Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva,
excluyendo al origen. En coordenadas polares la
transformación es:
( r ,  )  (1 / r ,  )
Una inversión en el círculo
unidad (lo de fuera pasa
adentro y al contrario) seguida
de una reflexión respecto al eje
x.
Las circunferencias de radio r
se convierten en
circunferencias de radio 1/r. En
particular, una circunferencia
de radio unidad permanece
1
( r ,  )  (1 / r ,  )
f(z) = 1/z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
Biyección
"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a
microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor
2
Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
f (z) 
1

z
x  iy 
x
u  iv
u
u v
2
2
x
x  y
2
x  iy
1
y simétricam
u
1
2

; y
 u ( x , y )  iv ( x , y );
u
u v
2
i
2
v
u v
2
2
;
v
u v
2
2
ente :
;v
y
x  y
2
2
3
Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación
f(z) = 1/z?
f (z) 
1

z
1
x  iy
 u  iv ; x  iy 
La recta a transforma
x
u
u v
2
u v 
2
2
2
u
c
 c; y  
u  iv

u
u v
2
r es : x  c ( y   cualquier
v
u v
2
2
 0;
1
2
2
i
v
u v
2
2
;
valor )
 ;
1 

 1 
2
u 
 v 

2c 

 2c 
2
Es decir, un círculo de centro (1/(2c),
0) que pasa por el origen.
El semiplano x > c se transforma en el
interior del círculo.
4
Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta
en el plano z en la forma:
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
(a, b, c, d   )
2
a  0  ecuación
de un círculo
a  0  ecuación
de una recta
Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
x
2
u
u v
2
2
; y
v
u v
2
2
2
2

u
u
v

 v  
a  2
 2
b 2
c 2
d 0
2 
2  
2
2
u v
u v
 u  v  
  u  v 
a  bu  cv
u v
2
2
d 0
d ( u  v )  bu  cv  a  0
2
2
5
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
2
a  0  ecuación
a  0  ecuación
de un círculo
Se transforma bajo 1/z en:
d  0  ecuación
(a, b, c, d   )
de una recta
d ( u  v )  bu  cv  a  0
de un círculo
2
2
d  0  ecuación
de una recta
(1) a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro
se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro
se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el
centro se transforman en círculos que pasan por el
centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman
en rectas que pasan por el centro.
De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z
transforma círculos en círculos.
6
u = 1/a
u = -1/b
b = 0; u = -v
b distinto de 0; en
circunferencias.
v = -ku
circunf.
u2 = -v3 /(1+v)
7
Transformaciones bilineales o de Möbius
M (z)  w 
az  b
cz  d
( ad  bc  0 , a , b , c , d  C )
La transformación inversa es
también bilineal:
M
1
(w)  z 
 dw  b
cw  a
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c.
Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.
El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
8
Cuando c  0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y
entonces:
lim T ( z )   ,
z  z0
Escribirem
os T ( z 0 )   . Si, además,
lim T ( z )  lim
z 
z 
ab/z
cd /z

a
c  0 , entonces
,
c
y escribirem os T (  )  a / c .
Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
T ( 0 )  1 /(  i )  i , T (  )  lim T ( z )  2 ,
z 
T ( i )  lim T ( z )   , T ( i )  
zi
9
¿Cómo transforma la bilineal?
d  
ad 

a z     b 

az  b
c 
c  a

f (z)  w 

 
d 
cz  d
c

c z  
c

z '  cz  d
z''
1
z'
ad 

b 

a 
c 

c
z'


a
c

bc  ad 
ad 

b 

c 

cz  d
De modo que cualquier
transformación bilineal
puede obtenerse como
una composición de una
transformación lineal
y una transformación 1/z.
z''
c
Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de
círculos y líneas en sí mismo.
10
b) Determinar la imagen de la región z  2  2 , al
z
considerar la transformación:
f (z) 
2z  8
f (z) 
z
2z  8

1
2

2
C: z2 2
z4
2
z' z  4
Re(z)
4
( traslación )
z ' 6  2
2
4
6
8
Re(z')
Examen
JUNIO 04/05: P11
1
f (z) 
1
2
z''

z
2z  8
2

1
2

2
C: z2 2
z4
C : z ' 6  2
z'
Recordemos cómo actúa la inversión:
1
z'
a ( x  y )  bx  cy  d  0  d ( u  v )  bu  cv  a  0
2
2
2
2
z ' 6  2  ( x  6 )  y  2  ( x  y )  12 x  32  0 
2
2
2
2
2
2
3 
1

2
 32 ( u  v )  12 u  1  0   u 

 v 
2
16 
16

2
 z ' '
3
16
2

1
z ' '
16
16
...exterior del círculo...
3
3/16 1/4

1
16
Re(z'')
12
f (z) 
1

2
1
2
z
2z  8

8

2
C: z2 2
z4
C : z ' 6  2
z'
 2 z''
z ' '
3
16
z''' 2z''
z ' ' '

2
2
3
1
( homotecia

1
16
)
1
8
...seguimos en
el exterior del círculo...
3/8
1/2
Re(z''')
13
i
Z   z''' e z'''
( giro de todos los afijos 180º ,
manteniend
Z 
3

8
w
claro )
1
8
-1/2
1
o el módulo,
Z
Re(Z)
-3/8
( traslación )
2
w
1
8

1
8
1/8
1/4
Re(Z)
14
Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0.
Encontrar la imagen del semiplano infinito
superior bajo la transformación bilineal:
w
za
za
Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el
eje x, tenemos:
| z  a | | z  a |
| w |
|za|
|za|
1
De modo que el eje x
se transforma en el
círculo unidad con
centro en el origen.
z = a se transforma en
w = 0 (un punto interior
del círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que
la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.
15
16
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complemento clase 3 numeros complejos 2