
x=a/
En este caso:
lim f ( x )  
x  1
En el ejemplo:
x=1

lim f ( x )  
x  1

La definición en lenguaje matemático:
No tiene sentido hablar de
Los límites laterales, aunque ambos
tomen el mismo valor, nunca coincidirán Se dice entonces que la función diverge
en x=a.
en ningún punto .
OPERACIONES CON 
Las reglas para operar con
infinito se resumen en los
cuadros siguientes, y de
forma general, tienen una
cierta lógica, aunque a veces,
parezcan contradictorias o
chocantes, en especial en el
caso de las
indeterminaciones.
“a” es un número real positivo.
Resta
Produtos
Cocientes
∞+∞=∞
∞-∞=Indeterminado
∞-∞=∞
∞/∞= Indeterminado
a+ ∞=∞
a- ∞=-∞
a· ∞=∞
a/∞=0
-a+ ∞=∞
-a- ∞=-∞
-a· ∞=-∞
-a/∞=0
-∞+a=-∞
-a-(-∞)=∞
-a·-∞=∞
∞/a=∞ ;
Suma
0<a<1
a>1
a=1
1 INDET.
Indeterminaciones con 
1.- La indeterminación
Para resolver esta indeterminación
se saca factor común la menor
potencia en los pares
consecutivos:
Operamos :
2.- La indeterminación
I.-
Para resolver dividimos por la
mayor potencia del
denominador, pudiendo darse
tres casos:
1.-Grado del denominador >grado del numerador
En este caso el resultado del 2.límite siempre es cero
2.-Grado del denominador <grado del numerador
En este caso el resultado
del límite es siempre
infinito:
3.-Grao del denominador =grado del numerador
Cuando los grados coinciden el
límite será el cociente de los
términos con la mayor
potencia:
Indeterminación 1∞.
Esta indeterminación aparece en el
cálculo de límites de la forma:
Y normalmente está asociada
a un número real llamado “e”,
“número de Euler”, o
”Constante de Neper”
que surge del cálculo de :
como puede verse en la
tabla:
n
1
10
100
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
1000000000
a(n)=(1+1/n)^n
2
2,59374246
2,704813829
2,716923932
2,718145927
2,718268237
2,718280469
2,718281694
2,718281786
2,718282031
Los valores de la sucesión tienden
a estabilizar las cifras decimales.
Diversos razonamientos
matemáticos confirman la idea de
que la sucesión anterior tiene
que tener un límite: este número
que sería o límite de esa sucesión
es el número “e”.
A efectos de cálculo
aproximaremos : e=2,72
Otras sucesiones que convergen al
número e son:
TEOREMA:
Este teorema se emplea para
resolver la indeterminación
1
DEMOSTRACIÓN:

Continuidad
Funcións continuas e descontinuas, tipos de
descontinuidades.
Continuidade
Una función se dice continua en un
punto x0 cuando:
Función continua
y
f(x)=(1/8)x^2
9
f(x)=x-2
8
1.- Existe f(x0)
2.- Existen los límites laterales
no punto e coinciden.
Existiendo entonces límite de la
función, L
3.- El límite y el valor de la
función coinciden L= f(x0)
La idea básica que queremos
expresar con el concepto de
continuidad es la de que la serie de
valores no se interrumpe en x0.
De forma gráfica, una función es
continua en un punto si la
representamos sin tener que levantar
el lápiz del papel.
7
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Función discontinua en x=3
y
f(x)=(1/8)x^2
9
f(x)=x+1
8
7
6
5
4
3
2
En las gráficas podemos ver una
función continua y otra discontinua.
1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
DISCONTINUIDADES EN LAS FUNCIONES
Una función es discontinua en un punto si no es continua:, es decir, si no cumple
alguna de las tres condiciones de la definición.
1.- No se cumple la primera:
Si la imagen no existe es porque el punto no pertenece al dominio: x0Df.
Los casos más frecuentes son:
puntos en los que se anula un
y
denominador,
intervalos de la recta real en los que
un radicando es negativo.
f(x)=1/X^2
y
f(x)=SQRT (X)
8
8
6
6
4
4
2
2
x
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
no existe f(0), ya que f(0)=1/0 operación que no
tiene ningún resultado: el cero no es un número
de dominio da función: 0Df , y por tanto esa
función es discontinua en cero.
x
-2
2
4
6
La función no toma valores para los
números negativos: no tienen raíz
8
2.-No se cumple la segunda
que alguno, o ninguno de los límites
laterales exista :
(que el límite lateral sea +∞ ou -∞):
y
f(x)=1/(x-1)
2
La función puede no tener limite debido
a:
f(x)=-2x+1
1
-4
-3
-2
x
-1
1
2
3
4
-1
-2
Que los límites laterales no
coincidan
-3
-4
-5
-6
-7
-8
Exemplo:
-9
y
f(x)=2x
2
f(x)=-2x+1
1
-4
-3
-2
-1
9
8
7
6
5
4
3
2
1
x
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
Diremos que tenemos una discontinuidad de
salto finito.
El salto es la diferencia entre los valores de
los límites laterales.
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
f(x)=1/(x-1)
x
1
2
3
4
Diremos entonces que tenemos una
discontinuidad de salto infinito o
esencial
3.- No se cumple la 3ª:
Cuando los límites laterales coinciden
pero el valor de la función el distinto
tenemos una
Ejemplo:
Discontinuidad evitable.
y
f(x)=x^2
9
f(x)=x^2
Serie 1
8
Podemos evitarla redefiniendo la
función en el punto problemático con
el valor de los límites laterales:
7
6
5
4
3
2
1
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
sería continua en x=0.
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Límites de funciones