Puntos, rectas y
planos en el
espacio (2)
(incompleto)
Departamento de Matemáticas
Autora: Mª Soledad Vega Fernández
Presentación adaptada al libro de texto Matemáticas II de Anaya
Ed. 2003
Ecuaciones del plano
Un plano queda determinado conociendo:
•Un punto P p 1 , p 2 , p 3 


u y v
•Dos vectores
paralelos al plano e
independientes entre sí
O bien:
•Un punto P p 1 , p 2 , p 3 

•Un vector n
perpendicular al plano
n  A , B , C 
P

u

v
P
Departamento de Matemáticas
Ecuaciones del plano conocidos un
punto P p , p , p  y dos vectores


v v , v , v 
u , u , u 
ubbbbbbby
l. i.
1
1
2
2
3
3
1
2
3
X
P

u

v
P
X

PX lin. dependiente de


u y v
Departamento de Matemáticas

v
X  plano si
X plano si
determina con P un vector

u
determina con P un vector

PX lin. independiente de


u y v
Ecuaciones del plano conocidos un punto P p


y dos vectores u u 1 , u 2 , u 3  y v v 1 , v 2 , v 3  l. i.
1
,p 2 ,p 3 

X(x,y,z)  plano si:

u
P

v
X
determina con P un vector PX lin. dependien

v
te de u y
:


PX   · u   · v


OX  OP   · u   · v
Y esto es equivalente a:
O
u1
v1
x  p1
u2
v2
y  p2  0
u3
v3
z  p3
Desarrollando:
ax+by+cz+d=0
Ec. General o Implícita
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

OX  OP   · u   · v
Ec. Vectorial del plano (*)
Y sustituyendo en (*) X, P, u y v por
sus coordenadas respectivas:
 x  p 1   ·u 1   ·v 1

 y  p 2   ·u 2   ·v 2
 z  p   ·u   ·v
3
3
3

Ec. Paramétricas
Y eliminando los parámetros
Ecuación del plano conocidos un punto P p , p

y un vector perpendicular al plano, n ( a , b , c )
1
X(x,y,z)  plano si

n a , b , c ) 
P
2
,p 3 
determina con P un
 vector normal
(perpendicular) a n

PX · n  0
(*)
X
Sustituyendo en (*) X, P y n por sus
coordenadas respectivas:
 x  p 1 , y  p 2 , z  p 3  · a , b , c   0
Operando se llega a:
ax+by+cz+d=0
Ec. General o Implícita
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POSICIONES RELATIVAS DE 2 RECTAS EN EL ESPACIO.
 a 11 x  a 12 y  a 13 z

 a 21 x  a 22 y  a 23 z

 a 31 x  a 32 y  a 33 z
 a 41 x  a 42 y  a 43 z

v
 b1
 b2
 b3
 b4
rg M = rg M´=2
 
P
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
a 33
a 42
a 43
Comp. Indet.








 a 11

 a 21
M´  
a
 31
a
 41
a 12
a 13
a 22
a 23
a 32
a 33
a 42
a 43
b1 

b2 
b3 

b 4 

rg u , v , PQ  1
v
Q
u
Q
P
rg u , v  1
 a 11

 a 21
M 
a
 31
a
 41
P
u
Comp. Det.
rg M = rg M´=3
 


rg u , v , PQ  2
rg u , v  2
u
P
u
v
Q
rg M = rg M´
 
rg u , v  1
Incompatible


rg u , v , PQ  2
rg M = rg M´
 
rg u , v  2
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v
Q
Incompatible


rg u , v , PQ  3
 x  p 1   ·u 1

 y  p 2   ·u 2
 z  p   ·u
3
3

Ec. Paramétricas
b) P(0,0,0)
a) P(0,0,0) u=(0,1,0) V=(0,0,1)
 x  p 1   ·u 1   ·v 1

 y  p 2   ·u 2   ·v 2
 z  p   ·u   ·v
3
3
3

Ec. Paramétricas
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v=(1,0,0)
 x  p 1   ·u 1   ·v 1

 y  p 2   ·u 2   ·v 2
 z  p   ·u   ·v
3
3
3

c) P(0,0,0)
 x  p 1   ·u 1

 y  p 2   ·u 2
 z  p   ·u
3
3

d) P(4,0,0)
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Ec. Paramétricas
v =(1,2,0)
w =(0,0,1)
Ec. Paramétricas
v= (4-0,0-0,0-3)
x  4  4 

y 0

 z  0  3

·2
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
OX  OP   · u
Ec. Vectorial de la recta (*)
 x  p 1   ·u 1   ·v 1

 y  p 2   ·u 2   ·v 2
 z  p   ·u   ·v
3
3
3

x  p1
u1

y  p2
Ec. Paramétricas

z  p3
u2
u3
Ec. Continua
 ax+by+cz+d=0

 a´x+b´y+c´z+d´=0
Ec. implícitas
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