I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares
geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola














Introducción
Definición de la línea recta
Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
Otras formas de la ecuación de la recta
Forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general
Posiciones relativas de dos rectas
Forma normal de la ecuación de la recta
Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal
Aplicaciones de la forma normal
Área de un triángulo
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
Familias de líneas rectas
Resumen de los resultados del capítulo
H em os llegado a un punto en que debem os dar
un giro a nuestro estudio de la G eom etrí a A nalítica.
H asta aquí hem os deducido algunas relaci ones
fundam entales y considerado m etodos gene rales
para la construcción de curvas y la obtención de la
ecuación de un lugar geom étrico.
P ero todavía no hem os hecho ningún inten to
sistem ático de identificar las ecuacione s y sus
lugares geom étricos de una m anera específica.
M ás aun, hasta este m om ento, no hem os
establecido ninguna de las propiedades
particulares que puede poseer una curva.
A hora harem os un estudio detallado de la
línea recta y de algunas de las curvas q ue son
de m áxim a im portancia en la G eom etría
A nalítica y sus aplicaciones. N aturalm en te
com enzarem os con el estudio de la línea recta
debido a que su ecuación es la m ás senci lla.
N uestro prim er objetivo en este capítulo es la
obtención de la ecuación de la línea recta.
Y a dijim os en el artículo 23, que la ecu ación
de un lugar geom etrico se obtiene a partir de
un núm ero suficiente de las propiedades
únicas que lo definen
E xisten varias definiciones elem entales de la
línea recta, siendo la m ás com ún la que se
expresa diciendo que una recta es la dis tancia
m ás corta entre dos puntos.
P ero esta definición se apoya en el sign ificado
del térm ino distancia . S i tratam os ahora de
definir la distancia entre dos puntos, v erem os
que cualquier explicación nos devuelve a l
punto de partida.
P o r esta razó n , lo s tratad o s su p erio res d e
G eo m etría, co n stru íd o s so b re b ases
ax io m áticas , ad m iten la ex isten cia d e la
lín ea recta co m o u n p o stu lad o .
N o so tro s ad m itirem o s la sig u ien te
d efin ició n d e lín ea recta b asad a en el
co n cep to d e p en d ien te d ad o en el
artícu lo 8 .
E s el lugar geom étrico de los puntos tales que
tom ados dos puntos diferentes cualesquie ra
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 )
del lugar gom étrico, el valor de la pend iente m
calculado por m edio de la fórm ula:
m 
y1  y 2
x1  x 2
con
x1  x 2
resulta siem pre constante.
G eom étricam ente, una recta queda perfectam ente
determ inada por uno de sus puntos y su d irección.
A naliticam ente, la ecuación de una recta puede
estar perfectam ente determ inada si se co nocen
las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo
de inclinación (y, por tanto, su pendien te).
U na recta que pasa por el punto
P1  x1 , y1 
y tiene una pendiente m tiene
por ecuación
y  y1  m  x  x1 
U na recta que pasa por el punto
P1  x1 , y1 
y tiene una pendiente m tiene
por ecuación
y  y1  m  x  x1 
U na recta que pasa por el punto P1  x1 , y1  y tien e una
pendiente m tiene por ecuación y  y1  m  x  x1 
D em ostración: D e acuerdo con el m étodo d ado en el artículo 23,
sea P  x , y  un punto cualquiera de la recta, d iferente del punto
dado P1 ( x1 , y1 ). P or la definición de recta que acabam os de dar,
las coordenada s del punto
P  x , y  satisfacen la ecuación
m  tan  
y  y1
x  x1
de la cual, quitando los
denom inadores obtenem os
inm ediatam ente la ecuación
y  y 1  m  x  x1 
R ecip ro cam en te, si las co o rd en ad as d e cu alq u ier o tro
p u n to P2 ( x 2 , y 2 ) satisfacen y  y1  m  x  x1  ten em o s
m 
y 2  y1
x 2  x1
q u e es la ex p resió n an alítica
d e la d efin ició n d e la recta,
ap licad a a lo s d o s p u n to s
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ). P o r
tan to , P2 ( x 2 , y 2 ) está so b re
la recta.
E sto co m p leta la d em o stració n .
U na recta que pasa por el punto P1  x1 , y1  y tien e una
pendiente m tiene por ecuación y  y1  m  x  x1 
La ecuación de una línea recta está
totalm ente determ inada si se conoce
su inclinación ó la pendiente m y un
punto de esta línea P1  x1 , y1  .
NOTAS.
I . C om o la ecuación y  y1  m  x  x1  está
dada en función de un punto y la pendien te,
se llam a, a veces, de la form a de punto y
pendiente.
2. U na recta que coincide o es paralela a1 eje Y
no tiene pendiente (A rt. 8 ) .
P or tanto, la ecuacion y  y1  m  x  x1  no
puede representar a una recta de tal nat uraleza,
ni nuestra definicion de recta puede a plicarse
a ella. P ara este caso. se ha dem ostrado en el
artículo 18 que la ecuaci6n de la recta es de la
form a x  k , en donde k es cualquier num ero re al.
E n co n trar la ecu ació n d e u n a lín ea recta p asa
p o r el p u n to P1   3,  2  y tien e u n án g u lo d e
