VECTORES
RECTAS
1
EL PLANO AFÍN
• TRES PUNTOS ALINEADOS
• PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO
• SIMÉTRICO DE UN PUNTO
RESPECTO DE OTRO
2
Condición para que tres puntos
estén alineados
Q
Tres puntos P(p1,p2), Q(q1,q2) y R(r1,r2)
están alineados si:
P
PR  PQ
 r1  p 1,r2
R
es decir si las
componentes de ambos
 p 2     q 1  p 1, q 2  p 2 
vectores son
proporcionales
 r1  p 1,r2  p 2      q1  p 1  ,   q 2  p 2  
r1  p 1    q 1  p 1  


r2  p 2    q 2  p 2  

R
P
r1  p 1

  
q1  p 1


r2  p 2
 

q2  p 2
r1  p1
q1  p1
Q

r2  p2
q2  p2
P
3
Punto medio de un segmento
Q
M
Si M(x,y) es el punto medio de dos
P(p1,p2) y Q(q1,q2):
P
PQ  2PM
 q 1  p 1, q 2
 p2

 2  q 1  x, q 2  y 
q1  p 1  2  q1  x  


q2  p 2  2  q2  y 

q1  p 1  2 q1  2 x 

q2  p 2  2q2  2 y 
2 x  2 q1  q1  p 1 

2 y  2q2  q2  p 2 
 q  p1 q2  p2 
M  (x, y)   1
,

2
2


Por análogo
procedimiento
podremos hallar
las coordenadas
de los puntos
que dividen un
segmento en
partes iguales
q1  p 1 

2

q2  p 2 
y 

2
x 
M(x,y) es el punto medio
de P(p1,p2) y Q(q1,q2):
4
Simétrico de un punto respecto de
P’
otro
Q
Para hallar el simétrico P’(x,y) de un
punto P(p1,p2) respecto de Q(q1,q2):
P
PP'  2PQ
x
 p 1, y  p 2

 2  q 1  p 1, q 2  p 2
x  p 1  2  q1  p 1  


y  p 2  2  q2  p 2 

x  2 q 1  2p 1  p 1  x  2q 1  p 1 


y  2 q 2  2p 2  p 2  y  2q 2  p 2 
Q(x, y)   2q1  p1,2q2  p2 

O bien:
Q es el punto medio de PP’:
 q 1, q 2  
 x  p1 y  p 2 
,


2
2


x  p1 


2

y  p2 


2

q1 
q2
2q 1  x  p 1 

2q 2  y  p 2 
x  2q 1  p 1 

y  2q 2  p 2 
5
Ecuaciones de la recta
•
•
•
•
ECUACIÓN VECTORIAL
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
ECUACIÓN CONTÍNUA
ECUACIÓN GENERAL , IMPLÍCITA O
CARTESIANA
• ECUACIÓN EXPLÍCITA
• CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
6
Ecuaciones de la recta(1)
Para determinar una recta r necesitamos:
r
v
• Un punto de la recta y una
dirección
A
B
r
• Dos puntos de la recta
A
7
Ecuación vectorial de la recta
r
v

A(a1,a2)
a
X(x,y)
v
x
Sea A el punto de
coordenadas A(a1,a2) y v un
vector de componentes (v1,v2)
Vamos a determinar la ecuación de una
recta r que pasa por el punto A y tiene por
dirección v (vector director de la recta)
O
Sea X(x,y) un punto genérico de la recta
OX  OA  AX
x  a  v
ECUACIÓN
VECTORIAL DE
LA RECTA
x, y   a1, a2   v1, v 2 
Nota: Dando valores al parámetro λ se obtienen los distintos puntos de la recta
8
Ecuaciones de la recta
r que pasa por el
punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es
v=(v1,v2)
x, y   a1, a2   v1, v 2 
Dada la ecuación vectorial de la recta r:
Multiplicando por el escalar:
 x, y 
  a 1, a 2     v 1,  v 2 
Sumando:
 x, y 
  a 1   v 1, a 2   v 2 
Igualando componentes:
x  a1  v1 

y  a 2  v 2 
Despejando
el parámetro
e igualando:
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
DE LA RECTA
x  a1 
v 1 

y  a2 
 
v 2 
 
x  a1
v1

y  a2
v2
ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA
Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad: v  a
2
v 2 x  v 1 y  v 1a 2  a 1v 2  0
v1  b
Si llamamos:
Tenemos:
ax  by  c  0
v 1a 2  a 1v 2  c
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
9
Ecuaciones de la recta
r que pasa por el
punto A(2,-3) y cuyo vector direccional es v=(5,-1)
Dada la ecuación vectorial de la recta r:
 x, y    2,  3     5,  1
Multiplicando por el escalar:
 x, y 

 x, y 
Sumando:

