Rectas en 3D
Rectas en 3D

a
P0

r0
R

r
P

v
R
Punto por el que sabemos pasa la recta
Punto cualquiera sobre nuestra recta
Resta vectorial indica dirección de recta

P0 ( x 0 , y 0 , z 0 )  r0 

P ( x, y, z )
r 
  

a  r  r0
r 
Cualquier vector paralelo a a indica dirección
Coordenadas de punto en recta cumplen
x0 , y0 , z0
x, y, z
 
r0  a



a  t  v  v  a, b, c
x, y, z  x0  t  a, y 0  t  b, z 0  t  c
Ecuaciones paramétricas de la recta
x  x0  t  a
y  y0  t  b
Números directores: a,b,c
z  z0  t  c
Notaciones alternativas
Vectores unitarios
Componentes en orden
Vector columna

r   x 0  t  a   iˆ   y 0  t  b   ˆj   z 0  t  c   kˆ

r  x0  t  a, y 0  t  b, z 0  t  c
 x0  t  a 

 
r   y0  t  b 
 z  t c 
 0

Rectas en 3D
P0

r0
R

r
P
x  x0  t  a

a
y  y0  t  b

v
z  z0  t  c
R
Consideren la cuestión:
¿Qué relación concreta existe entre los vectores a y v?
Está abierta. La diferencia entre distintas elecciones consiste en que, una vez
escogido al vector v, queda determinado el parámetro escalar t en su rango y en
su escala.
Se conviene en elegir al punto P0 a la izquierda, cuando se observa el primer
octante (vector a de izquierda a derecha).
¿Qué consecuencia tendría el elegir al vector –v en vez de v?
Ejemplo 1 de rectas en 3D
Una recta pasa por el punto (5,1,3) y es paralela al
vector (1,4,-2).
a)Encontrar la ecuación paramétrica de la recta
b)Encontrar
otros puntos de la misma recta


r0  5 ,1, 3
a)
x0  5
v  1, 4 ,  2
y0  1
entonces , las
x 5t
z0  3
ecuaciones
y  1  4t
a 1
b  4
t 1
x  51 6
c  2
y 1 4  5
z  32 1
 6 , 5 ,1
Para
solicitada s son
t  1
x  5 1  4
z  3  2t
y  1  4  3
z  32  5
 4 ,  3 ,5
5
r0   1 
 
3
x0  r0
0
R
Para
b)
 1 
v   4 
 
 2 
y0  r0
1
z0  r0
2
av  v
0
 x0  t  av 
recta ( t )   y0  t  bv 


z0

t

cv


bv  v
1
cv  v
2
Ejemplo 1 de rectas en 3D
La recta en azul pasa por el punto (5,1,3) en magenta y es
paralela al vector de extremo(1,4,-2) en anaranjado.
Otros dos puntos de la misma recta en marrón.
 5 .3 


P 3  recta ( t  0 . 3 )   2 . 3 
 2 .4 


 4 .4 


P 6  recta ( t   0 . 6 )    1 . 4 
 4 .2 


R P0 v0  P3 P6
Ejemplo 1 en Mathcad
Np  256
tMin  100
t  tMin  l
l
l  0  Np  1
tMax  100
tMax  tMin
Np  1
5
r0   1 
 
3
x0  r0
0
 1 
v   4 
 
 2 
y0  r0
1
r( t )  r0  t  v
z0  r0
2
av  v
0
bv  v
1
cv  v
2
 x0  t  av 
recta ( t )   y0  t  bv 


z0

t

cv


R  CreateSpace ( recta  tMin  tMax)
6
r( 1)   5 
 
1
R
 4 
r( 1)   3 
 
 5 
 105 
r( 100 )   401 



197


 95 
r( 100 )   399 


203


Ecuaciones simétricas
Despejando a t de cada una de las ecuaciones
paramétricas
a, b, c  0
x  x0
t 
t 
y  y0
a
x  x0
b

y  y0
a
Ejemplo

b
si
z  z0
.
c
solo
y  y0
b

c
a  0
x  x0  0 
x  x0
t 
z  z0

z  z0
c
R1
x0  1
R1
Continuación de ejemplo a=0
 1
r0   2 
 
 10
 0
v   3 
 
 5
r( t)  r0  t v
 x0  t av 
1
 1
1
 1
recta( t)   y0  t bv  r( 1)   1  r( 1)   5  r( 5)   17  r( 10)   32 


