Capítulo I. Vectores
z

A
y
x
Un vector puede representarse de la forma:

A  A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ
1
Donde xˆ , yˆ , zˆ
son los vectores unitarios en las direcciones de los
ejes “x”, “y” y “z” respectivamente.
A x , A y y A z son las componentes escalares del vector
y

A
Ay
Ax
x
2
El módulo de

A
lo encontramos usando:

A 
Ax  A y
2
 Az
2
2
Vector unitario:
Un vector unitario en la dirección de

A
aˆ   
A

A
se define como:

A
Ax  A y
2
2
 Az
2
3
Angulos directores:
Son los ángulos que forma el vector con cada uno de los ejes
z

A



y
x
4
z

A
y

Ax
x
De la figura se observa que:
A x  A cos 
De igual forma:
A y  A cos 
A z  A cos 
5
Los cosenos directores se definen como:
x 
cos 

y

cos 

z

cos 
A x  A cos    x 
aˆ 

A
Ax

A
A
aˆ   x xˆ  
x  
2
2
y
xˆ 
y
Ay
A
yˆ 
Ax
A
Az
A
zˆ
yˆ   z zˆ
 z  1
2
6
Vector de posición:
y
P

r
x

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ
7
Vector de posición relativa:
y
P’

r'

R
P

r
x

r  x xˆ  y yˆ  z zˆ

r '  x ' xˆ  y ' yˆ  z ' zˆ

R  ( x  x ' ) xˆ  ( y  y ' ) yˆ  ( z  z ' ) zˆ
8
Producto escalar:
Sean dos vectores A y B:

A  A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ

B  B x xˆ  B y yˆ  B z zˆ
Entonces:
 
A  B  Ax B x  A y B y  Az B z
 
 
A  B  A B cos 
9
Graficamente:

A


B
A cos 
10
Producto escalar de vectores unitarios:
xˆ  yˆ  0
xˆ  xˆ  1
xˆ  zˆ  0
yˆ  yˆ  1
yˆ  zˆ  0
zˆ  zˆ  1
Si eˆ es un vector unitario en una dirección determinada, entonces la

componente de A en esa direccion es:

A e  A  eˆ
11
Algunas propiedades del producto escalar:
 
 
A B  B A
 

A A A
2
 


A  B  0 , si A  B
12
Producto vectorial:
Sean dos vectores A y B:

A  A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ

B  B x xˆ  B y yˆ  B z zˆ
Entonces:
xˆ
 
A  B  Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
13
Producto vectorial:
xˆ
 
A  B  Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
 
A  B  ( A y B z  A z B y ) xˆ ...
14
Producto vectorial:
xˆ
 
A  B  Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
 
A  B  ( A y B z  A z B y ) xˆ  ( A x B z  A z B x ) yˆ  ...
15
Producto vectorial:
xˆ
 
A  B  Ax
yˆ
zˆ
Ay
Az
Bx
By
Bz
 
A  B  ( A y B z  A z B y ) xˆ  ( A x B z  A z B x ) yˆ  ( A x B y  A y B x ) zˆ
Ademas:

 

A  B  A B sen 
16
Producto vectorial de vectores unitarios:
xˆ  yˆ  zˆ
xˆ  xˆ  0
yˆ  zˆ  xˆ
yˆ  yˆ  0
zˆ  xˆ  yˆ
zˆ  zˆ  0
zˆ
yˆ
xˆ
17
Algunas propiedades del producto vectorial:


 
A B  BA


A A 0

 

A  B  0 , si A B

  
 
