48 Ecuaciones Diferenciales
Ecuaciones diferenciales de Primer Orden.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Representar un modelo matemático como una
ecuación diferencial.
2. Utilizar la terminología asociada con las
ecuaciones diferenciales.
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Introducción a las Ecuaciones diferenciales
Crecimiento poblacional
Se considera que en condiciones de ambiente y suministro
alimenticio ilimitados, la rapidez con la cual crece una
población es proporcional al tamaño presente de dicha
población. Sea A la población inicial.
Ecuación diferencial que modela:
dy
dt
 ky , k  0 , y (0)  A
Función de crecimiento poblacional:
y (t )  Ae
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kt
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Ecuaciones diferenciales
Definición
Una ecuación diferencial es aquélla que contiene una función
desconocida y una o más de sus derivadas.
El orden de una ecuación diferencial es el correspondiente
a la derivada de orden más alto que se tenga en la ecuación.
Una función f es una solución de una ecuación diferencial, si
ésta se cumple cuando se sustituyen y = f (x) y sus derivadas en
ella, para todos los valores de x en algún intervalo I.
Resolver una ecuación diferencial es hallar todas las soluciones
posibles de ella, es decir, hallar la solución general de ella.
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Ecuaciones diferenciales
Resolver un problema con valor inicial es hallar una solución
de una ecuación diferencial que cumpla una condición inicial,
y (x0 ) = y 0 .
Forma general
La forma general de una ecuación diferencial de primer orden
es:
y'  f  x;y 
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Campos direccionales
Trace la grafica de la solución del problema de valor inicial
y' x  y
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y (0)  1
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Campos direccionales
Sea y ’ = F(x; y) una ecuación diferencial de primer orden,
donde F(x; y) es una expresión de x y y.
La ecuación diferencial dice que la pendiente de una curva
solución en un punto (x; y) sobre la curva es F(x; y).
Si se dibujan segmentos de recta cortos con pendientes
F(x; y) en varios puntos (x; y), el resultado se llama
campo direccional (0 campo de pendientes).
Estos segmentos de recta indican la dirección en la que
apunta una curva solución, así que el campo direccional
ayuda a ver la forma general de estas curvas.
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Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Ejercicios 9.1 y 9.2
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