Coordenadas rectangulares en el plano


Trazamos dos rectas perpendiculares en el
plano que llamaremos eje x y eje y
El punto de intersección 0 se llama origen de
coordenadas.
II
El plano queda
dividido en cuatro
regiones llamadas
cuadrantes
I
0
III
IV
1
Representación de los números
sobre cada eje
2
Coordenadas de un punto

A un punto P del plano le asociamos dos números de la
siguiente manera

Decimos que P tiene coordenadas (Q,R)
La primera se llama abscisa y la segunda ordenada de P.
Recíprocamente, dado un par de números (Q,R) hay un
número P del plano del cual son las coordenadas.


3
Ejemplo

Representación de los puntos P=(1/2,1) y
P´=(-3,2)
4
Ejemplo 2

Conjunto de puntos P=(x,y) cuyas coordenadas
verifican x>2 e y ≤ -1
A={(x,y) : x>2 ; y ≤ -1}

Representación
5
Ejercicio 1

Representar en el plano los siguientes
pares ordenados y decir a qué cuadrante
pertenecen
(2, -1) ; (-1/2 ,3) ; (5/3, -2) ; (-1, -2)
6
Ejercicio 2
A. ¿Qué signo tienen las coordenadas de un
punto del segundo (respectivamente cuarto)
cuadrante?
B. Sombrear la parte del plano que corresponde
a los puntos de abscisa negativa.
C. Sombrear la parte del plano cuya abscisa es
positiva y cuya ordenada es negativa.
7
Ejercicio 3
A. Representar el triángulo de vértices
A=(0,0), B=(3,0) y C=(2,3) y evaluar su
área.
B. Hacer lo mismo para A=(1,0), B=1,3) y
C=(0,1)
8
Ejercicio 4: Representar gráficamente
A = { (x,y) : x > 1 }
B = { (x,y) : y ≤ 0 }
C = { (x,y) : x . y = 0 }
D = { (x,y) : 1 ≤ x ≤ 2 , y > 0 }
E = { (x,y) : x = y }
F = { (x,y) : x . y < 0 }
9
Ejercicio 5

Definir mediante condiciones los siguientes
subconjuntos del plano
10
Ejercicio 5 (cont)

Definir mediante condiciones los siguientes
subconjuntos del plano
11
Rectas en el plano

Ejemplo : El conjunto de ptos.de plano de
abscisa 3.
L = { (x,y) : x = 3 }
12
Rectas en el plano

Ejemplo : El conjunto de puntos cuya
abscisa coincide con la ordenada.
L = { (x,y) : x = y }
13
Rectas en el plano

Ejemplo : La recta horizontal (paralela al
eje x) que pasa por P0=(1,2)
L = { (x,y) : y = 2 }
14
Rectas en el plano

Sea L la recta que pasa por P1=(1,2) y P2=(3,5)
y2
52

x 1
3 1
Operando
2y – 3x = 1
15
Ecuación de la recta

Si L es vertical, tiene ecuación x=c
L = { (x,y) : x = c }

Si L es horizontal, tiene ecuación y=c
L = { (x,y) : y = c }
16
Ecuación de la recta

Si L no es ni horizontal ni vertical y pasa por los
puntos P1=(a1,b1), P2=(a2,b2) tiene ecuación
x  a1
a 2  a1

y  b1
b 2  b1
que operando se escribe de la forma
Ax + By = C
17
Ejercicio 7

Hallar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos dados:
A. (2,3) ; (4,5)
B. (5,-1) ; (-5,-1)
C. (½, ½) ; (0,0)
D. (1,-1) ; (-1,1)
18
Ejercicio 8

Sea L la recta que pasa por P1=(-1, 0), P2=(5, 1)
a) Hallar la ecuación de L y comprobarla.
b) Mostrar otros dos puntos de L.
c) ¿Cuáles de los siguientes puntos
pertenecen a L?
Q1 = (3, ½) ; Q2 = (10,2) ; Q3 = (-7, -1)
19
Ejercicio 9

Hallar el valor de k para el cual los puntos
(-1,2) ; (3,1) ; (2, -k+1)
están alineados
20
Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma
Ax + By = C
{A0 o B0}
veremos que los puntos P=(x,y) que la
verifican forman una recta.
21
Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma
Ax + By = C
CASO 1 : A = 0, la ecuación se escribe
y
C
B
es una recta horizontal
22
Ecuación de la recta

Dada una ecuación de la forma
Ax + By = C
CASO 2 : B = 0, la ecuación se escribe
x
C
A
es una recta vertical
23
Ecuación de la recta

CASO 3 : A0 y B0
y  axb
donde
a
A
B

;b 
C
B
La ecuación de la recta que pasa por los puntos
P1 = (0, a) y P2 = ( 1, a+b) es
x0
1 0

yb
abb

x
yb
 y  ax  b
a
Los puntos que verifican esta ecuación forman la
recta que pasa por P1 y P2.
24
Ejemplo

Si queremos representar en el plano el
conjunto de puntos
{(x,y) : 2x – y = -1}

Sabemos que se trata de una
recta determinada por dos puntos.
Ej : P1 = (0,1) ; P2 = (1,3)
25
Ejercicio 10

Representar gráficamente
A) 5x + y = 3
B) x – 2 = 0
C) 4x – 3y = 6
D) y = 0
26
Posición Relativa de dos rectas
Transversales
Paralelas
Coincidentes
27
Sistema de Ecuaciones

Dadas dos rectas, cada una de ellas está
representada por una ecuación lineal.

Los puntos de intersección deben verificar
ambas ecuaciones
A 1x + B1y = C 1
A 2x + B2y = C 2
28
Sistema de Ecuaciones

Decir que las rectas son transversales es lo
mismo que decir que el sistema de ecuaciones
tiene una única solución.

Decir que son paralelas equivale a decir que el
sistema no tiene solución.

Decir que son coincidentes es lo mismo que
decir que las dos ecuaciones son
equivalentes.
29
Ejemplo 1

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = -1
L2 : x – y = 2
El sistema admite una única solución
x
1
;
y
3
5
3
Por lo tanto, las rectas son transversales y se cortan en
1 5
P   , 
3 3
30
Ejemplo 1
31
Ejemplo 2

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 2x – y = – 3
L2 : – 6x + 3y = – 6

Multiplicando la primer ecuación por -3 obtenemos
un sistema equivalente
6x – 3y = – 9
6x – 3y = – 6

Restando ambas ecuaciones obtenemos 0= – 15 lo
cual no puede ser. El sistema NO tiene solución.
32
Ejemplo 2
33
Ejemplo 3

Sean las rectas de ecuaciones
L1 : 4x – 8y = -12
L2 : – x + 2y = 3

Multiplicando la segunda ecuación por -4 obtenemos
la primera. Es decir, ambas ecuaciones en realidad
son la misma ecuación. Las rectas coinciden.
34
Distancia entre dos puntos del plano

Dados dos puntos del plano
P1 y P2

Podemos calcular la distancia entre ellos por el teorema
de Pitágoras
d   ( x 2  x1 )  ( y 2  y1 )
2
2
35
Ejemplo

Calcular la distancia entre
P1=(3,2) y P2=(1,-4)
d 
(1  3 )  (  4  2 )
d 
4  36 
2
2
40
36
Descargar

Coordenadas rectangulares en el plano