Problemas de optimización.
DERIVADA
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Identifica los tipos de problemas de optimización.
2. Reconoce y pone en práctica las etapas para la
solución de los problemas de optimización.
3. Pone en práctica la prueba de la primera derivada
y resuelve problemas de optimización con la asesoría
del profesor.
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2
Prueba de la primera derivada
Prueba de la primera derivada para valores extremos
absolutos
Sea c un punto crítico de una función continua f
definida sobre un intervalo abierto.
a)Si f ’(x) > 0 para todo x < c y f ’(x) < 0 para
todo c < x, entonces f (c) es el valor máximo
absoluto de f.
b)Si f ’(x) < 0 para todo x < c y f ’(x) > 0 para
todo c < x, entonces f (c) es el valor mínimo
absoluto de f.
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Teorema del valor extremo
Para hallar los extremos absolutos de una
función f continua en [a, b]:
1
Halle los valores de f en los puntos
críticos de f en <a, b>.
2
Halle f (a) y f (b).
3
El mayor de los valores obtenidos en 1 y
2 es el máximo absoluto de f en [a, b]. El
más pequeño es el mínimo absoluto.
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Problemas De Optimización De Una Variable
Se tratan de problemas en lo cuales se
desea encontrar la solución optima
Una función
objetivo
Una o más
ecuaciones
de enlace
Un intervalo de
decisión
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Problema
1. Encuentre el área del rectángulo más grande que
se puede inscribir en un semicírculo de radio r.
Área
y
2x
(x,y)
y
x
-r
O
r
visualcalculus
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Problema
1. Encuentre el área del rectángulo más grande que
se puede inscribir en un semicírculo de radio r.
Área
r
rsenΘ
Θ
O
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rcosΘ
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Pasos para la solución
Pasos para la solución de problemas de optimización
1. Comprender el problema: ¿cuál es la incógnita? ¿cuáles
son las cantidades dadas? ¿cuáles son las condiciones
dadas?
2. Dibujar un diagrama e identificar en él las cantidades dadas
y requeridas.
3. Introducir una notación. Asignar símbolos a la cantidad que
se va a maximizar o minimizar y a las cantidades desconocidas.
4. Relacionar las cantidades conocidas y desconocidas medianecuaciones.
5. Eliminar variables hasta expresar la cantidad requerida en
términos de una variable.
6. Aplicar los métodos estudiados para hallar el máximo o el
mínimo absoluto de la cantidad requerida.
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Problema
2.Un granjero tiene 2400 pies de cerca y desea cercar
un campo rectangular que limita con un río recto.
No necesita cercar a o largo del río. ¿Cuáles son las
dimensiones del campo que tiene el área más
grande?
y
x
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Área
x
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Problema
3. Se va a producir una lata cilíndrica para que con
tenga 1000 cm3 de aceite. Encuentre las
dimensiones que minimizan el costo total del
metal para producir la lata, si el costo por cm2 es
de S/. 0,50.
Costo
h
r
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Problema
4. Encuentre el punto sobre la parábola y2=2x más
cercano al punto (1; 4).
2
Distancia
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x
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Problema
5. Un hombre está en un punto A sobre una de las riberas de
un río recto que tiene 3 km de ancho y desea llegar hasta el
punto B, 8 km corriente abajo en la ribera opuesta, tan rápido
como le sea posible. Podría remar en su bote, cruzar el río
directamente hasta el punto C y correr hasta B; podría remar
hasta B o, en última instancia, remar hasta algún punto D,
entre C y B y luego correr hasta B. Si puede remar a 6 km/h y
correr a 8 km/h, ¿dónde debe desembarcar para llegar a B tan
pronto como sea posible?
Tiempo
8 km
C
D
B
3 km
A
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Problema
6. Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30
pies. Hay que conectarlos mediante un cable que
este atado en algún punto del suelo entre ellos.
¿En qué punto ha de amarrarse al suelo con el
fin de utilizar la menor cantidad de cable
posible?
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Problema
7. Dos aviones A y B vuelan a la misma altura
horizontalmente tal como lo muestra la figura. Si
la velocidad de A es 16 km/min y la de B es 20
km/min, determine en cuántos segundos los
aviones estarán lo mas cerca posible y a qué
distancia.
20 km
N
A
20 km
B
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E
W
S
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Problema
8. Un hotel cobra $ 80 por habitación, y da precios
especiales a grupos turísticos que reserven
entre 30 y 60 habitaciones. Si se ocupan más de
30 cuartos, el precio por habitación disminuye
en $ 1 por cada cuarto arriba de los 30. ¿Cuál es
el tamaño del grupo que aporta al hotel una
ganancia máxima si cada cuarto ocupado le
cuesta al hotel $ 6 cada día por limpieza y
mantenimiento?
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Problema
9. Para la construcción de una obra, hay que llevar
tramos de tuberías a través de un pasillo cuya
vista en planta se acompaña. Para minimizar el
número de empates posteriores, se quiere que
los tramos de tubo sean los mayores posibles.
¿Qué longitud deben tener?
3m
2m
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Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Sección 4.7
Ejercicios 4.7 pág 334:
7, 8, 11, 12, 15, 17.
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