  
A  (B  C )  B ( A C )  C ( A  B ) 
Atrás del taxi
18
Campo vectorial.
Velocidad del viento en un huracán

v  v x ( x , y , z ) xˆ  v y ( x , y , z ) yˆ  v z ( x , y , z ) zˆ
19
Campo escalar
Valor de la presión atmosférica en un huracán
p  p ( x, y, z )
20
Derivada de una función
f
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.5
1
1.5
df
2
2.5
3
x
 df 
 
 dx
 dx 
derivada
21
Gradiente
Potencial
4
z
de un dipolo
u  f ( x, y, z )
2
0
-2
-4
0.2

du   u  d s
0.1
V
0
 u  Gradiente
de u
-0.1
-0.2
-4
u 
-2
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ
0
y
2
4
22
Gradiente de una función escalar

du   u  d s
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ

d s  dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ
 u
u
u 
   dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ 
du  
xˆ 
yˆ 
y
z 
 x
23
Gradiente de una función escalar

du   u  d s
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ

d s  dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ
 u
u
u 
   dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ 
du  
xˆ 
yˆ 
y
z 
 x
du 
u
x
dx 
u
y
dy 
u
z
dz
24
Gradiente de una función escalar

du   u  d s
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ

d s  dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ
 u
u
u 
   dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ 
du  
xˆ 
yˆ 
y
z 
 x
du 
u
x
dx 
u
y
dy 
u
z
dz
25
Gradiente de una función escalar

du   u  d s
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ

d s  dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ
 u
u
u 
   dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ 
du  
xˆ 
yˆ 
y
z 
 x
du 
u
x
dx 
u
y
dy 
u
z
dz
26
Gradiente de una función escalar

du   u  d s
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ

d s  dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ
 u
u
u 
   dx xˆ  dy yˆ  dz zˆ 
du  
xˆ 
yˆ 
y
z 
 x
du 
u
x
dx 
u
y
dy 
u
z
dz
27
Propiedades importantes del Gradiente
• Se aplica a funciones escalares
• El gradiente de una función es un vector
• El gradiente apunta en la dirección de máximo cambio de la función

du   u  d s   u ds cos 
28
¿ Qué información tendremos al calcular el gradiente de la presión en
este caso?
29
Ejemplo no. 1
Calcular el gradiente de la función:
f ( x, y )  e
f 
f 
f
x

xˆ 
e
2
f
y
2
(x  y )
x
2
2
(x  y )
yˆ
 xˆ   e
f   2x e
2
2
(x  y )
y
2
2
(x  y )
 yˆ
xˆ
 2y e
2
2
(x  y )
yˆ
30
Fig . 1
1
0.75
2
0.5
1
0.25
0
-2
0
-1
-1
0
1
2
f ( x, y )  e
2
-2
2
(x  y )
31
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
 f ( x, y ) 
-1
-0.5
 2x e
0
2
2
(x  y )
0.5
xˆ
 2y e
1
1.5
2
2
(x  y )
2
yˆ
32
Fig . 1
2
1.5
1
0.5
1
0.75
2
0
0.5
1
0.25
-0.5
0
-2
0
-1
-1
-1
0
-1.5
1
2
f ( x, y )
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
 f ( x, y )
33
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
f ( x , y )  sen
f 
f
x

 f  cos
xˆ 
f
y
x  y
2

x  y
2
2

yˆ
2

  2
2
 x  y
x




2
 xˆ  cos

1
x  y
2
2

  2
2
 x  y
y


1
2

 yˆ

34
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
f ( x , y )  sen
f 
f
x
xˆ 
f

x  y

x  y
 f  cos
 f  cos
2
x  y
2
2

yˆ
y
2

2
2

  2
2
 x  y
x




2
 xˆ  cos

1
x  y
2
2

  2
2
 x  y
y


1
2

 yˆ

 12 


35
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
f ( x , y )  sen
f 
f
x
xˆ 
f

x  y

x  y
 f  cos
 f  cos
2
x  y
2
2

yˆ
y
2

2
2


  2
2
 x  y
x

1 2
2
  x  y
2






2
 xˆ  cos

1
x  y
2
2

  2
2
 x  y
y


1
2

 yˆ

1
2
36
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
f ( x , y )  sen
f 
f
x

