Vectores
• Un vector es un ente matemático que
posee dirección sentido y magnitud.
• La dirección se refiere a la posición del
vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc.
• El sentido señala la orientación: De arriba
hacia abajo, de Norte a Sur etc.
• La magnitud es tamaño del vector, es el
valor numérico del mismo.
Representación gráfica de vectores
• Gráficamente: Un vector se representa como un
segmento orientado, identificando sus extremos
mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola
letra minúscula en al segmento.
Suma gráfica de vectores
Con más de dos vectores
Componentes de un vector
• Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus
componentes referidas a unos ejes de coordenadas.
• Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas
unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta
su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas
del punto extremo y el punto origen del vector.
Escrito matemáticamente
• Sea  el ángulo que
forma con el eje
horizontal
• Sea ax y ay las
proyecciones en los ejes
x e y respectivamente
Usando trigonometría, recordemos:
Cat. Opuesto
al ángulo
sen  
cat . opuesto
Hipotenusa
cos  
cat . adyacente
Hipotenusa
tan  
Cat. adyacente
al ángulo
sen 
cos 
Luego:
ay
sen   
a
ax
cos   
a
tan  
sen 
cos 

ay
ax
Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente
forma
Donde:

a
ˆi ; ˆj ; kˆ
Representa el módulo del vector “a”
Representan vectores unitarios
para los ejes x,y,z respectivamente
Operaciones con vectores
• Suma de vectores:
• Un vector que posee diferentes
componentes se sumara a otro
respetando estas componentes, es decir
se sumaran los términos que
correspondan al mismo grupo de pares
ordenados.
Sumando dos vectores y sus proyecciones
Producto punto
• El producto o multiplicación de vectores se
puede realizar de la misma forma en que
se resuelven los polinomios, pero
respetando un par de reglas para los
vectores unitarios.
ˆi  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  1
iˆ  ˆj  ˆj  iˆ  0
ˆj  kˆ  kˆ  ˆj  0
ˆi  kˆ  kˆ  iˆ  0
Ejemplo:
• Sean los siguientes
vectores:

A  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ

B  b x iˆ  b y ˆj  b z kˆ


C  A  B
C  ( a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ )  ( b x iˆ  b y ˆj  b z kˆ )
0
0
C  a x  b x  ( iˆ  iˆ )  a x  b y  ( iˆ  ˆj )  a x  b z  ( iˆ  kˆ ) 
0
0
 a y  b x  ( ˆj  iˆ )  a y  b y  ( ˆj  ˆj )  a y  b z  ( ˆj  kˆ ) 
0
0
a z  b x  ( kˆ  iˆ )  a z  b y  ( kˆ  ˆj )  a z  b z  ( kˆ  kˆ )
C  a x  b x  ( iˆ  iˆ )  a y  b y  ( ˆj  ˆj )  a z  b z  ( kˆ  kˆ )
1
1
C  a x  bx  a y  b y  a z  bz
El resultado es un escalar (NO VECTOR)
1
Módulo de un vector
El modulo representa el tamaño del vector
Y es un escalar.
Matemáticamente se escribe:

A 
 
AA
si

A  a x iˆ  a y ˆj  a y kˆ

A 
a a a
2
x
2
y
2
z
Además se define el vector unitario del
vector A

A
ˆ
A 
A
Producto Cruz
• El producto cruz (X) es otro tipo de
producto entre vectores, a diferencia del
producto usual o punto su resultado es un
vector.
• Al igual que en el caso anterior existen
reglas que se deben respetar.
iˆ  iˆ  ˆj  ˆj  kˆ  kˆ  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  iˆ   kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  ˆj   iˆ
iˆ  kˆ   j
kˆ  iˆ  ˆj
No es conmutativo
Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz
ˆi
X
ˆj
(+)
ˆ
k
=
Producto en sentido Horario
es positivo
ˆi
X
ˆj
ˆ
k
(-)
=
Producto en sentido antihorario es negativo
Ejemplo:
• Sean nuevamente los
siguientes vectores:

A  a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ

B  b x iˆ  b y ˆj  b z kˆ

 
C  A B

C  ( a x iˆ  a y ˆj  a z kˆ )  ( b x iˆ  b y ˆj  b z kˆ )
0

C  a x  b x  ( iˆ  iˆ )  a x  b y  ( iˆ  ˆj )  a x  b z  ( iˆ  kˆ ) 
0
 a y  b x  ( ˆj  iˆ )  a y  b y  ( ˆj  ˆj )  a y  b z  ( ˆj  kˆ ) 
a z  b x  ( kˆ  iˆ )  a z  b y  ( kˆ  ˆj )  a z  b z  ( kˆ  kˆ )
0
ˆ
k
 ˆj

C  a x  b y  ( iˆ  ˆj )  a x  b z  ( iˆ  kˆ ) 
ˆ
ˆ

k
i
 a y  b x  ( ˆj  iˆ )  a y  b z  ( ˆj  kˆ ) 
ˆj
ˆ

i
ˆ
ˆ
a z  b x  ( k  iˆ )  a z  b y  ( k  ˆj )

C  a x  b y  ( kˆ )  a x  b z  (  ˆj )  a y  b x  (  kˆ ) 
 a y  b z  ( iˆ )  a z  b x  ( ˆj )  a z  b y  (  iˆ )

C  ( a x  b y  a y  b x )  ( kˆ )  ( a y  b z  a z  b y )  ( iˆ ) 
 ( a z  b x  a x  b z )  ( ˆj )
Reordenando

C   ( a y  b z  a z  b y )  ( iˆ )  ( a z  b x  a x  b z )  ( ˆj ) 
 ( a x  b y  a y  b x )  ( kˆ )
Ejemplo numérico

A  2 iˆ  1 ˆj  3 kˆ

B  1iˆ  2 ˆj  4 kˆ

 
C  A B

 
C  A  B  ( 2 iˆ  1 ˆj  3 kˆ )  (1iˆ  2 ˆj  4 kˆ )

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
C  4 ( i  j )  8 ( i  k )  1( j  i )  4 ( j  k ) 
 3 ( kˆ  iˆ )  6 ( kˆ  ˆj )

C  4 kˆ  8 (  ˆj )  1(  kˆ )  4 iˆ  3 ˆj  6 (  iˆ )

C   2 iˆ  5 ˆj  3 kˆ
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Representación gráfica de vectores