El número Π
Qué es el número Π?
Fórmulas que contienen el número Π
Problema de la cuadratura del círculo
Aplicaciones del número Π
¿
¿Qué es el número Π?
π es la relación entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro, en geometría
euclidiana. Es un número irracional y una de las
constantes matemáticas más importantes. Se
emplea frecuentemente en matemáticas, física e
ingeniería. El valor numérico de π, truncado a
sus primeras cifras, es el siguiente:
π≈3,14159265358979323846…
Fórmulas que contienen el número Π
En geometría

Longitud de la circunferencia
L=2πr
Áreas:

Área del círculo de radio r
A = π r²

Área de la elipse con semiejes a y b
A = π ab
Ecuaciones expresadas en radianes

Ángulos: 180 grados son equivalentes a π radianes.
Fórmulas que contienen el número Π
Áreas de cuerpos de revolución:
 Área del cilindro
A=2 π r ² + 2 π r h


Área del cono
A=π r² + π r g
Área de la esfera
A=4 π r²
Fórmulas que contienen el número Π
Volúmenes de cuerpos de revolución:
 Volumen de la esfera de radio r:
V = (4/3) π r³


Volumen de un cilindro de radio r y altura h
V = π r² h
Volumen de un cono de radio r y altura h
V = π r² h / 3
Fórmulas que contienen el número Π
En probabilidad




La probabilidad de que dos enteros positivos escogidos al azar sean primos
entre sí es: 6/π²
Si se eligen al azar dos números positivos menores que 1, la probabilidad
de que junto con el número 1 puedan ser los lados de un triángulo
obtusángulo es: (π-2)/4
El número medio de formas de escribir un entero positivo como suma de
dos cuadrados perfectos es π/4 (el orden es relevante)
Experimento de la Aguja de Buffon: si lanzamos al azar una aguja de
longitud L sobre una superficie en la que hay dibujadas líneas paralelas
separadas una distancia D, la probabilidad de que la aguja corte a una línea
es: Dπ/2L
Fórmulas que contienen el número Π
En Análisis Matemático
Fórmula de Leibniz:
Producto de Wallis:
Fórmulas que contienen el número Π
Identidad de Euler:
Euler:
Fórmula de Stirling:
Fórmulas que contienen el número Π
Área bajo la campana de Gauss
Una representación de Π como suma de fracciones
Fórmulas que contienen el número Π
Problema de Basilea, resuelto por Euler en 1735
Euler
Fórmulas que contienen el número Π
Expresión de Π como desarrollo en series
Fracciones con representación aproximada a Π
Problema de la cuadratura del círculo
Se denomina cuadratura del círculo al problema
matemático consistente en hallar — con sólo
regla y compás — un cuadrado que posea un
área que sea igual a la de un círculo dado.
Problema de la cuadratura del círculo
Si queremos resolver el problema, por
ejemplo para un círculo de radio r=1,
tenemos que el área del círculo sería
π·1²= π, por lo que el área del cuadrado
debería ser también π, es decir, que l²= π,
es decir, que entonces debe ser l =√Π
Problema de la cuadratura del círculo
Pero π es un número trascendente, y estos
números cumplen, entre otras, la
propiedad de que no pueden ser
calculados con sólo regla y compás. Como
π es trascendente, √Π también lo es, y de
ahí que este problema no pueda
resolverse con sólo regla y compás
Aplicaciones del número Π





Pi en los deportes
Una espiral formada por semicírculos
La forma del delfín
El área del círculo perdido
Formas de cortar una pizza en tres partes
iguales



Trozos tradicionales
Trozos concéntricos
Trozos de fantasía
Aplicaciones del número Π

Π en los deportes
¿Alguna vez se te ha pasado por la cabeza que
en las carreras de atletismo el atleta que corre
por la calle de dentro tiene ventaja sobre los
demás atletas porque recorre menos metros?
El recorrido de los atletas estándar es de 400
metros y la anchura de cada calle es de 1,25
metros, y el recorrido se compone de dos
tramos rectos y dos semicirculares.
Aplicaciones del número Π
Calle 1=2·a+ 2Π(r+0,2)=2·a+2Πr+ 2Π·0,2
Calle 2=2·a+ 2Π(r+b+0,2)=2·a+2Πr+2Πb+2Π·0,2  2Πb
metros de ventaja
Calle 3=2·a+ 2Π(r+2b+0,2)=2·a+2Πr+4Πb+2Π·0,2 
4Πb metros de ventaja
Calle 4=2·a+ 2Π(r+3b+0,2)=2·a+2Πr+6Πb+2Π·0,2 
6Πb metros de ventaja
Aplicaciones del número Π
Sustituyendo los datos que teníamos de partida, a= 100 m,
b=1,25 m, por lo tanto, como el recorrido ha de ser de
400 m, tenemos que 2·a+2Πr+ 2Π·0,2= 400 de donde
r=(500-Π)/(5 Π)≈31,63 m
Las ventajas de los demás atletas serían las siguientes:
El de la Calle 2 tendrá una ventaja= 2Πb ≈7,85 m
El de la Calle 3 tendrá una ventaja= 4Πb ≈15,71 m
El de la Calle 4 tendrá una ventaja= 6Πb ≈23,56 m
Aplicaciones del número Π