in clin ació n d e 6 0 g rad o s.
E n co n trar la ecu ació n d e
u n a lín ea recta p asa p o r
el p u n to P1   3,  2  y
tien e u n án g u lo d e
in clin ació n d e 6 0 g rad o s.
60
  3,  2 
E ncontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
P1   3,  2  y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.
S olución: La pendiente de la línea recta es
m  tan 60  
3
P or tanto, usando el teorem a
U na recta que pasa por el punto P1  x1 , y1  y tien e una
pendiente m tiene por ecuación y  y1  m  x  x1 
E ncontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto
P1   3,  2  y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.
ten em o s
y   2  
3  x    3  
ó sea
y2
3x  3 3
q u e fin alm en te escrib im o s co m o
3x  y  3 3  2  0
PUNTO Y PENDIENTE
3
3
 x  x  21
2
 x  x  21
2
U na recta que pasa por el punto
P1  x1 , y1 
y tiene una pendiente m tiene
por ecuación
y  y1  m  x  x1 
PUNTO Y PENDIENTE
U na recta es o no paralela a1 eje Y .
S i es p aralela a1 eje Y
su ecu ació n es d e la
fo rm a
x  k
d o n d e k es la d istan cia
al eje Y .
2
PUNTO Y PENDIENTE
U na recta es o no paralela a1 eje Y .
S i la línea recta no es paralela al eje Y ,
su pendiente está definida y su
ecuación está dada por el teorem a:
U na recta que pasa por el punto P1  x1 , y1  y tien e una
pendiente m tiene por ecuación y  y1  m  x  x1 
PUNTO Y PENDIENTE
C om o todas las rectas caen bajo una de e stas
dos clasificaciones, cualquiera otra form a de
la ecuación de una línea recta debe redu cirse,
necesariam ente , a una de estas dos form as.
P ara algunos tipos de problem as, sin em bargo,
son m ás convenientes otras form as; a
continuación consideram os algunas de ellas.
La recta cuya pendiente es m
y cuya ordenada al origen
es b , tiene por ecuación
y  mx  b
PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN
y  mx  b
La recta cuya pendiente es m y cuya orden ada en el origen
Desarrollando
la ecuación y definiendo el parámetro b
es b , tiene por ecuación y  m x  b
denominada ordenada al origen, se tiene:
S ab em o s q u e u n a recta q u e p asa p o r el p u n to P1  x1 , y1 
y tien e u n a p en d ien te m tien e p o r ecu ac ió n
y  y 1  m  x  x1 
E n este caso la recta tien e p en d ien te m y p asa p o r el
p u n to
 0, b  , ya q u e co rta al eje
Y (q u e es x  0 ) a
u n a d istan cia b d el o rig en .
P o r tan to , la ecu ació n es
y  b  m  x  0
ó
y  mx  b
q u e se red u ce a la q u e estam o s b u scan d o .
Desarrollando
ecuación es
y definiendo
el parámetro
b origen
La recta cuyalapendiente
m y cuya orden
ada en el
denominada ordenada al origen, se tiene:
es b , tiene por ecuación y  m x  b
NOTA.
U n a recta p aralela a1 eje Y n o tien e o rd e n ad a
en el o rig en .
E n este caso n o p u ed e u sarse la fo rm a d e la
ecu ació n q u e acab am o s d e o b ten er. C o m o y a
d ijim o s la ecu ació n d e u n a recta tal es
x  k
G eom étricam ente, una recta queda
perfectam ente determ inada por dos
cualesquiera de sus puntos.
A naliticam ente , la ecuación de una
recta tam bién queda perfectam ente
determ inada conociendo las
coordenadas de dos cualesquiera de
sus puntos .
La recta que pasa por dos puntos dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene por ecuación :
y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
x 
siem pre que x1  x 2
x1 
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene
CARTESIANA
y  y
por ecuación : y  y1 
1
2
x1  x 2
 x  x1 
siem pre que x1  x 2
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene
CARTESIANA
y  y
por ecuación : y  y1 
1
x1  x 2
C om o se conocen
dos puntos, la
pendiente de la
recta es
m 
y1  y 2
x1  x 2
2
x 
x1 
siem pre que x1  x 2
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene
CARTESIANA
y  y
por ecuación : y  y1 
1
2
x1  x 2
x 
x1 
siem pre que x1  x 2
P or tanto, con esta pendiente y el punto P1 ( x1 , y1 ) el problem a
se reduce a hallar la ecuación de una re cta que pasa por un
punto y tiene una pendiente dada.
E n consecuencia, sustituyendo este valor de la pendiente en la
ecuación y  y1  m  x  x1  , obtenem os la form a
y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
 x  x1 
tal com o se queria dem ostrar .
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene
CARTESIANA
y  y
por ecuación : y  y1 
1
2
x1  x 2
x 
x1 
siem pre que x1  x 2
N O T A 1.
S i x1  x 2 , la ecuación y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
x 
no puede usarse.
E n este caso, la recta es paralela a1 eje Y ,
y su ecuación es x  x1
x1 
La recta que pasa por dos puntos dados P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene
CARTESIANA
y  y
por ecuación : y  y1 
1
2
x1  x 2
x 
x1 
siem pre que x1  x 2
N O T A 2.
S i en la ecu ació n y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
x 
x1  m u ltip licam o s
p o r x1  x 2 o b ten em o s d esp u es d e d esarro llar
x1 y 2  x 2 y 1  y 2 x  x 2 y  y 1 x  x 1 y  0
q u e p u ed e escrib irse co m o el d eterm in an t e
x
y
1
x1
y1
1  0
x2
y2
1
La recta cuyas intersecciones con los
ejes X y Y
son a
 0
yb
 0
tiene por ecuación :
x
a

