4 Continuidad
Continuidad de una
función en un punto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
• Define el concepto de continuidad de una función en un
punto.
• Explica con sus palabras que se entiende por continuidad
desde la izquierda y desde la derecha y en un intervalo.
• Aplica los teoremas sobre funciones continuas para
establecer la continuidad de funciones sencillas.
• Reconoce la continuidad en su dominio natural de las
funciones más empleadas.
• Explicar con sus palabras el teorema de valor intermedio
para funciones continuas.
• Clasifica las discontinuidades mediante la observación de la
gráfica, o mediante el análisis de sus expresiones analíticas.
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Integral de Una Variable
2
Motivación
En la sesión anterior, se estableció que si f es un
polinomio ó una función racional y a está en el
dominio de f, entonces
lim
lim ff xx   ff aa
xx
 aa
• ¿Son estás las únicas funciones que cumplen con
esta propiedad?
• Será posible crear una clase que agrupe ha un
conjunto más amplios de funciones y se cumpla
que
lim f x   f a
x a
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3
Definición
Una función f es continua en un número a si
lim f ( x )  f (a)
x a
Es decir:
1 f(a) existe
2 lim f (x) existe
x a
f ( x )  f (a)
3 lim
x a
Nota: Si f no es continua en a decimos que es
discontinua en a
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4
Ejemplo 1
• En la figura se muestra la gráfica de una función.
¿En qué puntos es discontinua? Justifique su
respuesta.
y
y = f(x)
1
Cálculo Diferencial e
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2
3
4
5
x
5
Discontinuidad evitable
y
y = f(x)
lim f (x ) existe
x a
a
x
Discontinuidad evitable
o removible
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6
Discontinuidad por salto
y
y = f(x)
lim f ( x ) existe
x a
lim f ( x ) existe
x a
a
x
Discontinuidad
por salto
Cálculo Diferencial e
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7
Discontinuidad infinita
y
y = f(x)
Uno o ambos límites laterales
infinitos.
a
x
Discontinuidad
infinita
Cálculo Diferencial e
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8
Ejemplo 2
¿En dónde son discontinuas cada una de las
funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.
x 2  3x  2
a f x  
x 1
 x2  4
c  f x    x  2 , x  2
3x  2 , x  2
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 x 2  3x , x  2
b f x   5
, x 2
 x3  2 , x  2

2
d  f x    x 2 , x  0
1 , x  0
9
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las
funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.
x 2  3x  2
a f x  
x 1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
10
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las
funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.
 x 2  3x , x  2
b f x   5
, x 2
 x3  2 , x  2

Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
11
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las
funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.
 x2  4
c  f x    x  2 , x  2
3x  2 , x  2
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
12
Ejemplo 2
¿ En dónde son discontinuas cada una de las
funciones siguientes? Clasifique las
discontinuidades.
 2
 2 ,x  0
d  f x    x
1 , x  0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
13
Continuidad lateral
Una función f es continua por la derecha o desde
la derecha de a si
lim f ( x )  f (a)
x  a
Una función f es continua por la izquierda o desde
la izquierda de a si
lim f (x)  f (a)
x a
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14
Continuidad en un intervalo
• f continua en (a, b)
f es continua para todo x(a, b).
• f continua en [a, b)
f es continua en (a, b) y por la
derecha de a.
• f continua en (a, b]
f es continua en (a, b) y por la
izquierda de b.
• f continua en [a, b]
f es continua en (a, b), por la
derecha de a y por la izquierda
de b.
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15
Ejemplo
Analice la continuidad de la función en los
siguientes intervalos: [a,b], (b,c] y en [a,c]
y
f
a
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b
c
x
16
Operaciones con funciones continuas
Si f y g son continuas en a, entonces
también son continuas en a:
f+g
f-g
cf
c: constante
f.g
f
g
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si
g(a)  0
17
Funciones continuas importantes
Son continuas en todo número de su dominio:
polinomios
funciones racionales
funciones raíz
funciones trigonométricas
funciones trigonométricas inversas
funciones exponenciales
funciones logarítmicas
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18
Límite y continuidad de funciones compuestas
Si f es continua en b y lim g( x )  b , entonces:
x a
lim f  g ( x)  f lim g ( x)   f (b)
xa
 xa

Si g es continua en a y f es continua en g(a),
entonces
f g(x)  (f  g)(x)
es continua en a.
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19
Teorema del valor intermedio
Sea f continua en [a, b] y N un número
estrictamente entre f(a) y f(b). Entonces
existe (al menos) un número c en (a, b)
tal que f(c) = N.
y = f(x)
f(b)
N
f(a)
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
c
b x
20
Ejercicio 3, Pág. 128
y
-4
-2
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
2
4
6
x
21
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Secciones 2.5, páginas 119 - 130
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
22
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