MAGNITUDES FÍSICAS.
Magnitudes físicas escalares y vectoriales.
Magnitudes
físicas
por su naturaleza
Escalares
Vectoriales
Magnitudes
físicas
Escalares
Asociadas a propiedades que pueden ser
caracterizadas a través de un número
Vectoriales
Asociadas a propiedades que se caracterizan
no sólo por su módulo sino también por su
dirección y su sentido
Escalares
Magnitudes
físicas
Masa, densidad,
temperatura, energía,
trabajo, etc
Vectoriales
Velocidad, fuerza,
cantidad de movimiento,
aceleración, torque, etc.
z
Vectores
θ
A
y

y
Ap

x
x
Notación
A
Módulo
A >0
Dirección
θ, 
Propiedades
de Vectores

A

B

C
• Dados A y B, si A = B entonces
A = B
• Todo vector se puede desplazar paralelamente a



si mismo
ABC
Suma de
Vectores
C
A
B
C
A
B
R
Ley del polígono
El vector resultante es
aquel que vector que va
desde el origen del primer
vector hasta el extremo del
ultimo
Entonces si se tiene los
siguientes vectores

A

D

B

C
El vector resultante
de la suma de todos
ellos será:

A

B

C

R





R  ABC D

D
Propiedades
de Vectores
Opuesto
Nulo
Vector unitario
A


A  A
ˆ

-A
0 = A + ( -A )

A
μ 
A
Ley
Conmutativa
Propiedades
de la suma de
Vectores
R  AB  BA
Diferencia
Ley Asociativa
 

R  A-B



R  A  (-B)

 


 
R  A  (B  C)  (A  B)  C
A
R
B
-B
A
Ley conmutativa
(Método paralelogramo)
A
B
B
A
Los vectores A y B pueden ser
desplazados paralelamente para
encontrar el vector suma
¿Como se explica esta regla?
B
Multiplicación de un vector por un
escalar
Dado dos vectores
 
AyB
Se dicen que son paralelos si
si
 0
si
 0
si
 1


A  B


A  B


AB


A  B

A
 1 
B  A
2

B

A

B

1 
B  A
4
Ejemplo 8:
Hallar el vector resultante de la suma de los
siguientes vectores
A
B
C
A
B
R = 2C
Vectores unitarios en el plano
y
ˆj
ˆi
ˆj
ˆi
x
Vector unitario en la dirección del eje x+
Vector unitario en la dirección del eje y+
Vectores unitarios en el espacio
z
kˆ
ˆi
x
ˆj
y
z
Representación
de un vector
Az
θ
A
Ay y
Ax

x
Ax  A cos  sen θ
Ay  Asen sen θ
Az  A cos θ



a  ax i  a y j  az k

A A 
Ax  Ay  Az
2
2
2
Observaciones:
Las componentes rectangulares de
un vector dependen del sistema
coordenado elegido.
La magnitud del vector no cambia.
Permanece invariante en cualquier
sistema coordenado
Observamos que, cuando los vectores
están en la misma dirección podemos
determinar fácilmente su magnitud
¿Que sucede si los vectores no están en
la misma dirección ? , ¿ podremos
determinar directamente su magnitud ?

B

A
 

R  AB
La magnitud en este caso no puede determinarse
directamente , por lo que debemos tratar de
buscar otra forma de determinarla

A
3u

Ax
4u

B


Ay
By

Bx
6u
3u
4u

Ax

Ay



A  Ax  A y

By

Bx
6u



B  Bx  B y
10u


Ax  B x
5u


Ay  B y





R  Ax  B x  A y  B y
Por pitagoras podemos
ahora
determinar la
2
2
R  del 10
5  5 5u
magnitud
vectorresultante

Ay 
By

Ax

Cy

Bx

Dy

Cx

Dx

Rx
15 u
5u



R  Rx  Ry
R  5 10

Ry





R x  Ax  B x  C x  D x





R y  Ay  B y  C y  D y
(x2,y2,z2)

A
z
x
(x1,y1,z1)
y
Dados
los
puntos
indicados el vector que
los
une
esta
representado por
(x2,y2,z2)

A
z
x
(x1,y1,z1)
y

A  (x 2  x 1 ) ˆi  (y 2  y 1 )ˆj  (z 2  z 1 ) kˆ
Producto
escalar de dos
vectores
 
A  B  AB cos θ
Proyección de A sobre B
A B  A cosθ
Proyección de B sobre A
B A  B cosθ
iˆ iˆ  1
iˆ  ˆj  0
ˆj  ˆj  1
iˆ  kˆ  0
kˆ  kˆ  1
ˆj  kˆ  0

A  iˆ  Ax

A  ˆj  Ay

A  kˆ  Az
 
A  B  A XB X  A Y B Y  A Z B Z
Producto
vectorial de dos
vectores

 
C  AB
C  AB senθ

ˆj  ˆj  0

kˆ  kˆ  0

ˆi  ˆi  0
iˆ  ˆj  kˆ
ˆj  kˆ  iˆ
kˆ  iˆ  ˆj
Demostrar:

 
C  A  B  (A x ˆi  A y ˆj  A z kˆ )  (Bx ˆi  By ˆj  Bz kˆ )
C X  AY BZ  AZ BY
C y  Az Bx  Ax Bz
C z  Ax By  Ay Bx
Ejemplo 1:
Determinese la suma de los siguientes vectores:

A  3 ˆi  8ˆj  5 kˆ

B  -5 ˆi  2 ˆj  3kˆ

C  4 ˆi  7 ˆj  2 kˆ
Ejemplo 2:
Determine la suma de los
vectores indicados
z
5m

B
8m
x

C
10m
y

A
Ejemplo 9
Dados los vectores:

A  3ˆi  3ˆj  5kˆ

B  4ˆi  5ˆj  3kˆ
Determine :
a) El producto escalar entre ellos.
b)el producto vectorial entre ambos
e) el ángulo que forman entre sí.
Tarea 9c, 9d y 10
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