y
b
1
respectivam ente,
La recta cuyas intersecciones con los ej es X y Y son a
yb
 0
respectivam ente, tiene por ecuación :
x
a

y
b
 0
1
La recta que pasa por dos puntos dados
P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) tiene por ecuación :
y  y1 
y1  y 2
x1  x 2
x 
siem pre que x1  x 2
x1 
La recta cuyas intersecciones con los ejes X y Y son a
yb
 0
respectivam ente, tiene por ecuación :
x
a

y
 0
1
b
L a recta que tenem os pasa por dos puntos ,
los puntos
 a, 0 
y
 0, b  ; por lo
tanto,
usando el teorem a anterior tenem os que
la ecuación de la recta es
y0
0b
a0
x  a
La recta cuyas intersecciones con los ej es X y Y son a
yb
 0
respectivam ente, tiene por ecuación :
a
y0
0b
a0
x  a
H acien d o el álg eb ra, ten em o s
y  
b
a
y  
b
x  a 
xb
a
b
x y b
a
x
a

x
y
b
1

b
a
x
b
a
a

y
b
 0
1
Dividiendo esta última expresión por el
producto ab
La form a
x
a

y
1
b
es conocida tam bién com o
la form a reducida
o abscisa y ordenada al origen
NOTAS.
1 . S i a  0, en to n ces tam b ién b  0,
y la fo rm a sim étrica n o p u ed e u sarse.
E n este caso , so lam en te se co n o ce u n
p u n to , el o rig en , y n o es su ficien te
p ara d eterm in ar u n a recta.
2. C om o una recta queda perfectam ente
determ inada por dos cualesquiera de
sus puntos, la m anera m ás conveniente
de trazar una recta a partir de su ecuac ion
es deterrninar las dos intersecciones co n
los ejes. S i la recta pasa por el origen,
basta determ inar otro punto cuyas
coordenadas satisfagan la ecuación.
E n los artículos precedentes hem os visto que la
ecuación de una recta cualquiera , en el plano
coordenado, es de la form a lineal
Ax  By  C  0
en donde ya sea A o B debe ser diferente d e
cero y C puede o no se r igual a cero.
La ecuación A x  B y  C  0 se llam a la form a
general de la ecuación de una rect a.
A hora considerarem os el problem a inverso ,
a saber, la ecuac ión linea l A x  B y  C  0,
¿representa siem pre una línea rect a ?
A hora considerarem os el problem a inverso , a saber,
la ecuación lineal A x  B y  C  0, ¿representa
siem pre una línea recta?
P ara contestar a esta pregunta exam inarem os las
dos form as posibles de la ecuación A x  B y  C  0
con respecto a1 coeficiente de y , es dec ir , las
form as para B  0 y B  0.
C A S O I. B  0.
S i B  0 , entonces A  0, y la ecuación
Ax  By  C  0
se reduce a la form a
x
C
A
es decir, de la form a x  k , que anteriorm ente se dem ostró
que es la ecuación de una recta paralela a1 eje Y .
C A S O II. B  0.
S i B  0, podem os dividir la ecuación
Ax  By  C  0
por B , y por transposición se reduce a la form a
y 
A
B
x
C
B
es decir, en la form a y  m x  b y se trata entonc es
de la ecuación de una recta cuya pendie nte es
m 
A
B
y cuya ordenada al origen es b  
C
B