 2,  3    5  ,   
 2  5 ,  3   
Igualando componentes:
x  2  5 

y  3   
Despejando
el parámetro
e igualando:
x 2
5 

y 3
 
 1 
 
ECUACIONES PARAMÉTRICAS
DE LA RECTA
x2
5

y3
1
ECUACIÓN CONTÍNUA DE LA RECTA
Multiplicando y pasando todo al primer miembro de la igualdad:
 x  5 y  2  15  0
Tenemos:
x  5y  13  0
ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA
10
Ecuaciones de la recta r que pasa por
el punto A(a1,a2) y cuyo vector direccional es
v=(v1,v2)
Ecuación vectorial :
x, y   a1, a2   v1, v 2 
Ecuaciones paramétricas :
Ecuación contínua :
x  a1  v1 

y  a 2  v 2 
x  a1

v1
y  a2
v2
Ecuación general, cartesiana o implícita :
ax  by  c  0
Como
v2  a 
 v   v 1, v 2     b, a 
v1  b 
11
Ecuaciones de la recta que pasa
por dos puntos.
Ecuación de r que pasa por los puntos A(a1,a2) y B(b1,b2)
Su vector director puede ser
r
P(x,y)
v r  AB  b1  a1,b2  a2 
B(b1,b2)
Sustituyendo en la ecuación contínua de la recta r:
x  a1

v1
y  a2
A(a1,a2)
v2
P(x,y)
x  a1
b1  a1
B(b1,b2)

y  a2
b2  a2
A(a1,a2)
ECUACIÓN DE LA RECTA QUE
PASA POR DOS PUNTOS
12
CONDICIÓN DE PARALELISMO
ENTRE RECTAS
Sean vr y vs los vectores directores de dos rectas r y s paralelas.
r
vr
Si dos rectas r y s son paralelas, también
lo son sus vectores directores:
s
r // s  vr // v s  v r   v s 
vs
v r   v r1, v r 2 
v s   v s1, v s 2 
(Sus componentes

serán proporcionales)
 v r 1, v r 2     v s1, v s 2  

 v r 1, v r 2     v s1,  v s 2 

v r1
v s1

 v r 1   v s1
 
 v r2  v s2
vr 2
v s2
13
CONDICIÓN DE PARALELISMO ENTRE RECTAS
r
Sean dos rectas r y s
dadas de diferentes
formas:
vr
v s   v s1, v s 2 
vs
r // s  vr // v s 
E
C
U
A
C
I
Ó
N
vectorial
Serán
paralelas si:
r 
 x, y 
  a 1, a 2     v r 1, v r 2 
s 
 x, y 
  b 1, b 2     v s1, v s 2 
paramétricas
 x  a1   v r1
r  
y  a2  vr2
contínua
r 
x  a1
v r1

y  a2
vr2
r  AxByC  0
general
v r   v r1, v r 2 
s
 v r 1, v r 2     B, A 
 v s1, v s 2     B ', A ' 
 x  b 1   v s1
s  
 y  b 2  v s2
s 
x  b1
v s1

v r1
vr 2

v s1
v s2
y  b2
v s2
A
s  A 'x  B'y  C'  0
A'
Coincidirán si
se cumple:
A
A'

B

B'
B
B'

C
C'
14
PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
DEFINICIÓN
PROPIEDADES
MÓDULO DE UN VECTOR
ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES
ÁNGULO QUE FORMAN DOS RECTAS
CONDICIÓN DE PARALELISMO Y
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
PENDIENTE DE UNA RECTA
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA RECTA
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.
15
Producto escalar
de dos
vectores(1)
v

u
Dados dos vectores u y v llamaremos producto escalar de u por v al número
real que resulta:




 
u  v  u  v  cos  u , v 


Producto de los módulos por el
coseno del ángulo que forman
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
1. S i u  0 ó
2. S i u  v
3. S i u  v  0
v  0
 uv  0
 uv  0
y
u  0, v  0
Si dos vectores son perpendiculares,
su producto escalar es cero. (cos 90º=0)
 u  v
4.
u  v  v  u ,  u, v  V 2
5.
a u  v  au  v ,  u, v  V 2 ,  a  R
6.
u v  w


