Multiplicación de Vectores
UNIDAD 2
ING. ROBIN ANGUIZACA FUENTES
Producto Punto o Producto Escalar
Sean A y B dos vectores, se define
el producto punto entre los dos
vectores como:
A ● B = |A| |B| cos θ = A B cos θ
= B A cos θ
donde A ● B es un escalar
θ es el MENOR ÁNGULO que se
forma entre los dos vectores
θ
Producto Punto o Producto Escalar
En función de los vectores unitarios
A ● B = (A x i + A y j) ● (B x i + B y j)
Desarrollando:
A●B = A x B x (i●i) + A x B y (i●j) + A y B x (j●i) + A y B y (j●j)
Aplicando la definición
i ● i = (1) (1) cos 00 = 1
i ● j = (1) (1) cos 900 = 0
j ● j = (1) (1) cos 00 = 1
j ● i = (1) (1) cos 900 = 0
Obteniendo: A●B = A x B x + A y B y
Producto Punto o Producto Escalar
Sea:
Concluimos que:
Ejemplo de Producto Punto en forma
rectangular
Dado los vectores
A = (1, 3, 2) y B= (2, 0, 5)
Hallar el producto punto A.B
Desarrollo:
Producto Vectorial o Producto Cruz
Sean A y B dos vectores,
se define el producto
vectorial como:
AxB=C;
Donde C es un nuevo
vector
Producto Vectorial o Producto
Cruz
 La
MAGNITUD del vector C viene dada por:
|C| = | A x B | = | A | | B | sen θ
Donde θ es el menor ángulo que se forma entre
los vectores
 La
DIRECCIÓN del vector C es perpendicular tanto al
vector A como al B
 Su
SENTIDO viene dado por la REGLA DE LA MANO
DERECHA
Producto cruz o producto vectorial
El producto cruz o producto vectorial se definió como:
A x B = |A| |B| sen θ = A B sen θ
En función de los vectores unitarios
A x B = (A x i + A y j) x (B x i + B y j)
Desarrollando:
AxB = A x B x (ixi) + A x B y (ixj) + A y B x (jxi) + A y B y (jxj)
Aplicando la definición
i x i = (1) (1) sen 00 = 0
i x j = (1) (1) sen 900 = k (aplicando la regla de la mano derecha)
j x j = (1) (1) sen 00 = 0
j x i = (1) (1) sen 900 = -k (aplicando la regla de la mano derecha)
Regla de la mano Derecha
C=AxB
B
A


A
B
AxB=-BxA
C' = B x A
2) Producto Cruz entre versores
El sentido antihorario es positivo.
Luego:
… etc
EJEMPLO:
Compruebe que:
3) En general, AxB se calcula con un determinante:
Regla de la mano derecha
• Con los dedos extendidos de la mano derecha y el pulgar perpendicular a
ellos, tratar de empujar la punta del primer vector hacia la punta del
segundo vector cerrando los dedos y dejando extendido el pulgar, el
sentido en el que apunta este pulgar, nos indicará el sentido hacia donde
apunta el vector C o producto vectorial entre los dos vectores
C=AxB
B
A


A
B
AxB=-BxA
C' = B x A
Si el ángulo entre los dos vectores es de 900, entonces el producto
vectorial entre ellos es el VECTOR NULO o Vector cero, ya que Sen 900
=0
Nota: Los vectores A y B forman o están en un plano, siendo el vector C
perpendicular a dicho plano, por ejemplo, es como si los vectores A y B
estuviesen en el piso, luego entonces, el vector C estaría saliendo o
entrando perpendicularmente al piso.
Producto punto …
Sustituyendo los productos punto
A●B =AxBx+AyBy
Igualando ambas definiciones
|A| |B| cos θ = A x B x + A y B y
Despejando el ángulo
θ = cos-1
AxBx+AyBy
|A| |B|
Ejemplo: producto punto
Encontrar el producto punto o producto escalar de los siguientes vectores:
A =4i +5j
análisis: I cuadrante a 51.340 al N del E; magnitud 6.4
B = 6 i + 2 j análisis: I cuadrante a 17.430 al N del E; magnitud 6.3
A●B =AxBx+AyBy
= 24 + 10
= 34
El menor ángulo que forman entre si los dos vectores es:
θ = cos-1
AxBx+AyBy
|A| |B|
34
θ = cos-1
θ = 32.90
√16+25 √36+4
Producto cruz …
Sustituyendo los productos cruz de vectores unitarios
A x B = A x B y (k) + A y B x (-k)
A x B = (A x B y - A y B x ) k
Un nuevo vector cuya:
Magnitud es: A x B y - A y B x
Dirección: perpendicular al plano formado por A y B.
Sentido:
Sale del plano si A x B y - A y B x > 0
Entra al plano si A x B y - A y B x > 0
Producto cruz en tres dimensiones
El producto cruz o producto vectorial de vectores unitarios
A x B = (A x i + A y j + A z k) x (B x i + B y j + B z k)
Desarrollando:
A x B = A x B x (i x i) + A x B y (i x j) + A x B z (i x k) +A y B x (j x i) + A y B y
(j x j) + A y B z (j x k) + A z B x (k x i) + A z B y (k x j) + A z B z (k x k)
Aplicando la definición
i x i = (1) (1) sen 00 = 0
i x j = (1) (1) sen 900 = k
i x k = (1) (1) sen 900 = - j
j x i = (1) (1) sen 00 = - k
j x j = (1) (1) sen 900 = 0
j x k = (1) (1) sen 900 = i
k x i = (1) (1) sen 00 = j
k x j = (1) (1) sen 900 = - i
k x k = (1) (1) sen 900 = 0
Producto cruz …
Sustituyendo
A x B = AxBy (k) + AxBz (-j) +AyBx (-k) + AyBz (i) + AzBx (j) + AzBy (-i)
Reagrupando
A x B = (AyBz - AzBy) i + (AzBx - AxBz) j + (AxBy - AyBx) k
Producto cruz: determinantes
i
A x B = Ax
Bx
j
Ay
By
k
= +(Ay Bz - By Az ) i - (Ax Bz - Bx Az
Az
)j
Bz
+ (Ax By – Bx Ay )k
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