.
U n a ecu ació n lin eal en las variab les
x e y rep resen ta u n a lín ea recta y,
recip ro cam en te, to d a lín ea recta
está rep resen tad a p o r u n a ecu ació n
lin eal en las variab les x e y .
Ax  By  C  0
Ax  By  C  0
y  
A
B
x
C
B
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
Ax  By  C  0
(1)
A'x  B 'y  C '  0
(2)
Ax  By  C  0
(1)
A'x  B 'y  C '  0
(2)
a) ¿C uáles son las condiciones para
que dos rectas sean paralelas?
Ax  By  C  0
(1)
A'x  B 'y  C '  0
(2)
Ax  By  C  0
(1)
A'x  B 'y  C '  0
(2)
Ax  By  C  0
(1 )
A'x  B ' y  C '  0
(2 )
b ) ¿C u áles so n las co n d icio n es p ara q u e d o s rectas sean p erp en d icu lares?
Ax  By  C  0
(1 )
A'x  B 'y  C '  0
(2 )
b ) ¿C u áles so n las co n d icio n es p ara q u e d o s rectas co in cid an ?
Ax  By  C  0
(1 )
A'x  B 'y  C '  0
(2 )
b ) ¿C u áles so n las co n d icio n es p ara q u e d o s rectas co in cid an ?
Ax  By  C  0
(1 )
A'x  B 'y  C '  0
(2 )
b ) ¿C u áles so n las co n d icio n es p ara q u e d o s rectas co in cid an ?
Ax  By  C  0
(1 )
A'x  B 'y  C '  0
(2 )
b ) ¿C u áles so n las co n d icio n es p ara q u e
d o s rectas se co rten en u n so lo p u n to ?
E ncontrar la ecuación de una línea recta
que tiene com o abscisa al origen  2 y
una inclinacion de 150 grados.
E n un laboratorio de análisis clínico
se m ide que a las 9 de la m añana hay
5,600 bacterias en un cultivo. S i a la
hora de cerrar el laboratorio a las 5
de la tarde había 17,800 bacterias,
¿C uáles la taza o r azón d e crecim ient o
de las bacterias, sup oni endo q ue dicho
crec im iento es lineal?
E l m ovim iento rectilinio uniform e
T enem os entonces que la recta l
pasa por el punto de coordenadas
x1  p cos 
y1  p sin 
(2)
y tiene pendiente
m   cot   
cos 
sin 
(3)
U na recta que pasa por el punto
P1  x1 , y1 
y tiene una pendiente m tiene
por ecuación
y  y1  m  x  x1 
C om o
y  y 1  m  x  x1 
x1  p cos 
m   cot   
y1  p sin 
cos 
(2)
(3)
sin 
la ecuación de la recta l es
y  p sin   
cos 
sin 
x 
p cos  
y  p sin   
cos 
sin 
x 
p cos  
E ncontrar la ecuación de una línea recta en
la form al norm al, siendo  = 60  y p  6.
E ncontrar la ecuación de una línea recta en
la form al norm al, siendo  = 60  y p  6.
La form a norm al de la línea recta es
x cos   y sin   p  0
A sí, que en este caso tenem os,
x cos 60   y sin 60   6  0
3
sin 6 0  
2
2
3
co s 6 0  
1
2
tan 6 0  
60
3
1
E n co n trar la ecu ació n d e u n a lín ea recta en
la fo rm al n o rm al, sien d o  = 6 0  y p  6 .
E n co n tram o s q u e la fo rm a n o rm al d e la re cta es
x co s 6 0   y sin 6 0   6  0
P ero co s 6 0  
1
2
así q u e fin alm en te
1
2
x
3
2
y60
y
sin 6 0  
3
2
1
2
6
60
x
3
2
y60
Ax  By  C  0
(1 )
x co s   y sin   p  0
(2 )
co s   kA
(3 )
sin   kB
(4 )
 p  kC
(5 )
k 
1