 
 
 
 
z0

t

cv
5
15
35


 
 
 
 60
1
r0   3 
 
 15
 0
v   1 
 
 7
 1
 1
 1
 1
r( 1)   2  r( 1)   4  r( 5)   8  r( 10)   13 
 
 
 
 
 8
 22
 50
 85
 1 
r( 15)   18 
 
 120
R2 R1
 1
r( 15)   47 
 
 85
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Hallar las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones
simétricas de la recta que pasa por los puntos
A(2,4,-3) y B(3,-1,1).
¿En qué punto corta esta recta al plano xy?
El vector diferencia puede ser determinado y
luego empleado


a  v  3 ,  1,1  2 , 4 ,  3
 1,  5 , 4
 a 1
b  5
c  4
Tomando al punto A, las ecuaciones paramétricas
son
x  2  t
y  4  5t
z   3  4t
R
Ejemplo 2 de rectas en 3D
… para las ecuaciones simétricas, usando los números directores hallados
(1,-5,4) y usando al punto A(2,4,-3), al sustituir en
x  x0

y  yo
a

z  z0
b
c
las ecuaciones simétricas resultan
x  2

y  4
 5
1

z  3
4
La recta corta al plano xy cuando z=0. De las ecuaciones anteriores
x  2
1

y  4
5

3
4
Ejemplo 2 de rectas en 3D
Despejando x
x2

1
x 
3
Despejando y
.
5
4
3
y4

3
.
4
y  4  5 
2
38
4
 
4
4

3

11
y  4
.
4
15
4
4

16  15
4

1
.
4
Por lo anterior, las coordenadas del punto cortando al plano xy son
(11/4,1/4,0).
R plano_zero
R plano_zero
15
,
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Demostrar que las rectas con ecuaciones
paramétricas dadas son oblicuas (no se cortan sin
ser paralelas), o sea, no son coplanares…
L1 , t
x 1 t
y   2  3t
z  4t
L2 , s
x  2s
y  3 s
z  3  4 s
Para L1, a1=<1,3,-1>, mientras que para L2, a2=<2,1,4>. ¿Son paralelos?
iˆ
ˆj
1, 3 ,  1  2 ,1, 4  1
3
2
1
kˆ
 1  iˆ
4
3
1
1
4
 ˆj
1
1
2
4
 kˆ
1
3
2
1
 iˆ (12  1)  ˆj ( 4  2 )  kˆ (1  6 )
 13 iˆ  6 ˆj  5 kˆ
Al no resultar el vector cero, los vectores forman un ángulo distinto de cero entre sí
Ejemplo 3 de rectas en 3D
Si las dos rectas se cortaran, habría un punto con las mismas coordenadas
<x,y,z> o, habría valores de t y s cumpliendo
 2  3 t  3  (1  t ) / 2  3  1 / 2  t / 2 La coordenada z no coincide
1  t  2s
 2  3t  3  s
4  t  3  4 s
3 t  t / 2  7 / 2  2  11 / 2
5 t / 2  11 / 2
t  11/5 
4  11 / 5 
3 4
s  8/5
RB  CreateSpace( rectB 0  5)
RA  RB
8
5
16 / 10  s
RA  RB
 9/5
5
1  11 / 5  2 s
RA  CreateSpace( rectA  0  5)
20  11
RA  RB
  3  32 / 5 
 15  32
5
 17 / 5
Conclusiones
Descargar

Rectas y planos en 3D