 f  cos

 f  cos
xˆ 
f
y
x  y
x  y
x  y
2
2

yˆ
2
2

2
2


  2
2
 x  y
x

1 2
2
  x  y
2




2
 xˆ  cos

1
x  y
2
2

  2
2
 x  y
y


1
2

 yˆ

1
 2 x  xˆ

2
37
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:
f ( x , y )  sen
f 
f
x

 f  cos

 f  cos
xˆ 
f
y
x  y
x  y
x  y
2
2

yˆ
2
2

2
2


  2
2
 x  y
x

1 2
2
  x  y
2


1
 2 x  xˆ

2


2
 xˆ  cos

1

 cos
x  y
2
2
x  y
2

2
  2
2
 x  y
y


 2 y  yˆ

1 2
2
  x  y
2

1
2


 yˆ

1
2
38
Ejemplo no. 2
Calcular el gradiente de la función:

f ( x , y )  sen
f 
f
x

 f  cos

 f  cos
xˆ 
f
y
x  y
x  y
2
2

yˆ
2
2
x  y
2
f 
2


  2
2
 x  y
x

1 2
2
  x  y
2

x  y
2
x cos
x  y
2
2



2
 xˆ  cos

1
1
 2 x  xˆ

2
2
xˆ 
x  y
2

 cos
x  y
2
x  y
2
y cos
x  y
2
2
2

2
  2
2
 x  y
y


 2 y  yˆ

1 2
2
  x  y
2

1
2


 yˆ

1
2
2
yˆ
39
1
0.5
0
2
-0.5
0
-2
0
-2
2
f ( x , y )  sen

x  y
2
2

40
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
f 
-1
-0.5
x  y
2
x cos
x  y
2
2
0
2
xˆ 
0.5
1
1.5
x  y
2
y cos
x  y
2
2
2
2
yˆ
41
2
1.5
1
0.5
1
0.5
0
0
2
-0.5
-0.5
0
-1
-2
-1.5
0
-2
2
f ( x , y )  sen

-1.5
x  y
2
2

f 
-1
-0.5
x  y
2
x cos
x  y
2
2
0
2
xˆ 
0.5
1
1.5
x  y
2
y cos
x  y
2
2
2
2
yˆ
42
Divergencia.
Campo vectorial sin divergencia
Campo vectorial con divergencia
pronunciada
Campo vectorial divergente
43
La divergencia calculada sobre
un volumen, es diferente de cero
si el número de líneas de campo
que entran al volumen no es
igual al número de líneas que
salen.
Campo vectorial con divergencia
pronunciada
44
Conteo de líneas: una línea que entra al volumen la vamos a considerar
negativa, si sale la consideraremos positiva
45
Lineas que entran: 1
46
Lineas que entran: 2
47
Lineas que entran: 3
48
Lineas que entran: 4
49
Lineas que entran: 4
Lineas que salen: 1
50
Lineas que entran: 4
Lineas que salen: 2
51
Lineas que entran: 4
Lineas que salen: 3
52
Lineas que entran: 4
Lineas que salen: 4
53
La divergencia sobre el volumen es cero.
54
La divergencia es diferente de cero, solamente si las lineas
de campo nacen o mueren en el interior del volumen
considerado.
55
La divergencia sobre el volumen es diferente de
cero.
56
Divergencia.
Consideremos una función vectorial de la forma:

A  A x ( x , y , z ) xˆ  A y ( x , y , z ) yˆ  A z ( x , y , z ) zˆ

La divergencia de A se calcula de la siguiente manera:

Ax
A 
x

A y
y

A z
z
57
Propiedades importantes de la divergencia
• Se aplica a funciones vectoriales
• La divergencia de una función vectorial es un escalar
• Cuando la divergencia calculada sobre un volumen es diferente de
cero, significa que en el interior de ese volumen las líneas de
campo nacen o mueren.


