Mapa conceptual de Álgebra II
Problema a resolver al final del curso
• Se tiene un terreno rectangular y se quiere
construir una pileta en forma de elipse cuyo eje
no sea paralelo los lados del terreno
Parte del Mapa Conceptual de Álgebra
I
Espacios vectoriales .Definición
Sea V un conjunto cuyos elementos se llamarán
vectores
Se definen dos operaciones :
Suma de vectores → cada par de vectores u,v
le corresponde otro vector u +v
Producto de un vector por un escalar →
Dado k (nro.real o complejo) y un vector u
le corresponde otro vector k.u
Propiedades de la suma
•
•
•
•
S1 ) Si u є V , v є V → u+v є V ( cerrada )
S2) u + v = v+u , para todo u,v є V ( conmut.)
S3 ) (u +v) +w = u+(v+w) (asociativa)
S4) Existe elemento neutro para la suma o sea
existe 0 єV , tal que 0+u=u para todo u є V
• S5) Para todo u є V existe el vector inverso
designado por -u que cumple u+ (-u) =0
Propiedades del producto
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•
•
•
•
P1) Para todo uєV → k.u є V (cerrada)
P2) Para todo u є V →1.u =u
P3) (k1.k2 ).u = k1.(k2 .u ) (asociativa)
P4 ) (k1+k2 ).u = k1.u+k2.u (distributiva)
P5) k.(u+v) = k.u+k.v (distributiva)
Subespacio . Definición
• Un subconjunto S no vacío de V es un
subespacio de V →
la suma y el producto definidas en V
estructuran también a S como un espacio
vectorial .
Propiedades necesarias para que
S V (e.v.) sea subespacio

• a) Si





u  S, v  S, u  v  S
b ) Si   R, u  S   . u  S
Definiciones
1. Combinación lineal : Un vector v  V
es combinación lineal de los vectores
v1,v2,…vk si existen escalares 1,.. ..k
tal que v = 1v1+ …..kvk
2. Sistema de Generadores : Un conjunto
de vectores M = {v1 ,….vn } tal que vi 
V (e.v.) genera al espacio V si y sólo si
para todo xV , x = 1v1+ …..nvn
3 . Conjunto de vectores linealmente
dependiente o linealmente independiente
Sea M ={ v1,v2 ,….vk } un conjunto de
vectores tal que vi  V (e.v.) y sea
v1 1+ ….vkk = 0 (una com-binación lineal
de dichos vectores igualada a 0)
entonces nos queda formado un sistema
de ecuaciones homogéneo que puede tener
 soluciones  M es un conjunto
linealmente dependiente
solución única  M es un conjunto
linealmente dependiente .
4. Sea V e.v. y B= { vi } i=1..n / vi V para todo i.
Decimos B es una base de V si cumple dos
condiciones :
a) B es un conjunto l.i.
b) B es un sistema de generadores de V
Ejemplo : Base canónica
• Rn : (1,0,…0) , (0,1,0…),(0,…1)
• Rnxm (por ejemplo 2x3) ………
• Pn ………………
5. Coordenadas de un vector respecto de
una base :
Sea B = { ei } i=1…n una base de V e.v.
y un vector x V , entonces a los
escalares i / x= 1e1+….. nen se los
llama coordenadas de un vector
respecto de la base B.
Proposiciones
a)
Para todo x V e.v. existen coordenadas respecto de una
base
b) Las coordenadas de un vector respecto de una base son
únicas
c) Si un espacio vectorial tiene una base de n elementos ,
entonces cualquier conjunto de n+1 elementos es un
conjuno l.d.
d) Todas las bases tienen la misma cantidad de elementos
Definición
6. Dimensión de un espacio vectorial V :
Es el número de elementos que contiene una
base de V
Proposiciones
e) En un e.v. V / dim V =n , n vectores l.i.
determinan una base de V
f) En un e.v. V / dim V =n si n vectores son un
S.G. de V , entonces son una base de V
Definiciones
Dados dos subespacios S y T de V e.v.
podemos definir :
• Intersección  S T= { x V / xS y x T}
• Unión  ST={ xV / xS ó xT }
• Suma  S+T = { xV / x=a+b con aS,bT }
• Suma directa  ST = S+T con S T={ 0 }
Proposiciones
• Teorema de la dimensión de suma de
subespacios :
Si S y T son subespacios de V e.v. ,tal que
dimV es un número finito ,entonces
dim(S+T) = dim(S) + dim( T) –dim (S T)
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