7 Derivadas de una función en un punto.
Derivadas
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
• Describe con sus palabras el concepto de
derivada.
• Interpreta geométricamente la derivada.
• Define la derivada de una función en un punto.
• Interpreta la derivada como una razón de cambio.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
La Pendiente de una Curva
¿Una curva tiene pendiente?
Entenderemos por pendiente de una curva a la
pendiente de la recta que más se asemeja (ajusta)
a la curva.
¿y cuál es esta recta?
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
El problema de la recta tangente
y
Q
y = f(x)
P
a
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
x
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
Q
y = f(x)
P
a
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
x
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
Q
P
a
x
Pendiente de la recta secante:
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
m PQ 
f x

 f a 
x - a
El problema de la recta tangente
y
y = f(x)
P
a
x
Pendiente de la recta tangente:
m P  lim
x a
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
f x

f a 
x - a
La recta tangente
Definición:
La recta tangente a la curva y=f(x) en el
punto P(a, f(a)) es la recta que pasa por P con
pendiente:
m  lím
xa
f  x   f a 
x -a
siempre que exista este límite.
Observación:
Haciendo h=x - a, luego h tiende hacia 0,
cuando x tiende hacia a. Es decir, la pendiente
de la recta tangente también se puede calcular
como:
f a  h   f a 
m  lím
h0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
s(a)
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a) s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a+h
t=a
o
Velocidad media en (a, a + h):
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s
s(a) s(a + h)
v media 
s( a  h )  s( a)
h
El problema de la velocidad instantánea
t=a
o
s
s(a)
Velocidad instantánea en t = a:
v ( a )  lim
h0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
s( a  h )  s( a)
h
La velocidad instantánea
Definición:
La velocidad instantánea v(a) en el instante
t = a se define como el límite de las
velocidades medias:
v ( a )  lim
s( a  h )  s( a)
h0
siempre que exista este límite.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
h
Definición:
La derivada de f en el número a, denotada como
f ’(a) se define como:
f ' a   lim
h0
f a  h   f a 
h
si el límite existe.
Observación:
1. Si existe la derivada f ’(a), se dice que f es
derivable en a.
2. Si no existe la derivada f ’(a), se dice que f no
es derivable en a.
3. La derivada de una función es un límite.
4. Para hallar el límite se requiere que la función
sea continua en el punto.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Interpretaciones de la derivada
Geométrica:
f ( a )
Pendiente de la recta tangente a la gráfica de
y = f(x) en el punto de abscisa a.
Mecánica:
v  a  Velocidad de una partícula cuya posición viene
dada por y = s(t) en el instante t = a.
General:
f ( a )
Razón instantánea de cambio de y = f(x) con
respecto a x cuando x = a.
f ' a   lím
Δx  0
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
 f a 
x
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Sexta edición
James Stewart
Sección 2.7.
Ejercicios 2.7 Pág. 151 - 152: 14, 17, 18, 19 y 20,22, 39,
41, 43,44, 49.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
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