Cálculo diferencial e integral de una variable
Longitud
de arco.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
INTRODUCCIÓN
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Cálculo diferencial e integral de una variable
INTRODUCCIÓN
Al igual que los conceptos de área y volumen, el
concepto de longitud de arco requiere una definición
cuidadosa.
Si se estudiara un segmento de recta que une P1 y P2
su longitud sería:
|P1P2|
y2
y1
P2
P1
x1
| P1P2 | 
x2
2
(x 2  x 1 )  (y 2  y 1 )
2
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Cálculo diferencial e integral de una variable
LONGITUD DE ARCO
Si la curva C se define mediante la ecuación y=f(x),
donde a ≤ x ≤ b, obtenemos una aproximación de C
tomando una partición P de [a; b], con a = x0 < x1 < x2
<.......< xn = b. Los puntos Pi(xi; yi) están en la curva y
el polígono de vértices Pi es una aproximación de C. La
longitud de esa aproximación poligonal será:
P1
P2
C
Pi
P0
Pn
Pi-1
n
L

| Pi  1 Pi |
i1
a x1 x2
xi-1 xi
xn=b
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Cálculo diferencial e integral de una variable
La longitud anterior parece mejorar a medida que
n  ∞, por lo tanto definimos:
n
L  lim
n

n
| Pi 1 Pi |  lim
n
i 1

2
(x i )  (y i )
2
i 1
La cual como se ve no es aún una suma de Riemann,
sin embargo, si f '(x) es continua, se puede escribir:
n
L  lim
n

i 1
(x i )
2
2
  f ' ( x i )  x i 
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Cálculo diferencial e integral de una variable
TEOREMA
Si f '(x) es continua en [a; b], la longitud de la curva definida
por la ecuación y = f(x), siendo a ≤ x ≤ b, es:
n
L  lim
n

i 1
2
1   f ' ( x i )   x i
Que en términos de integral adopta la forma:
L 

b
a
2
1   f '( x ) 
dx 

b
a
1 
 
dy
dx
2
dx
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 1:
Calcula la longitud de arco de la parábola semicúbica
y2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Si la ecuación de la curva es x = g(y), siendo c ≤ y ≤ d, la
longitud de arco se calculará con:
L 

d
c
1  g ' ( y ) dy 
2

d
c
1 
 
dx 2
dy
dy
Ejemplo 2:
Calcula la longitud del arco de parábola y2=x, de (0; 0)
hasta (1; 1)
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 3:
a) Plantee una integral para hallar la longitud de un arco de
la hipérbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ½).
b) Con ayuda de un asistente matemático calcule la integral
planteada en a).
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 4:
Determina la longitud de un arco de la curva
2
ln( x ) , desde (1; 1) hasta un punto de

8
y  x
abscisa x.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 5:
Calcula la longitud de cada una de las curvas en
los intervalos indicados.
a)
y
2
 ( x  1)
3
x4
1

4
8 x2
b)
y 
c)
y  ln ( cos x )
1  x  2
1  x 3
0 x 

4
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 6:
Trace la curva cuya ecuación es x 2 / 3  y 2 / 3  1
y calcule su longitud aprovechando su simetría.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo 7:
Calcula la longitud de la curva:
y 

x
1
t
3
 1 dt ,
1  x  4
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