I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
•En particular, hay una sección dedicada a la
Geometría Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
•En esa sección hay problemas del Lehmann. En
particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
 E s el estu d io d e la g eo m etría
u san d o lo s p rin cip io s d el
álg eb ra y viceversa.
 E s la u n ió n d e la g eo m etría
y el álg eb ra
Ecuaciones
en dos
variables
Figuras
geométricas
en el plano
Ordenada
 x, y 
y
Abscisa
x
Dada una
ecuación,
interpretarla
geométricamente
Dada un figura
geométrica,
determinar su
ecuación
D efin ició n 1 : E l co n ju n to d e lo s p u n to s,
y so lam en te d e aq u ello s p u n to s, cu yas
co o rd en ad as s atisfag an u n a ecu ació n
f
 x, y  =0
se llam a g ráfica d e la e cu ació n o , b ien ,
su lu g ar g eo m étr i co .
D efinición 2: C ualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
f  x, y  =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
E l conjunto solución de la ecuación,
form ado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
núm eros reales.
Intersección
con los ejes
Cálculo de
coordenadas
Simetría
Extensión
de la curva
Construcción
de la curva
Asíntotas
C o n sid erem o s ah o ra el seg u n d o
p ro b lem a fu n d am en tal d e la
G eo m etría A n alítica:
D ad a u n a fig u ra g eo m étrica,
o la co n d ició n q u e d eb en cu m p lir
lo s p u n to s d e la m ism a, d eterm in ar
su ecu ació n .
U n a fig u ra g eo m étrica , tal co m o u n a cu rva ,
g en eralm en te se d a p o r su d efin ició n .
P o r d efin ició n d e u n o b jeto en ten d em o s u n a
d escrip ció n d e ese o b jeto , d e tal n atu ra leza
q u e sea p o sib le id en tificarlo d e u n a m an era
d efin id a en tre to d o s lo s d em ás o b jeto s d e su
clase.
P or definición de un objeto entendem os u na descripción de
ese objeto, de tal naturaleza que sea po sible identificarlo de
una m anera definida entre todos los dem ás objetos de su clase.
D ebem os observar cuidadosam ente lo que im plica
este enunciado: expresa una condición ne cesaria y
suficiente para la existencia del objeto definido.
A sí , co n sid erem o s q u e estam o s d efin ien d o
u n a cu rva p lan a d el tip o C p o r m ed io d e
u n a p ro p ied ad P , q u e ú n icam en te p o see C .
E n to n ces, en tre to d as las cu rvas p lan as,
u n a cu rva es d el tip o C si y so lam en te si
p o see la p ro p ied ad P .
C om o un ejem plo especifico, considerem os una
curva plana m uy conocida: la circunferen cia.
D efinim os una circunferencia com o
una curva plana que posee la
propiedad única P , que todos
sus puntos están a igual distancia
de un punto fijo en su plano.
D efin im o s u n a circu n feren cia co m o u n a cu rva p lan a
q u e p o see la p ro p ied ad ú n ica P , q u e to d o s su s p u n to s
están a ig u al d istan cia d e u n p u n to fijo en su p lan o .
E sto significa que toda circunferencia
tiene la propiedad P , y reciprocam ente,
toda curva plana que tenga la
propiedad P es una circunferencia.
P ara una curva , dar la condición que de ben
cum plir sus puntos es dar una ley a la c ual
deben obedecer todos los puntos de la cu rva.
E sto significa que todo punto de la curv a
debe satisfacer la ley partic ular de la curva.
D e acu erd o co n esto se d efin e
frecu en tem en te u n a cu rva co m o
el lu g ar g eo m étrico d escrito p o r
u n p u n to q u e se m u eve sig u ien d o
u n a ley esp ecífica.
D e acuerdo con esto se define frecuentem ente una
curva com o el lugar geom étrico descrito por un
punto que se m ueve siguiendo una ley esp ecífica.
A sí, una circunferencia puede definirse com o
el lugar geom étrico de un punto que se m ueve
en un plano de tal m anera que su distanc ia a
un punto fijo de ese plano es constante.