A  B
2
, A  B  0
2
2
2
(6 )
Ax  By  C  0
(1 )
x co s   y sin   p  0
(2 )
co s   kA
(3 )
sin   kB
(4 )
 p  kC
(5 )
k 
1

A  B
2
, A  B
2
2
2
 0
(6 )
Ax  By  C  0
(1)
k 
1

A B
2
,
2
A B 0
2
2
(6)
 p  kC
k 
(5)
1

A  B
2
, A  B
2
2
2
 0
(6)
Ax  By  C  0
(1 )
x co s   y sin   p  0
(2 )
 p  kC
(5 )
k 
1

A  B
2
, A  B
2
2
2
 0
(6 )
sin   kB
(4)
 p  kC
(5 )
k 
1

A  B
2
, A  B
2
2
2
 0
(6)
Ax  By  C  0
(1)
x cos   y sin   p  0
(2)
cos   kA
(3 )
sin   kB
(4)
S ea l la recta d ad a y P1  x1 , y1  el p u n to .
D esig n arem o s co m o d la d istan cia d el
p u n to P1 ( x1 , y1 ) a la recta l .
P1 ( x1 , y1 )
l
d
l
P1 ( x1 , y1 )
d
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo
con el teorem a 8 del art ículo 32.
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A  B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo con el teorem a 8 del ar tículo 32.
S i la recta d ad a n o p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están en lad o s o p u esto s d e la recta.
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están d el m ism o lad o d e la recta.
S i la recta d ad a p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está arrib a d e la recta
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está ab ajo d e la recta
O  l  P1 ( x1 , y1 )
O  P1 ( x1 , y1 )  l
l  O  P1 ( x1 , y1 )
l  P1 ( x1 , y1 )  O
P1 ( x1 , y1 )  O  l
P1 ( x1 , y1 )  l  O
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
A B   p  p '  0 ya que p '  p
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ' ,
ten em o s
p '  x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
A B   p  p '  0 ya que p '  p
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ',
ten em o s
p '  x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
AB   p  p '  0
La ecu ació n d e la recta l ' es en to n ces
x co s       y sin    

