21 Cálculo Diferencial e Integral de Una
Variable.
El Diferencial de una función.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Define el proceso de linealización de una función
en un número dado.
2. Calcula el diferencial de una función en un
número dado.
3. Interpreta geométricamente los conceptos de
incremento y diferencial.
4. Resuelve problemas
diferenciales
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
de
modelación
usando
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Aproximación Lineal
Definición
Usamos la recta tangente a f en el punto (a, f(a)),
como una aproximación a la curva y = f(x),
cuando x está cerca de a.
Recta tangente:
y  f  a   f '  a  x  a 
Definimos la linealización de f en a como:
L  x   f  a   f '  a  x - a 
Aproximación lineal de f en a:
a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
f x   L x 
cerca de a
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Ejemplo 1.
Encuentre la linealización de la función f  x   x
en a = 1 y úsela para aproximar 3 . 98 y 4 . 05
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Integral de Una Variable
 3
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Diferencial de una función
Definición
Se utiliza
Δx
= h:
Definimos el diferencial de una función f en a, como:
df  a   f '  a  x
Aproximamos el cambio o incremento de
f en a, mediante el diferencial de f en a,
cuando x está cerca de a:
f(a + h) - f(a)
f ’ (a) h
h
f(a+h) – f(a)
 f ’(a) h
Es decir:
Δf  a   df  a 
a
a+h
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Integral de Una Variable
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Diferencial de una función
Teorema
Consideremos la función:
f x   x
Se sabe que:
df  a   f   a  x
Así tenemos que: df a 
 x
y además
 x  dx
Por lo que podemos escribir:
df  a   f  a dx
En forma general:
df  x   f   x dx
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Integral de Una Variable
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Ejemplo 2
Sea f ( x )  x 3  x 2  2 x  1 compare los valores
de ∆y y dy si x cambia
(a) de 2 a 2.05.
(b) de 2.01 a 2.
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Ejemplo 3
Se midió el radio de una esfera y se encontró que
es 21 cm. con un posible error en medición de
0.05 cm. ¿Cuál es el error máximo al usar este
valor del radio para calcular el volumen de la
esfera? ¿Cuál es el error relativo?
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Integral de Una Variable
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Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Sección 3.10 – Pág. 252.
Ejercicios: 2, 3, 4, 11, 14, 16, 17, 20, 21,
34, 35, 36 y 38.
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