U n lugar geom étrico no debe satisfacer n ecesariam ente
una sola condición; puede satisfacer dos ó m ás
condiciones. P odem os tener una curva que sea el lugar
geom étrico de un punto que se m ueve de t al m anera
que:
1 ) P asa por un punto dado.
2) S e conserva siem pre a una distancia c onstante de una
recta dada.
D efin ició n :
U n a cu rva es el lu g ar g eo m étrico d e
to d o s aq u ello s p u n to s, y so lam en te d e
aq u ello s p u n to s, q u e satisfacen u n a o
m ás co n d icio n es g eo m étricas d ad as.
i) S e debe observar que esta definición im plica
que la condición o condiciones dadas sea n
necesarias y suficientes para la existen cia de
la curva.
ii) E sta definición debe tam bién com para rse
con la definición 1 del artículo 14:
D efin ició n :
D efinición 1: E l conjunto de los
U n a cu rva es el lu g ar
puntos, y solam ente de aquellos
g eo m étrico d e to d o s
aq u ello s p u n to s, y
puntos, cuyas coordenadas
satisfagan una ecuación
so lam en te d e aq u ello s
f  x, y  =0
p u n to s, q u e satisfacen
se llam a gráfica de la ecuación
u n a o m ás co n d icio n es
o su lugar geom étrico.
g eo m étricas d ad as.
H asta ah o ra h em o s estu d iad o
el p ro b lem a d esd e u n p u n to
d e vista p u ram en te g eo m étrico .
C o n sid erarem o s ah o ra la
in terp retació n an alítica.
E stu d iarem o s ah o ra el p ro b lem a d e la
d eterm in ació n d e la ecu ació n d e u n
lu g ar g eo m etrico en el caso q u e la
in terp retació n an alítica d e la co n d ició n
o co n d icio n es g eo m etricas d efin en el
lu g ar g eo m étrico .
E l m étodo es el indicado claram ente
por las dos definiciones previas
siguientes:
D efin ició n :
D efinición 1: E l conjunto de los
U n a cu rva es el lu g ar
puntos, y solam ente de aquellos
g eo m étrico d e to d o s
aq u ello s p u n to s, y
puntos, cuyas coordenadas
satisfagan una ecuación
so lam en te d e aq u ello s
f  x, y  =0
p u n to s, q u e satisfacen
se llam a gráfica de la ecuación
u n a o m ás co n d icio n es
o su lugar geom étrico.
g eo m étricas d ad as.
C o m b in an d o estas d o s d efin icio n es
ten em o s u n a n u eva:
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una
ecuación de la forma
f  x, y   0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes
de x e y son todas coordenadas de aquellos puntos,
y solamente de aquellos puntos, que satisfacen la
condición o condiciones geométricas dadas que
definen el lugar geométrico.
N ó tese q u e esta d efin ició n ex p resa
u n a co n d ició n n ecesaria y su ficien te
p ara q u e f
 x, y  
0 sea la ecu ació n
d e u n lu g ar g eo m étrico .
Definición:
Se llama ecuación de un lugar geométrico plano a una ecuación de la forma
f  x, y   0
cuyas soluciones reales para valores correspondientes de x e y son todas
coordenadas de aquellos puntos, y solamente de aquellos puntos, que
satisfacen la condición o condiciones geométricas dadas que definen el
lugar geométrico.
D e acuerdo con esto, el procedim iento
para obtener la ecuación de un lugar
geom étrico es esencialm ente com o sigue :
1 . S e su p o n e q u e el p u n to P ,
d e co o rd en ad as ( x , y ),
es u n p u n to cu alq u iera q u e satisface la
co n d ició n ó co n d icio n es d ad as, y, p o r ta n to ,
u n p u n to d el lu g ar g eo m étrico .
2 . S e ex p resa, an alíticam en te,
la co n d ició n o co n d icio n es
g eo m étricas d ad as,
p o r m ed io d e u n a ecu ació n o ecu acio n es
en las co o rd en ad as variab les x e y .
3 . S e sim p lifica, si h ace falta,
la ecu ació n o b ten id a en el p aso
an terio r  2  d e tal m an era q u e
to m e la fo rm a
f ( x, y )  0
4. S e com prueba el reciproco:
S ean ( x1 , y1 ) las coordenadas de cualquier p unto que satisfacen
f ( x , y )  0, de tal m anera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es
verdadera.