58
Ejemplo no. 1
Calcular la divergencia de la función:

F ( x , y )  sen x xˆ  cos y yˆ

F x
F 
x

F y
y

  F  cos x  sen y
59
X Component
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
4
2
-2
X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Y Component
0 Y
-2
0
2
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
4
2
-2
X
4 -4
0
0 Y
-2
2
4 -4
Y
X
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x , y )  sen x xˆ  cos y yˆ
60
Y
4
3
2
1
0
X
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2

F ( x , y )  sen x xˆ  cos y yˆ
3
4
61
Y
4
3
2
1
0
X
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2

F ( x , y )  sen x xˆ  cos y yˆ
3
4
62
2
1
4
0
-1
2
-2
0
-4
-2
-2
0
2
-4
4

  F  cos x  sen y
63
Ejemplo no. 2
Calcular la divergencia de la función:

F ( x , y )  x cos y xˆ  sen y yˆ

F x
F 
x

F y
y

  F  cos y  cos y

F  0
64
X Component
4
2
0
-2
-4
-4
Y Component
4
-2
X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
0
2
2
0Y
-2
4 -4
1
0.5
0
-0.5
-1
-4
4
-2
X
0
2
2
0Y
-2
4 -4
Y
X
-3-2-1 0 1 2 3 4

F ( x , y )  x cos y xˆ  sen y yˆ
65
Y
4
3
2
1
0
X
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2

F ( x , y )  x cos y xˆ  sen y yˆ
3
4
66
Y
4
3
2
1
0
X
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2

F ( x , y )  x cos y xˆ  sen y yˆ
3
4
67
Y
4
3
2
1
0
X
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2

F ( x , y )  x cos y xˆ  sen y yˆ
3
4
68
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e
 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

69
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e

F x
F 
x

 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

F y
y
70
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e

F x
F 
x

F  e
 x2

 16


 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

F y
y




71
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e

F x
F 
x

F  e
 x2

 16






 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

F y
y
 2x


 16 
72
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e

F x
F 
x

F  e
 x2

 16






 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

F y
y
 2 x  2y

 
16

 16
73
Ejemplo no. 3
Calcular la divergencia de la función:

F ( x, y )  e

F x
F 
x

F  e
 x2

 16






 x
 
4
2
2

 y  

xˆ  0 . 5   
yˆ


4 

F y
y
 2 x  2y

 
16

 16

x
F   e
8
 x2 


 16 



y
8
74
X Component
1
0.8
0.6
0.4
-4
4
-2
X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Y Component
0
2
2
0Y
-2
4 -4
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
-4
4
-2
0
X
2
2
0Y
-2
4 -4
Y
X
-3-2-1 0 1 2 3 4

F ( x, y )  e
 x
 
4
2
2

y

xˆ   0 . 5   

4


 yˆ


75
Y
4
2
X
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
76
0.5
4
0
2
-0.5
-4
0
-2
-2
0
2
4

x
F   e
8
 x2 


 16 



-4
y
8
77
Rotacional.
El rotacional de un campo vectorial mide la circulación del campo
78
Campos vectoriales con rotacional pronunciado
79
Campos vectoriales con rotacional pronunciado
80
Campos vectoriales con rotacional igual a cero
81
Rotacional.
Consideremos una función vectorial de la forma:

A  A x ( x , y , z ) xˆ  A y ( x , y , z ) yˆ  A z ( x , y , z ) zˆ

El rotacional de A
se define como:

 A 
 Ay

  Az

 A  


y
z

xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az

  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
82

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
83

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
84

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
85

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
86

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
87

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
88

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
89

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
90

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
91

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
92

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
93

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
94

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
95

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
96

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
97

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
98

 A 
xˆ
yˆ
zˆ



x
y
z
Ax
Ay
Az
 Ay

  Az

 A  


y
z


  Ay
 Ax 
 Ax 
  Az
 xˆ  

 zˆ


 yˆ  

z 
 y 
 x

 x
x
z
y
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
99
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
100
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
101
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
102
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
103
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
104
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1 
zˆ
105
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1  (  1) 
zˆ
106
Ejemplo no. 1
Calcular el rotacional de la función:

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1  (  1) 
zˆ

  F  2 zˆ
107
Ejemplo no. 1
X Component
4
2
0
-2
-4
-4
4
2
-2
X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Y Component
0
0 Y
-2
2
4
-4
4
2
0
-2
-4
-4
4
2
-2
X
0
0 Y
-2
2
4
-4
Y
X
-3 -2 -1 0 1 2 3 4

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
108
Ejemplo no. 1
Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
4

F ( x , y )   y xˆ  x yˆ
109
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
110
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
111
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
112
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
113
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
114
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
115
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x
116
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1 
zˆ
117
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1  (  1) 
zˆ
118
Ejemplo no. 2
Calcular el rotacional de la función:

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
 Fy 

  Fz
  Fy
 Fx 
 Fz 
  Fx



 zˆ
 F  

xˆ  


 yˆ  

z 
x 
 y 
 z
 y
 x

 F 
1  (  1) 
zˆ

  F  2 zˆ
119
X Component
20
10
0
-4
4
-2
X
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
Y Component
0
2
2
0Y
-2
4 -4
20
10
0
-4
4
-2
X
0
2
2
0Y
-2
4 -4
Y
X
-3-2-1 0 1 2 3 4

F ( x, y ) 
x
2
 y  xˆ   x  y
2
 yˆ
120
Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3
-2

F ( x, y ) 
-1
x
0
2
1
2
 y  xˆ   x  y
3
2
4
 yˆ
121
Y
4
3
2
1
X
0
-1
-2
-3
-3
-2

F ( x, y ) 
-1
x
0
2
1
2
 y  xˆ   x  y
3
2
4
 yˆ
122
Y
1
0.75
0.5
0.25
X
0
-0.25
-0.5
-0.75
-0.75
-0.5

F ( x, y ) 
x
-0.25
2
0
0.25
 y  xˆ   x  y
0.5
2
0.75
1
 yˆ
FS-321. UNAH. Rafael Barahona Paz
123
Operador Nabla
 

x
xˆ 

y
yˆ 

z
zˆ
124
Operador Nabla
 

x
xˆ 

y
yˆ 

z
zˆ
Gradiente:
 




xˆ 
yˆ 
zˆ  u 
y
z 
 x
u 
u
x
xˆ 
u
y
yˆ 
u
z
zˆ
125
Operador Nabla
 

x
xˆ 

y
yˆ 

z
zˆ
Divergencia:
 




xˆ 
yˆ 
zˆ    A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ 
y
z 
 x

Ax
A 
x

A y
y

A z
z
126
Operador Nabla
 

x
xˆ 

y
yˆ 

z
zˆ
Rotacional:
 




xˆ 
yˆ 
zˆ    A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ 
y
z 
 x
 Ay

  Az
  A  

z
 y

  Ay
 Ax 
 Az 
  Ax
 xˆ  

 zˆ

y


 ˆ


x 
 y 
 z

 x
127
Laplaciano

2
   

2
x
2


2
y
2


2
z
2
128
Laplaciano

2

   

2
x
2


2
y

2
2
z
2
Cuando actúa sobre una función escalar:
 u
2
 u 
2
x
2
 u
2

y
2
 u
2

z
2
129
Cuando actúa sobre una función vectorial:

2
 A    A x xˆ  A y yˆ  A z zˆ 
2
  A x xˆ   A y yˆ   A z zˆ
2

2
 A 
  2 A x
 
2

x

 2
   A y

2

x

 2
   A z
 x 2

2
2
 Ax
2

y
2
 Ay
2

y
2
 Az
2

y
2
2
 Ax 
 xˆ

2 
z 
2
 Ay 
 yˆ

2 
z 
2
 Az 
 zˆ

2 
z 
130
Propiedades importantes

   A  0
  u  0



2
    A      A    A
131
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Divergencia, Rotacional y propiedades