Trigonometría del
círculo - parte 1
• Un círculo con
centro en el
origen de un
sistema de
coordenadas
rectangulares
y con radio
igual a 1 se
llama un
círculo
unitario.
• Si el punto
P(x,y) pertenece
al círculo
unitario, y el
segmento OP es
un radio,
entonces OP
intercepta un
arco dirigido q
va desde el eje
de x hasta P
(arco S).
• El arco
interceptado,
arco S, tiene
la misma
medida que el
ángulo central
ϴ.
En el círculo unitario
definimos
• sin(s) = sin(ϴ) como
la distancia, y, vertical
desde P hasta el eje
de x.
• Similarmente,
definimos
cos(s)=cos(ϴ) como
la distancia horizontal
desde el origen hasta
la coordenada en x
del punto P.
Arco s
• Si el círculo NO
es unitario,
entonces NO es
de radio 1.
• En este caso, se
determina el
seno y el coseno
del ángulo
central utilizando
el triángulo recto
imaginario que
se forma y las
razones que
estudiamos para
el triángulo recto.
Radio = 3
Vimos anteriormente que
en un triángulo recto:
sin(  ) 
opuesto
hipotenusa
cos(  ) 
adyacente
hipotenusa
Utilizando el triángulo
recto imaginario
podemos traducir estas
razones a:
y
sin(  ) 
r
cos(  ) 
x
r
Similarmente podemos
usar el triángulo recto
imaginario que se forma
dentro del círculo para
determinar las otras 4
razones
trigonométricas:
tan(
sec(  ) 
cot(  ) 
csc(
op
hip

ry
ady
x
ady
hip
rx
op
op

yy
Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
sin(  ) 
cos(  ) 
tan(  ) 
y

2
r
2
x
2

r
2
y
2
x

2
P
1

2,
2

Ejemplo 1: Dado un círculo con radio igual a 2,
y el punto P, hallar los valores de las 6 razones
trigonométricos.
csc(  ) 
sec(  ) 
cot(  ) 
r

2

2 2
y
2
2
r
2
2 2

x
2
x
2
y

2

2
1

2

2
P

2,
2

EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.
Sabemos que:
•el radio es 1
3 4
3
P , 
•x= 5
5 5
4
•y=
y
5

•Por lo tanto,
sin(  ) 
tan(  ) 
4
5
y
x
x
cos(  ) 
3
5

4
3
EJEMPLO 2: El punto P(x,y) se muestra en una
circunferencia unitaria. Encuentre los valores de las
razones trigonométricas del ángulo central que se
muestra.
Las relaciones recíprocas son:
csc(  ) 
5
sec(  ) 
4
3 4
P , 
5 5
5
3
y

x
cot(  ) 
x
y

3
4
Práctica
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.
 5 12 
P

13
,
13


P 15 , 8 
Radio = 1
Radio = 17
Soluciones
• Hallar los valores de las 6 razones
trigonométricas en los siguientes círculos.
 5 12 
P

13
,
13


cos   
sin   
tan   
sec   
csc   
Radio = 1
cot   
cos   
5
13
12
P 15 , 8 
13
12
sin   
tan   
5
13
sec   
5
13
12
5
12
csc   
Radio = 17
cot   
15
17
8
17
8
15
17
15
17
8
15
8
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Trigonometría del círculo unitario