S i de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geom étricas dadas,
cuando se aplica al punto  x1 , y1  , entonces f  x , y   0 es la
ecuación buscada del lugar geom étrico.
N ó tese q u e en el p aso 1 al to m ar P
co m o u n p u n to cu alq u iera d el lu g ar
g eo m étrico , estam o s co n sid eran d o
to d o s lo s p u n to s d e ese lu g ar g eo m étrico .
E n la práctica generalm ente se om ite
el paso 4, ya que la repetición del
trabajo del paso 3 al paso 2 es,
en casi todos los casos, inm ediata.
1. S e supone que el punto P , de coordenad as ( x , y ), es un punto cualquiera
que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del
lugar geom étrico.
2. S e expresa, analíticam ente, la c ondición o condiciones geom étricas dadas ,
por m edio de una ecuación o ecuaciones e n las coordenadas variables x e y .
3. S e sim plifica, si hace falta,la ecuac ión obtenida en el paso anterior  2  de
tal m ane ra que tom e la form a f ( x , y )  0
4. S e com prueba el reciproco: S ean ( x1 , y1 ) las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen f ( x , y )  0, de tal m anera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es
verdadera. S i de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la exp resión
analítica de la condición o condiciones geom étricas dadas, cuando se aplica al
punto
 x1 , y1  , entonces
f  x , y   0 es la ecuación bus cada del lugar geom étr ico.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico
de todos los puntos que están a una distancia
1 del origen.
¿C uál es el lugar geom étrico?
Encuentra la ecuación del lugar geométrico de todos
los puntos que están a una distancia 1 del origen.
y
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
-1.0
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1.0
0.2
0 .4
0.6
0.8
1.0
x
1. S e supone que el punto P , de coordenad as ( x , y ), es un punto cualquiera
que satisface la condición ó condiciones dadas, y, por tanto, un punto del
lugar geom étrico.
2. S e expresa, analíticam ente, la c ondición o condiciones geom étricas dadas ,
por m edio de una ecuación o ecuaciones e n las coordenadas variables x e y .
3. S e sim plifica, si hace falta,la ecuac ión obtenida en el paso anterior  2  de
tal m ane ra que tom e la form a f ( x , y )  0
4. S e com prueba el reciproco: S ean ( x1 , y1 ) las coordenadas de cualquier punto
que satisfacen f ( x , y )  0, de tal m anera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es
verdadera. S i de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la exp resión
analítica de la condición o condiciones geom étricas dadas, cuando se aplica al
punto
 x1 , y1  , entonces
f  x , y   0 es la ecuación bus cada del lugar geom étr ico.
1 . S e su p o n e q u e el p u n to P ,
d e co o rd en ad as ( x , y ),
es u n p u n to cu alq u iera q u e satisface la
co n d ició n ó co n d icio n es d ad as, y, p o r ta n to ,
u n p u n to d el lu g ar g eo m étrico .
2 . S e ex p resa, an alíticam en te,
la co n d ició n o co n d icio n es
g eo m étricas d ad as,
p o r m ed io d e u n a ecu ació n o ecu acio n es
en las co o rd en ad as variab les x e y .
T eorem a 2. La distancia d , entre dos
puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x 2 , y 2 ), está dada
por la form ula: d 
 x2
 x1    y 2  y1 
2
2
2 . S e ex p resa, an alíticam en te,
la co n d ició n o co n d icio n es
g eo m étricas d ad as,
p o r m ed io d e u n a ecu ació n o ecu acio n es
en las co o rd en ad as variab les x e y .
La distancia del punto P  x , y  generico
al origen es
d 
x  y
2
2
E sa distancia siem pre es igual a 1.
P or lo tanto, la ecuación es
x  y
2
2
1
3 . S e sim p lifica, si h ace falta,
la ecu ació n o b ten id a en el p aso
an terio r  2  d e tal m an era q u e
to m e la fo rm a
f ( x, y )  0
x  y
2
2
1
Se sim plifica la ecua ción,
x  y 1 0
2
2
4. S e com prueba el reciproco:
S ean ( x1 , y1 ) las coordenadas de cualquier p unto que satisfacen
f ( x , y )  0, de tal m anera que la ecuación f ( x1 , y1 )  0 es
verdadera.
