VECTORES EN EL PLANO
Nivel 4º E.S.O.
El concepto de vector está motivado por la
idea de desplazamiento en el espacio
Si una partícula se mueve de P a Q determina
un segmento de recta dirigido con punto
inicial P y punto final Q

PQ
P
Q
La magnitud del vector es la longitud de ese
desplazamiento y se denota por

PQ
S
R
P
R
Q
S


Vectores de la misma magnitud PQ  RS
Un vector es un segmento orientado
La dirección del vector viene dada por el
punto inicial y el punto final. En este sentido


RS  SR
Q
S
R
Q
P
Vectores de la
misma dirección
P
R
R
S
S
Vectores en
direcciones distintas
Vectores Equivalentes

Tienen
la
misma
magnitud y dirección

PQ  RS
Q
P
S
R
Definición Geométrica
Un vector es el conjunto de todos los
segmentos dirigidos equivalentes
Eje y
O
Eje x
Representante del vector por el origen de
coordenadas
A un vector u se le asocia el punto P(a,b) así:
Eje Y
P(a,b)
b
u
O
a

u  OP  (a, b)
Eje X
(a,b) son las coordenadas del vector u y
también del punto P
6cm
31º
10cm
¿b?
11º
¿a?
Dirección  de u
Magnitud o módulo
de un vector u
2
u  a b
Angulo positivo que
forma con el eje X
2
b
tag  
a
Eje Y
Un vector de
módulo uno se
llama unitario
(a,b)
b
u

El vector nulo (0,0)
no tiene dirección
O
a
Eje X
Halla
Hallael
el
elmódulo
módulo
módulo
módulodel
del
del
delvector
vector
vector
vectoru(-4,-1)
u(-4,1)
u(0,-3)
u(2,2)
u(0,5)
u(4,1) yyyyyel
u(1,4)
el
el
elángulo
ángulo
ánguloθθ
Halla
Halla
el
módulo
del
vector
u(3,-2)
u(4,-1)
el
ángulo
θθ
que
queforma
forma
formacon
con
conel
el
eleje
eje
ejeXX
que
que
forma
con
el
eje
XX
Eje Y
O
2
u  a b
2
Eje X
b
tag  
a
Los vectores i=(1,0) y j=(0,1) son los
vectores unitarios en la dirección de los ejes
coordenados
Eje Y
y
yj u
xi
j
O
i
x
Eje X
Todo vector (x,y)=x(1,0)+y(0,1), es decir, es
combinación lineal de los vectores i,j
Halla el
el módulo
módulo
módulodel
del
delvector
vector
vectoru(-2,3)
u(1,3)
u(1,1)=-2
== i i+3
+3
+ jjj yy el
ángulo θ que forma con el eje X
Eje Y
O
2
u  a b
2
Eje X
b
tag  
a
Operaciones con vectores
Sean u=(x,y) y v=(a,b) vectores en el
plano y  un número real. Se define el
vector:
 suma u+v como
u+v= (x+a, y+b)
 producto por un escalar  u como
 u=(x, y).
Operaciones con vectores
Eje Y
u
u+ v
v
O
Eje X
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente u+v=(6,4) es la
diagonal mayor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
u- v
u
v
O
u- v
Eje X
Si u=(2,3), v=(4,1), gráficamente v-u=(2,-2) es la
diagonal menor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
u
u+ v
v
O
Eje X
Si u=(x,y), v=(a,b), gráficamente u+v=(x+a,y+b)
es la diagonal mayor del paralelogramo
Operaciones con vectores
Eje Y
u
>0
u
0<<1
<0
u
O
Eje X
Si u=(x,y),  u=(x, y)
Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=│u││v│cos
:

Se define el ángulo
entre dos vectores u y v
como el ángulo  no
negativo mas pequeño
entre u y v.
El producto escalar de los vectores
canónicos
i=(1,0),
j=(0,1)
será
i.i=j.j=1 i.j=j.i=0
Nueva definición de Producto
escalar:
u  xi  yj
v  ai  bj
u.v  xai.i  xbi. j  yaj.i  ybj. j
u.v  xa  yb
Producto escalar
Se define el producto escalar de dos vectores
u=(x,y) y v=(a,b) como:
u.v=ax+by

Se define el ángulo entre
dos vectores u y v como
el ángulo  no negativo
mas pequeño entre u y v.
Producto escalar
Eje Y
Eje X
Dos vectores son
paralelos
si
el
ángulo entre ellos
es 0 o .
Dos vectores son ortogonales si
forman un ángulo de /2
Propiedades del producto escalar
 u.0 = 0
 u.v = v.u (propiedad conmutativa)
 Si u.v =0 y ninguno de ellos es nulo entonces
los vectores son perpendiculares.
Teorema:
Sean u y v vectores no nulos y  el ángulo entre
ellos,
entonces si calculamos el producto
escalar podremos hallar el ángulo entre ellos:
u.v  u v cos 
u.v / u v  cos 
u
Interpretación
geométrica:

ucos
v
Ejemplo: Sean los vectores A = 4i y B = i + 2 j . Representarlos y
determinar su módulo. El producto escalar de A por B. Halla el ángulo
entre A y B.
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Vectores en el Espacio