p' 0
q u e co n las relacio n es trig o n o m étricas
nos da
 x co s   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
 x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ',
ten em o s
p '  x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
A B   p  p '  0, ya que p '  p
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ',
ten em o s
p '  x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
AB   p  p '  0
La ecu ació n d e la recta l ' es en to n ces
x co s       y sin       p '  0
q u e co n las relacio n es trig o n o m étricas
nos da
 x co s   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
 x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ',
ten em o s
p '   x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
A B   p  p '  0 ya que p '  p
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
La ecuación de la recta l ' es entonces
x cos   y sin   p '  0
C o m o P1 ( x1 , y1 ) está so b re la lín ea recta l ',
ten em o s
p '  x1 co s   y1 sin 
p ero ya sab íam o s q u e
AB   p  p '
así q u e
A B  x1 co s   y1 sin   p
y fin alm en te
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
OA  p
OB  p '
AB  O A  O B
(3)
(4)
E n resu m en , vem o s q u e en to d o s lo s
caso s p o sib les la d istan cia d el p u n to
P1 ( x1 , y1 ) a la recta l esta d ad a p o r
d  A B  x1 co s   y1 sin   p
P1 ( x1 , y1 )
l
d
C om parando la ecuación norm al de la línea recta l
x cos   y sin   p  0
(1)
con la fórm ula
d  x1 cos   y1 sin   p
(11)
vem os que la distancia buscada puede obtenerse
sim plem ente sustituye ndo las coordenadas de P1
en el prim er m iem bro de la form a norm al de la
ecuación de l .
d  x1 co s   y1 sin   p
(1 1 )
l
P1 ( x1 , y1 )
d
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo
con el teorem a 8 del art ículo 32.
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A  B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo con el teorem a 8 del ar tículo 32.
S i la recta d ad a n o p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están en lad o s o p u esto s d e la recta.
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están d el m ism o lad o d e la recta.
S i la recta d ad a p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está arrib a d e la recta
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está ab ajo d e la recta
S istem a de ecuaciones lineal hom ogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Ax  By  C  0
A x1  B y1  C  0
A x2  B y2  C  0
E n la ecuación ( 1 ), C puede ser cero,
pero A y B no pueden ser am bas cero.
S istem a de ecuaciones lineal hom ogéneo
de tres ecuaciones con tres incógnitas:
Ax  By  C  0
A x1  B y1  C  0
A x2  B y2  C  0
D el estudio del Á lgebra Lineal se sabe q ue para
que el sistem a de ecuaciones tenga una solución
distinta de cero, es necesario y suficiente, que el
determ inante del sistem a se anule.
Viernes 23
de enero
del 2009
¿C uál es la distancia del punto
  1, 3 
a la recta x  4 y  5  0 ?
¿D ónde se intersectan las dos rectas
x y60
y
2x  3y  4  0?
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo
con el teorem a 8 del art ículo 32.
T eorem a 10. La distancia dirigida d de la recta dada
Ax  By  C  0
al punto dado P1 ( x1 , y1 ) se obtiene por la fórm ula
d 
A x1  B y 1  C

A  B
2
2
en donde el signo del radical se elige d e acuerdo con el teorem a 8 del ar tículo 32.
S i la recta d ad a n o p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están en lad o s o p u esto s d e la recta.
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) y el
o rig en están d el m ism o lad o d e la recta.
S i la recta d ad a p asa p o r el o rig en :
 d es p o sitiva si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está arrib a d e la recta
 d es n eg ativa si el p u n to P1 ( x1 , y1 ) está ab ajo d e la recta
I. Sistemas de coordenadas
II.Gráfica de una ecuación y lugares
geométricos
III.La línea recta
IV.Ecuación de la circunferencia
V.Transformación de coordenadas
VI.La parábola
VII.La elipse
VIII.La hipérbola














Introducción
Definición de la línea recta
Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada
Otras formas de la ecuación de la recta
Forma general de la ecuación de una recta
Discusión de la forma general
Posiciones relativas de dos rectas
Forma normal de la ecuación de la recta
Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma
normal
Aplicaciones de la forma normal
Área de un triángulo
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante
Familias de líneas rectas
Resumen de los resultados del capítulo
 L a ecu ació n d e u n a recta vertical, es d ecir,
p aralela al eje Y es
x  k
d o n d e k es u n n ú m ero real.
 L a ecu ació n d e u n a recta h o rizo n tal, es d ecir,
p aralela al eje X es
y  k
d o n d e k es u n n ú m ero real.
La ecuación de una línea recta (exceptua ndo
las paralelas a los ejes) dados
 La pendiente m y un punto P1 ( x1 , y1 ) es y  y1  m  x  x1 
 D os puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ) es y  y1 
y 2  y1
x 2  x1
 La pendiente m y la ordenada al origen b es
 x  x1 
y  mx  b
 La intersección con el eje X en a , la int ersección con el eje Y en b , es
x
a