S i de la ecuación f ( x1 , y1 )  0 se puede deducir la expresión
analítica de la condición o condiciones geom étricas dadas,
cuando se aplica al punto  x1 , y1  , entonces f  x , y   0 es la
ecuación buscada del lugar geom étrico.
S ea P1  x1 , y1  u n p u n to q u e satisface la ecu ació n ;
es d ecir, x  y  1  0 es verd ad era.
2
1
2
1
E n to n ces
x  y 1
2
1
2
1
x  y
2
1
2
1
1
d  P1  x1 , y1  , O   1
q u e es la co n d ició n g eo m étrica.
14. Un punto se mueve de tal manera que su
distancia al punto A  2, 4  es siempre igual a
su distancia al eje Y aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
Ejercicio 14, grupo 8, capítulo II. Página 54
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
Sea P  x, y  un punto genérico y arbitrario
del lugar geométrico.
La especificación del lugar geométrico se
escribe, en términos algebráicos, como
d  P  x, y  , A  2, 4   d  P  x, y  , Y   3
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
Ahora
d  P  x, y  , A  2, 4   d  P  x, y  , Y   3
es
 x  2
2
  y  4  x  3
2
 x  2
2
  y  4
2
 x 3
Elevando al cuadrado:
 x  2
2

 y  4
2

 x  3
2
Desarrollando los cuadrados:
x
2
 4x  4  y
2
 8 y  16  x
2
 6x  9
Pasando todo al primer miembro:
x
2
 4x  4  y
2
 8 y  16  x
2
 6x  9  0
x  4 x  4  y  8 y  16  x  6 x  9  0
2
2
2
Reduciendo términos semejantes:
x  4 x  4  y  8 y  16  x  6 x  9  0
2
2
y  8 y  10 x  11  0
2
2
14. Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto
A  2, 4  es siempre igual a su distancia al eje Y aumentada en 3.
Encuentra la ecuación del lugar geométrico.
La ecuación del lugar geométrico es:
y  8 y  10 x  11  0
2
y  8 y  10 x  11  0
2
y1  8 y1  10 x1  11  0
2
x  4 x1  4  y  8 y1  16  x  6 x1  9  0
2
1
2
1
2
1
x  4 x1  4  y  8 y1  16  x  6 x1  9
 x1  2 
2
1
2
1
2
1
2
  y1  4    x1  3 
 x1  2 
2
2
  y1  4 
2
2
 x1  3
d  P1  x1 , y1  , A  2, 4   d  P1  x1 , y1  , Y   3
y  8 y  10 x  11  0
2
2 3 . D o s d e lo s vértices d e u n trián g u lo so n
lo s p u n to s fijo s A (-1, 3) y B (5,1). H allar la
ecu ació n d el lu g ar g eo m étrico d el tercer
vértice C si se m u eve d e tal m an era q u e la
p en d ien te d el lad o A C es si em p re el d o b le
d e la d el lad o B C .
m
AC
 2 m BC
m
AC
 2 m BC
A   1, 3 
B  5,1 
C
23. D os de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5,1).
H allar la ecuación del lugar geom étrico del tercer vértice C si se m ueve de
tal m anera que la pendiente del lado A C es siem pre el doble de la del lado B C .
S olución:
S ea P ( x , y ) un punto cualquiera del lugar ge om étrico.
La pendiente del lado A P es m 1 
La pendiente del lado B P es m 2 
y3
x 1
y 1
x5
S egun el problem a, P  x , y  debe satisfacer la
condición geom é trica m 1  2 m 2
23. D os de los vértices de un triángulo son los puntos fijos A (-1, 3) y B (5,1).
H allar la ecuación del lugar geom étrico del tercer vértice C si se m ueve de
tal m anera que la pendiente del lado A C es siem pre el doble de la del lado B C .
