Cálculo diferencial e integral de una variable
Clase 13.2
Integrales
Impropias
1
Integrales Impropias
Cálculo diferencial e integral de una variable
Vamos a extender el concepto de integral
definida para los siguientes casos:
A) Cuando los limites de integración son
infinitos o el intervalo de integración es
infinito.
B) Cuando la función no está acotada en
[a,b], es decir la función f presenta una
discontinuidad infinita en [a,b].
“Las integrales que responden a algunos de
estos dos casos se llaman Integrales
Impropias.”
2
Cálculo diferencial e integral de una variable
Tipo 1: intervalos infinitos.
El área de la región que esta bajo la curva es:
t
1
1
1
A(t )   2 dx     1 
1 x
x 1
t
t
1
y  2
x
x 1
A(t) <1, sin
importar que
tan grande sea t
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Cálculo diferencial e integral de una variable
1

lim A(t )  lim1    1
t 
t 
t

Área
área=
4/5
1
área=
área==2/3
1/2


1
t
1
1
dx  lim  2 dx
2
t 
x
x
1
4
Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de una integral impropia del tipo 1
a) Si existe

t
a
f (x) dx para todo número
f (x) dx
t  a, entonces  a f (x) dx  lim
t   1

t
Siempre y cuando exista este límite.
b

, entonces
b) Si existe
tb

b

t
f (x) dx para todo
número
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t 
t
5
Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de una integral impropia del tipo 1
Las integrales impropias de:


a
f (x) dx y

b

f (x) dx
Se llaman convergentes si existe límite y
divergente si no existe

a
c) Si  a f (x) dx y    f (x) dx son
convergentes, entonces



f ( x)dx  
a


f ( x)dx   f ( x)dx
a
6
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo:
Determine si la integral  1 dx es
1 x
convergente o divergente

7
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplo:
Evalúe
1
   1  x 2 dx

8
Cálculo diferencial e integral de una variable
Tipo 2: intervalos discontinuos
El área de la región es:
A(t )  
5
2
5
1
dx
dx  lim 
t 2
x2
x2
t
5
 lim 2 x  2   2 3
t 2
t
2
5
9
Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de una integral impropia del tipo 2
a) Si f es continua en a; b y discontinua en b

b
a
t
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t b
a
Siempre y cuando exista este límite.
b) Si f es continua en a; b y discontinua en a

b
a
b
f ( x)dx  lim  f ( x)dx
t a
t
Siempre y cuando exista este límite.
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Definición de una integral impropia del tipo 2
b
Las integrales impropias de:  a f (x) dx
Se llaman convergentes si existe el límite y
divergente si no existe
c) Si f tiene una discontinuidad en c y a < c < b, y
si son convergentes tanto

b
c
f (x) dx
c
Como  f (x) dx por definición:
a

b
a
f (x)dx 

c
a
b
f (x)dx   f (x)dx
c
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Cálculo diferencial e integral de una variable
Teorema de comparación (Sólo comentar)
Sean f y g funciones continuas y
f (x)  g(x)  0 cuando x  a

a) Si  f (x) dx es convergente, entonces
a


b) Si

a
g(x) dx es convergente.

a

g(x) dx es divergente, entonces

a
f (x) dx es divergente.
12
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