Si el producto escalar de
dos vectores no nulos es
cero, son perpendiculares
Propiedad conmutativa
  
  u v u w ,
(El módulo del vector nulo es 0).
El producto del vector nulo
por otro cualquiera es 0
 u, v,w  V 2
Propiedad “asociativa”
Propiedad distributiva
16
Coseno del ángulo de dos vectores

x  y  x  y  cos x, y

 co s  
En una base ortonormal o canónica :
cos 
xy
xy
x1y1  x 2 y 2

x1  x 2  y1  y 2
2
2
2
2
xy
x  y
Expresión del coseno del
ángulo que forman dos
vectores si la base es
ortonormal.
Si dos vectores son perpendiculares :
x  y
 xy 0
 x1y1  x 2 y 2  0
Dado un vector u (a,b), un vector perpendicular podría ser v(-b,a) y
viceversa:
a(-b)+ba=0
A partir de ahora trabajaremos solamente con bases ortonormales
17
Ángulor que forman dos rectas.
s
vr
vs
  
 r, s   


v r   v r1, v r 2 
v s   v s1, v s 2 
Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos
que forman éstas. Lo podemos calcular a partir del
ángulo que forman sus vectores direccionales
cos  
vr  v s
Valor absoluto de un número real
vr v s
Módulo de un vector
Al tomar un valor positivo, el ángulo será agudo (el menor de los ángulos que forman)
Posición relativa de dos rectas.
Dos rectas en el
plano pueden ser:
Secantes
Paralelas no coincidentes
Coincidentes
18
Ecuación explícita de una recta.
Pendiente de una recta
Si en la ecuación
general de la recta r,
despejamos y:
v r   v 1, v 2     B, A 
tg α 
A
B

v2
v1
m
n
1
1
vr
1
m
y  
A
B
x
C
B
Si llamamos:
m
r
m
r  AxByC  0

A
B
m

C
n
B
La ecuación explícita
de la recta será:
y  mx  n
m nos indica la pendiente de la recta y
α
-B
A
n la ordenada en el origen
(Para x=0, y=n)
19
Ecuación punto-pendiente.
Pendientes de dos rectas paralelas o perpendiculares.
Para hallar la ecuación punto-pendiente de un recta r, conocida
su pendiente m y un punto P(x0,y0) perteneciente a ella:
Ponemos la ecuación de la recta en función de la pendiente:
y=mx+n
Falta determinar n ( m ya lo conocemos)
y0 = m x0 + n
La recta debe pasar por P(x0,y0)
y - y0 = m (x - x0 )
Restando ambas expresiones:
P2(x2,y2)
Para hallar la pendiente de una recta
conocidos dos de sus puntos:
y2-y1
P1(x1,y1)
x2-x1
m  tg  
y 2  y1
x 2  x1
20
Condición de paralelismo
y perpendicularidad entre rectas
Dada la ecuación de
una recta r:
y=mx+n
Vector
direccional
r y=mx+n
E
C s y=m’x+n’
U
A
C r Ax+By+C=0
I
Ó
s A’x+B’y+C’=0
N
v r  (1,m )
v s  (1, m ')
v r  (  B, A )
v s  (  B ', A ')
m'  
1
m
mx-y+n=0
Serán
paralelas si:
m  m'
A
A'

B
B'
v r  (1,m )
Serán
perpendiculares
si:
1 mm'  0
AA ' BB'  0
Relación entre las pendientes de
dos rectas perpendiculares
21
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
22
Distancia entre dos puntos
B
b2
La distancia entre dos puntos A(a1,a2)
y B (b1,b2) es el módulo del vector AB
(o del BA):
Basta aplicar el Teorema de
Pitágoras:
b2- a2
a2
d  A,B   A B 
A
 b1  a1 
2
 b 2  a 2 
b1- a1
b1
a1
Por ejemplo, la distancia entre los puntos A(-3,8) y el B(3,5):
d  A,B   AB 

 3   3     5  8  
2
45  3 5 u
2
6   3  
2
2
23
2
Hoja de problemas con soluciones:
http://www.educa.aragob.es/iesitaza/DAPARTAM/matemat/06geo
metriaplano.pdf
Teoría y ejercicios:
http://personales.unican.es/gonzaleof/#
Maneja vectores:
http://www.xtec.es/~jbartrol/vectores/index.html
http://platea.pntic.mec.es/anunezca/UnidDidVectores/Index/index.htm
24
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rectas 4ºeso