Novena Sesión
Partícula en un paralelepípedo de
potencial
Resumen
• Parámetros característicos de las ondas
• Espectro electromagnético
• Espectros de absorción y de emisión de
los átomos
• Radiación de un cuerpo negro
• Efecto fotoeléctrico: fotón
• Cuantización
Resumen 2
• Modelo Atómico de Bohr
– Átomos hidrogenoides.
– Es un modelo nuclear.
– Cuantización del momento angular del
electrón.
– Cuantización del radio de las órbitas
– Cuantización de la energía del electrón.
– Niveles de energía.
– Energías de ionización.
– Transiciones electrónicas. Espectros.
Resumen 3
• Antecedentes de la Teoría Cuántica
Moderna
– Hipótesis de De Broglie
– Principio de Incertidumbre de Heisenberg
• Postulados de la Mecánica Cuántica
– 1. Función de onda.
– 2. Operadores. La ecuación de Schrödinger.
– 3. Significado físico del cuadrado de la
función de onda. Densidad de probabilidad.
Partícula en un pozo de
potencial unidimensional
 h
E  n 
 8 ma
2
2
2


 ; n  Z

La energía de una partícula en un
pozo de potencial está cuantizada
Energías positivas porque es pura
energía cinética.
El número cuántico también aparece
en la función de onda
 ( x )  Asen  x
Pero  
n
;
a
 ( x )  Asen
n
a
Pues si, porque…
x
1

 2 2
 1 ( x)    sen
x
a
a
1
2
 2 2
 2 ( x)    sen
x
a
a
1
3
 2 2
 3 ( x)    sen
x
a
a
1
4
 2 2
 4 ( x)    sen
x
a
a
• Los números cuánticos surgen de las
restricciones físicas al movimiento.
• A mayor energía, mayor es el
número de nodos en la función de
onda.
• La función de onda no tiene
significado físico. Su cuadrado es
una densidad de probabilidad.
Partícula en un
paralelepípedo de potencial
V=
c
V=0
b
a
ˆ
H  E
 ( x, y, z )
Hˆ  ( x , y , z )  E  ( x , y , z )
 2

2
ˆ (x, y.z)  ( x , y , z )  E  ( x , y , z )



V


 2m

 fuera ( x , y , z )  0
Separación de variables
• Dentro: V=0
• Proponemos
 ( x , y , z )   x (x)  y (y)  z (z)
• Y podemos resolver 3 problemas
en una sola dimensión (ya lo
hicimos antes para la partícula en
una dimensión).


2
d
2
2m dx
2
2
2

d
2
 ( y )  E y ( y )
2
 ( z )  E z ( z )
2m dy


2
d
2m dz
 ( x )  E x ( x )
2
1
n x
 2 2
 n ( x)    sen
x
a
a
1
2
 n ( y)    sen
b
2
1
n y
y
nx,ny,nz  Z

Ey 
b
n z
2
 n ( z)    sen
z
c
c
2
Ex 
Ez 
2
x
n h
8ma
2
y
2
2
n h
2
8mb
2
2
z
n h
2
8mc
2
nx,ny,nz  Z

Así, la función de onda total será el
producto de las tres funciones (una
por cada coordenada):
 n ( x, y, z )   n ( x)  n ( y)  n ( z)
1
1
1
n y
n x  2  2
n z
 2 2
 2 2
 n ( x, y, z )    sen
x    sen
y    sen
z
a
b
c
a
b
c
nx,ny,nz  Z

Y la energía total será la suma de las
energías para cada coordenada:
Et  Ex  Ey  Ez
2

n
h n
nz 

Et 
 2  2
8m  a
b
c 
2
2
x
2
2
y
nx,ny,nz  Z

Aparecen 3 números
cuánticos
• Uno por cada restricción al movimiento
(restricción en x, restricción en y
restricción en z).
V=
c
V=0
b
a
Cubo de potencial
• Para un cubo: a=b=c
Et 
h
2
8ma
2
n
2
x
n n
nx,ny,nz  Z
2
y

2
z

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

• Para el mismo nivel de energía
aparecen tres diferentes estados.
• Hay 3 estados distintos del sistema
con la misma energía.
• Se llaman: niveles degenerados.
Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

Et 
h
2
8ma
2
n
nx,ny,nz  Z
2
x

 ny  nz
2
2

• El siguiente nivel de energía tendría
una energía de 14E0 y una
degeneración de 6:
(1,2,3); (1,3,2); (2,1,3); (2,3,1); (3,1,2) y
(3,2,1)
¿Qué pasaría si alargáramos el cubo en la
dirección “y”?
V=
V=
a
a
V=0
V=0
b>a
a
a
Cubo
a
Prisma cuadrangular
2
2
2


n
h nx
n
y
z

Et 
 2  2
2
8m  a
b
a 
2
Como b>a baja la energía
2
2
2


n
h nx
n
y
z

Et 
 2  2
2
8m  a
b
a 
2
Se rompe la degeneración
2
2
2


n
h nx
n
y
z

Et 
 2  2
2
8m  a
b
a 
2
2
2
2


n
h nx
n
y
z

Et 
 2  2
2
8m  a
b
a 
2
• Si se rompe la simetría se rompe la
degeneración.
• El cubo es más simétrico que el prisma
cuadrangular.
¿Y si ahora lo alargáramos en la dirección
“z”?
V=
V=
a
c
V=0
V=0
b
b
a
Prisma cuadrangular
a
Prisma rectangular
2
2
2


n
h nx
n
y
z

Et 
 2  2
2
8m  a
b
c 
2
Se vuelve a romper la
degeneración.
El prisma cuadrangular
es más simétrico que
el prisma rectangular.
(2,1,1)
(1,1,2)
(1,2,1)
(1,1,1)
• ¿Qué pasaría si quisiéramos
graficar la función de onda para el
paralelepípedo?
1
1
1
n y
n x
n z
 2 2
 2 2
 2 2
 n ( x, y, z )    sen
x    sen
y    sen
z
a
b
c
a
b
c
• ¿Qué pasaría si quisiéramos
graficar la función de onda para el
paralelepípedo?
1
1
1
n y
n x
n z
 2 2
 2 2
 2 2
 n ( x, y, z )    sen
x    sen
y    sen
z
a
b
c
a
b
c
• No se puede
Función de una Variable
f(x)
x
Función de una Variable
f(x)
Líneas
x
Función de dos Variables
f(x,y)
x
y
Función de dos Variables
f(x,y)
Sábanas
x
y
Por ejemplo
Funciones de onda para un
cuadrado de potencial
Función de tres Variables
z
x
y
Función de tres Variables
z
¿Dónde pongo
f(x,y,z)?
x
y
• Los números cuánticos surgen de
las restricciones al movimiento de
las partículas.
• Aparecen tantos números
cuánticos, como restricciones al
movimiento.
• Niveles degenerados.
• Si se rompe la simetría, se rompe
la degeneración.
• No sé graficar funciones de 3
variables.
Tarea 28
• Calcular la energía de los tres primeros
niveles para un protón que se
encuentra confinado en un pozo de
potencial unidimensional de 10 Å de
longitud.
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Sesión 9