L a co n d ició n g eo m étrica esp ecificad a,
q u e la p en d ien te d el lad o A P es siem p re
el d o b le d e la d el lad o B P ; es d ecir, q u e
m1  2 m 2
se ex p resa an alíticam en te co m o
y3
x 1
=2
y 1
x5
y 3
x 1
=2
y 1
x 5
S im p lificam o s ah o ra la ex p resió n q u e
ex p resa la co n d ició n an alíticam en te,
y3
x 1
2
y 1
x5
 0
 y  3   x  5   2  y  1  x  1
 x  1  x  5 
 0
xy  3 x  5 y  1 5  2 xy  2 x  2 y  2
 x  1  x  5 
 0
y 3
x 1
=2
y 1
x 5
xy  3 x  5 y  1 5  2 xy  2 x  2 y  2
 x  1  x  5 
 xy  x  7 y  1 7
 x  1  x  5 
 0
 xy  x  7 y  17  0
xy  x  7 y  1 7  0
 0
N o s falta co m p ro b ar ah o ra el recíp ro co , el p u n to 4
d e lo s p aso s q u e h em o s esp ecificad o ; es d ecir,
si u n p u n to P1 ( x1 , y1 ) satisface la ecu ació n
xy  x  7 y  1 7  0
en to n ces satisface la co n d ició n g eo m étri ca,
q u e la p en d ien te d el lad o A P es siem p re el d o b le d e
la d el lad o B P .
C o m o el p u n to P1 ( x1 , y1 ) satisface la ecu ació n
xy  x  7 y  1 7  0
ten em o s
x1 y 1  x 1  7 y 1  1 7  0
D ivid im o s am b o s lad o s d e la ecu ació n ,
x1 y 1  x 1  7 y 1  1 7
 x1  1   x1  5 
 0
x1 y1  x1  7 y1  17
 x1  1   x1  5 
0
Y ahora separam os las fracciones
x1 y1  x1  7 y1  17  x1 y1  x1 y1  3 x1  3 x1  5 y1  5 y1  15  1 5
 x1  1   x1  5 
 x1 y1  3 x1  5 y1  15  2 x1 y1  2 x1  2 y1  2
 x1  1   x1  5 
 ( x1  5)( y1  3)  2( y1  1)( x1  1)
 x1  1   x1  5 
 ( x1  5)( y1  3)  2( y1  1)( x1  1)
 x1  1   x1  5 
0
0
0
0
 ( x1  5)( y1  3)  2 ( y1  1)( x1  1)
 x1


 1   x1  5 
( x1  5)( y1  3)
 x1
 1   x1  5 
y1  3
x1  1
y1  3
x1  1
 2
 2
m1  2 m 2
y1  1
x1  5
y1  1
x1  5
 2
 0
( y1  1)( x1  1)
 x1
 0
 1   x1  5 
 0
xy  x  7 y  17  0
( x - 3)²  ( y - 1)²  ( x / 2)
( x - 3)²  ( y - 1)²  x / 4
2
( x - 3)²  ( y - 1)²  x / 4  0
2
(3 / 4) x ² - 6 x  y ² - 2 y  10  0
(3 / 4) x ² - 6 x  y ² - 2 y  10  0
y
3
(3 / 4) x ² - 6 x  y ² - 2 y  10  0
2
1
0
2
-1
3
4
5
6
7
x
5 . U n p u n to se m u eve d e tal m an era q u e s u
d istan cia al p u n to
 2, 3 
es siem p re ig u al a 5 .
H allar la ecu ació n d e su lu g ar g eo m étric o y
d ar u n a in terp retació n g eo m étrica.
1. S e supone que el punto P , de coordena das ( x , y ) es un
punto cualquiera que satisface la condic ión o condiciones
dadas, y , por tanto, un punto del lu gar geom étri c o.
S ea entonces P  x , y  un pu nto genera l y arbitrario del
lugar geom étrico.
2 . S e ex p resa , an alíticam en te , la co n d ició n o
co n d icio n es g eo m etricas d ad as, p o r m ed io d e
u n a ecu ació n o ecu acio n es en las co o rd e n ad as
variab les x y y .