y
1
(excepto las rectas que pa san por el origen)
b
 la norm al
p y 
es x cos   y sin   p  0
Viernes 23
de enero
del 2009
E n el artículo 29 vim os que una recta y su
ecuación quedan determ inadas perfectam en te
por dos condiciones independientes.
P or tanto, una recta que satisface solam ente
una condición no es una recta única, hay
infinidad de rectas que la cum plen, cada
una de las cuales tiene la propiedad com ú n
asociada con esa única condición.
U na recta que satisface solam ente una co ndición no es una recta
única, hay infinidad de rectas que la cu m plen, cada una de las
cuales tiene la propiedad com ún asociada con esa única condición.
D efinición.
La totalidad de las rectas que
satisfacen una única condición
geom étrica se llam a fam ilia
o haz de rectas.
P ara entender m ejor este nuevo concepto,
considerem os prim ero todas las rectas qu e
tienen pendiente 5.
C onsiderem os todas las rectas que tienen pendiente 5.
La totalidad de estas rectas form a una fam ilia
de rectas paralelas, teniendo todas la p ropiedad
com ún que su pendiente es igual a 5.
C onsiderem os todas las rectas que tienen pendiente 5.
A naliticam ente, esta fam ilia de rectas p uede
representarse por la ecuacion
y  5x  k
en donde k es una constante arbitraria qu e puede
tom ar todos los valores reales.
C onsiderem os todas las rectas que tienen pendiente 5.
P odem os obtener la ecuación de
cualquier recta de la fam ilia asignando
sim plem ente un valor particular a k
en la ecuación
y  5x  k
C onsiderem os todas las rectas que tienen pendiente 5.
La ecuación de estas rectas es y  5 x  k .
R ecordando que la ecuación de la recta e n
funcion de la pendiente y la ordenada en el
origen es y  m x  b este valor de k
representa el segm ento que la recta
determ ina sobre el eje Y .
L as rectas d e la fam ilia
y  5x  k
p ara lo s valo res d e k ,
k  2, k  0 y k   1
están rep resen tad as
en la fig u ra.
C om o otro ejem plo, considerem os
todas las rectas que pasan por el
punto (2, 3 )
C onsiderem os todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
S egun la ecuación de la recta que pasa p or
un punto y tiene una pendiente dada
y  y 1  m  x  x1 
esta fam ilia de rectas puede representar se
analiticam ente, por la ecuación
y  3  k  x  2
en donde k , la pendiente, es una constante arbitraria
a la que puede asignarse cualquier valor real.
C onsiderem os todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )
¡O jo co n las rectas verticales!
C o m o k n o está d efin id a p ara u n a
recta p aralela a1 eje Y , la ecu acio n
y  3  k  x  2
n o in clu ye a la recta x  2 q u e
tam b ién p asa p o r el p u n to (2 , 3 ).
C onsiderem os todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 ).
La ecuacion y  3  k  x  2  es la de la fam ilia de re ctas.
La fam ilia de rectas
y  3  k  x  2
se llam a
haz de rectas de vértice ( 2 , 3).
E n la figura se han
construido tres rectas
de la fam ilia
y  3  k  x  2
correspondientes a
k  0, k  1 y k   1.
V em os , considerando las fam ilias anteriores,
y  5x  k
y
y  3  k  x  2
que una recta de una fam ilia puede obten erse
asignando un valor particular a la constante
arbitraria k . T eniendo en cuenta su im por tancia,
se l e da a k un nom bre especial ; se l e ll am a
parám etro de la f am i lia .
E n co n trar la fam ilia d e lín eas rectas
q u e p asa p o r la in tersecció n d e las
rectas
2x  3y  2  0
5x  y  1  0
La intersección de las rectas es
2x  3y  2  0
5x  y  1  0

2x  3y  2  0
15 x  3 y  3  0

17 x  1  0
x
1
17
5
12
 1 
y  5 x  1  5  
1 
 1
17
17
 17 
Las rectas
2x  3y  2  0
5x  y  1  0
se intersectan en el punto
12 
 1
,


 17 17 
Animación
La fam ilia de todas las rectas que
pasan por la intersección de las rectas
2x  3y  2  0
5x  y  1  0
con la única excepción de la recta
5x  y  1  0
es
2 x  3 y  2  k  5 x  y  1  0
Descargar

Capítulo III