Teorema de los Senos
En todo triángulo ABC
C
a
b
A
B
c
se cumple que:
a
sen Aˆ

CURSO 2007-2008
b
sen Bˆ

c
sen Cˆ
Demostración
Todo triángulo ABC se puede descomponer en dos
triángulos rectángulos:
C
ADC
b
DBC
a
h
A
B
c D
CURSO 2007-2008
Demostración
En el triángulo DBC se cumple que:
C
b
ˆ  h
sen B
a
ˆ
h  a ·sen B
a
h
A
B
ˆ
h  b ·sen A
c D
Y en el triángulo ADC se cumple que:
CURSO 2007-2008
h
ˆ
sen A 
b
Demostración
ˆ  h
sen B
a
ˆ
h  a ·sen B
ˆ
ˆ  b ·sen A
a ·sen B
ˆ
h  b ·sen A
a
sen Aˆ

b
sen Bˆ
La doble igualdad se completa tomando, en el triángulo ABC, la
altura sobre otro lado y reiterando el razonamiento
ˆ  h
sen A
b
CURSO 2007-2008
Demostración
Consideremos ahora la altura, h´, sobre el lado AC
Los ángulos

y

son suplementarios y
Cˆ  
por lo que en el triángulo CBD es
C
h´
sen Cˆ  sen  
a
y en el triángulo ABD

h´
sen Aˆ 
c

D
b
a
h´
A
B
c
igualando los valores de h´
ˆ
a ·sen Cˆ  c ·sen A
Cumpliéndose que
a
sen Aˆ
CURSO 2007-2008
y

a
ˆ
sen A
b
sen Bˆ


c
sen Cˆ
c
sen Cˆ
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