E n este caso esa co n d ició n se escrib e
d  P  x , y  , A  2, 3   5
q u e se ex p resa co m o
 x  2
2

y
 3
2
 5
3. S e sim plifica , si hace falta , la ec uación
obtenida en el paso 2 de tal m anera que
tom e la form a f  x , y   0
E n este caso
 x  2
 x  2
2
2
  y  3  5
2
  y  3   25
2
x  4 x  4  y  6 y  9  25
2
2
x  4 x  4  y  6 y  9  25  0
2
2
x  y  4 x  6 y  12  0
2
2
4 . S e com prueba el reciproco : S ean
 x1 , y 1 
las coordenadas de
ctialquier punto que satisfacen (1) de t al m anera que la ecuación
es verdadera . S i de (2) se puede deduci r la expresi6n analitica de la
cond ición o condiciones geom etricas dadas, c uando se aplica a1 punto
( x1 , y 1 ) , entonces (I) es la ecuación busc ada del lugar geom étr ic o.
E n este caso
 x1  2    y 1  3   5
2
2
 x1  2    y1  3   25
2
2
x1  4 x1  4  y1  6 y1  9  25
2
2
x1  4 x1  4  y1  6 y1  9  25  0
2
2
x1  y1  4 x1  6 y1  12  0
2
2
C o n stru ir la g ráfica d e la
ecu ació n
x  y  4 x  6 y  12  0
2
2
In terseccio n es co n lo s ejes
E je X :
H acem o s y  0 en la ecu ació n
x  y  4 x  6 y  1 2  0,
2
2
y o b ten em o s
x  4 x  12  0
2
L a facto rizam o s
 x  6 x  2 
0
L as in terseccio n es d el eje X so n 6 y
2
In terseccio n es co n lo s ejes
E je Y :
H acem o s x  0 en la ecu ació n
x  y  4 x  6 y  1 2  0,
2
2
y o b ten em o s
y  6 y  1 2  0,
2
L a reso lvem o s
y 

  6  
6
84
2

  6   4 1    1 2 
2 1 
2
6
4  21
2


6
6  2 21
36  48
2
 3
21
2
L as in terseccio n es d el eje Y so n 3 
21 y 3 
21
S im etrías
N o tien e
E xtensión
E n el eje X :
D espejam os y com o función de x ,
de x  y  4 x  6 y  12  0,
y
2
2
6
36  4  x  4 x  12 
2

6
 4 x  16 x  84
2
2

6
4   x  4 x  21 
2
2
y 3
2
 x  4 x  21
2
6  2  x  4 x  21
2

2
A sín to tas
N o tien e
x  y  4 x  6 y  12  0
2
2
 2, 3 
H allar la ecuación del lugar geom étrico
de un punto que se m ueve de tal m anera
que siem pre equidista de dos puntos
dados A (  1 , 2) y B (4,  1 ).
H allar la ecuación del lugar geom étrico
de un punto que se m ueve de tal m anera
que siem pre equidista de dos puntos
dados A (  1 , 2) y B (4,  1 ).
H allar la ecuación del lugar geom étrico
de un punto que se m ueve de tal m anera
que siem pre equidista de dos puntos
dados A (  1 , 2) y B (4,  1 ).
La ecuación buscada es
5x  3y  6  0
5x  3y  6  0
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje Y es siempre igual a su distancia del punto
 4, 0  . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje Y es siempre igual a su distancia del punto
 4, 0  . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
Sea P ( x, y ) un punto cualquiera del lugar geométrico.
Sea B el pie de la perpendicular de P al eje Y ,
según el problema, P debe satisfacer lacondición
geométrica PB  PA
Un punto se mueve de tal manera que su distancia
del eje Y es siempre igual a su distancia del punto
 4, 0  . Hallar la ecuación de su lugar geométrico.
PB  PA
x 
 x  4
2
y
x   x  4  y
2
2
2
2
x  x  8 x  16  y
2
2
y  8 x  16  0
2
2
y
5
y  8 x  16  0
y  8 x  16  0
2
2
4
3
2
1
0
1 .5
-1
-2
-3
-4
-5
2 .0
2 .5
3 .0
3.5
4 .0
4.5
5 .0
x
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Gráfica de una ecuación y lugares geométricos