Una espiral formada por semicírculos
Vamos a medir la longitud de la espiral y el área de la
espiral en la siguiente figura formada por semicírculos
cuyos puntos M0 y Mu están a una distancia a y son,
respectivamente, los centros de los semicírculos:
Aplicaciones del número Π
Aplicaciones del número Π
La longitud de de la espiral es la suma de todos los
b= Πa+ 2Πa+ 3Πa+ 4Πa+ 5Πa+ 6Πa+ 7Πa+
8Πa+ 8Πa=44Πa
Para comprobar que hemos hecho bien las áreas
de los semianillos vamos a sumar las áreas de
cada uno de ellos, con que deberíamos obtener
el área del círculo grande:
Πa²1/2+ 2Πa²+ 4Πa²+ 6Πa²+ 8Πa²+ 10Πa²+
12Πa²+ 14Πa²+ Πa²15/2=64Πa²= Π(8·a)²
Aplicaciones del número Π

La forma del delfín
Vamos a calcular el área y el perímetro de la figura
que presentamos a continuación a la que
llamaremos forma del delfín, donde el lado de
cada cuadrado es de longitud a
Aplicaciones del número Π
Para ello, nos ayudamos de la figura completa:
El perímetro es, por lo tanto, ¼·2Πa+ ¼·2Πa+ ¼·
2Π(2·a)+ ¼· 2Π(2·a)= 3Πa
Aplicaciones del número Π
Vamos a calcular ahora el área del “delfín”:
El área del segmento coloreado para un radio r cualquiera
es ¼Πr²-r²/2=(Π-2)r²/4
Aplicaciones del número Π
Por tanto
Área S1 + Área S2= (Π-2)(2·a)²/4 + (Π2)(2·a)²/4 = 2(Π-2)a²
Área S3 + Área S3= (Π-2)a²/4 + (Π-2)a²/4 =
½(Π-2)a²
Por tanto, tenemos que el área del “delfín”
es
2(Π-2)a² - ½(Π-2)a² = 3(Π-2)a²/2
Aplicaciones del número Π

El área del círculo perdido
Supongamos que tenemos cuatro trozos de cuerda iguales. Con
el primero formamos un círculo, el segundo lo cortamos en
dos partes iguales para formar dos círculos iguales, el tercer
trozo lo cortamos en tres partes iguales y formamos tres
círculos, y de forma similar formaríamos cuatro círculos con el
cuarto trozo
Aplicaciones del número Π
Aplicaciones del número Π
Por lo tanto, concluimos a partir de la tabla
que la suma de las longitudes de las
circunferencias es siempre la misma, pero
las áreas son más pequeñas cuantos más
círculos formemos con el trozo de cuerda,
¡algo que aparentemente no esperábamos
que ocurriese!
Aplicaciones del número Π

Formas de cortar una pizza para tres
personas en partes iguales
Aplicaciones del número Π

Trozos tradicionales
Es la forma más sencilla y más utilizada para cortar las
pizzas. Basta con que cada trozo de pizza tenga el
ángulo interior de 120º. Una forma sencilla de hacerlo
consistiría en tomar una cuerda y colocarlo alrededor de
la pizza. Después, cortamos la cuerda en tres partes
iguales para tener los extremos de cada trozo de pizza
Aplicaciones del número Π

Círculos concéntricos
El problema consiste en hallar, sabiendo el radio de la pizza
r, los radios r1 y r2 de manera que las tres áreas sean
iguales.
Aplicaciones del número Π
El área del círculo interior es la más
sencilla=πr1²
El área del anillo BC sería πr2² - πr1²
El área del anillo AC sería πr² - πr2²
Igualamos las tres áreas y resolvemos el
sistema de ecuaciones con lo que
obtenemos que r1=r√3/3 y que r1=r√6/3
Aplicaciones del número Π

Trozos de fantasía
Dado el radio del círculo r, buscamos hallar r1 y r2 de
manera que el segmento AB quede dividido en tres
partes iguales, de donde concluimos que r1=2r/3 y
r2=r/3
Aplicaciones del número Π
Vamos a calcular el área de la lágrima de
abajo=ÁreaSC(M)-ÁreaSC(M1)+ÁreaSC(M2)= Πr²/2 2Πr²/9 + Πr²/18= Πr²/3
Por tanto, podemos trazar otra lágrima de igual
área en la parte superior y la pizza nos quedaría
así:
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El número Π