2. Funciones de variable compleja
Gary Larson
1
Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es
cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano
complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación
cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior
de un círculo, etc.
¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?
  Arg z  
La ecuación Arg z=  define una semirecta infinita de pendiente
. Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito
comprendido entre las semirectas infinitas Arg z=  y Arg z= .
  Arg( z  z o )  
(...)
2
3
4
Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de
S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que
pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un
círculo o un cuadrado.
El complementario de un conjunto de puntos S es el
conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S.
Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su
complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de
una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus
complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia o
al cuadrado) son abiertos.
5
La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un
círculo C de radio  y centrado en a, puede expresarse como:
|z-a| = 
y
z
¿C es abierto o cerrado?

a
y
x
En particular, el círculo de radio unidad
centrado en el origen puede escribirse
como:
|z| = 1
i
x
1
6
Los puntos dentro del círculo C vienen representados por:
|z-a| <  (un entorno abierto centrado en a).
z
y
B ( a ,  )  { z  C / | z  a |  }

a
0 < |z-a| <  define un entorno punteado
x
y
z
o reducido.

|z-a|   define un entorno
circular cerrado centrado en a.
a
x
7
y
1
a
El anillo abierto de radios 1 y 2, viene
2
dado por:
1 < |z-a| < 2
x
8
(1) Determina la región en el plano complejo dada por:
|z-3-i| ≤ 4
Es la región circular cerrada de radio 4
con centro en 3+i.
y
4
3+i
x
(2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1
(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.
9
Re(z)  1 (No es un conjunto abierto).
10
11
¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?
| z  2 |  | z  2 | 5
Una elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a
los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2).
Ejercicio: ¿Qué representan las
siguientes ecuaciones?
( a ) | z  a |  | z  b | c
-2
2
( b ) | z  a |  | z  b | c
( c ) | z  a |  | z  b | c
12
¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones:
( d ) | z  a |  | z  b | c
( e ) | z  2 | Re( z )  3
( f ) | z  i | Im z  1
Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.
13
• Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que
podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos
pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo.
• Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que
todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a
S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman
la frontera de un círculo.
• Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de
puntos S, entonces es un punto exterior a S.
• Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo
puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos
frontera.
• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen
algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado.
• El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee
14
puntos frontera.
• Una región es un conjunto formado por un dominio, más,
quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado:
algunos autores usan región para indicar dominio).
• Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de
algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado.
• Un punto de S se dice que es de acumulación si cada
entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S.
Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de
acumulación.
• Un punto no es de acumulación si existe un entorno
punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.:
Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de
acumulación a excepción del cero.
15
Semiplanos infinitos
y
Semiplano superior: el conjunto de todos los
puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0.
x
Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0.
y
x
Derecho:
z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0.
y
x
y
Izquierdo:
z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0
x
¿Qué regiones describen?
(a) Im(z) = 0, (b) Im(z) = a,
(c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a
16
17
Conjuntos de Julia
Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H.
Hubbard en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja (y
más específicamente en z  z2 + c ), me preguntaban: ¿Esperas
encontrar alguna cosa nueva?
Adrien Douady
Iteración: z n  1
Condición inicial y órbita:
z , ( z ) , ( z )
2
0
0
 ,...   z
 z
2 2
0
0
2
n
, z 1 , z 2 ,... 
Gaston Maurice Julia
1893 - 1978
Utilizando la identidad de Moivre:
z 0  r (cos   i sin  )
r (cos   i sin  ), ( r (cos   i sin  ))
r (cos   i sin  ), r
2
2

 ,...  
4 ),... 
, ( r (cos   i sin  ))
(cos 2  i sin 2 ), r (cos 4  i sin
4
2 2
18
En el paso enésimo tendremos:
n
z n  r [cos( 2 n  )  i sin( 2 n  )]
2
Si comenzamos con un número complejo de módulo r < 1,
sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor
r = 0 para n infinito.
Al contrario, si r > 1 el módulo aumentará exponencialmente,
tendiendo a infinito.
El caso frontera, r = 1, mantendrá los valores de la iteración
en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo.
19
De modo que todos los puntos del plano complejo
pertenecen a uno de estos dos conjuntos:
(a) Si escapan al infinito (r > 1): conjunto de escape E.
En este caso los puntos exteriores del círculo unidad.
(b) Si permanecen recluidos
en una región finita (r  1):
conjunto prisionero P.
En este caso el círculo unidad
cerrado.
La frontera de P (r = 1) es
el conjunto de Julia de esta
iteración: la circunferencia unidad.
20
Julia centró sus estudios en el
conjunto de iteraciones cuadráticas:
z n 1  z  c
2
n
Fijado el parámetro complejo c establecemos una iteración
cuadrática en concreto.
Sumar c = a + ib, consiste en
una traslación.
Al potenciar el módulo, la iteración
nos manda al origen o al infinito,
Elevar al cuadrado implica
excepto para el módulo de valor 1
multiplicar el ángulo por dos.
(con c = 0).
21
c = 0.275
c = 1/4
c=0
c = -3/4
c = -1.312
c = -1.375
c = -2
c=i
c=(+0.285,+0.535)
c=(-0.125,+0.750)
c=(-0.500,+0.563)
22
c=(-0.687,+0.312)
¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo
pertenece o no al conjunto de escape Ec?
Existe un sencillo criterio:
Si |z|  |c| y |z| > 2, entonces z es un punto de
escape de la iteración zn+1 = zn2 + c.
Supongamos que definimos r(c) = max (|c|, 2), y
que se cumplen las condiciones del criterio.
Entonces, existe un  > 0 tal que r(c) = 2 +  y
|z|  r(c).
23
Observemos que:
|z2 + c|  |z2| - |c| = |z|2 - |c|  |z|2 - |z| = (|z| - 1)·|z|
Recordemos que |z|  r(c) = 2 +  . Entonces:
(|z| - 1)·|z|  (1 + )·|z|.
En conclusión, si z cumple las condiciones previas,
entonces: |z2 + c|  (1 + )·|z|.
De modo que en cada iteración el módulo del nuevo
valor crece.
24
Curso de fractales en nuestra página del departamento:
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.html
•Fractint/Winfract
•Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación
de fractales más usado por la comunidad de ciberartistas que
experimentan con fractales.
•Puedes bajarte una versión de evaluación en
http://www.ultrafractal.com/, la página oficial del programa.
•No te pierdas la galería de imágenes en:
http://www.ultrafractal.com/showcase.html.
Te harás una idea de las posibilidades de UF.
Ejecutar Ultrafractal localmente.
25
Conjuntos conexos
Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden
conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S.
Un abierto conexo se denomina dominio (en algunos textos se denomina
región). P.ej.: todo entorno es un dominio.
¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios?
Un anillo
y
abierto
Un
disco
abierto
y


1

2

a
a
x
x
y

Un cuadrado abierto
sin diagonal.
x
No existe camino entre
el triángulo inferior y el
triángulo superior.
26
Teorema:
Cualesquiera dos puntos de
un dominio pueden unirse
por medio de una línea
poligonal contenida en el
dominio.
27
El conjunto de Mandelbrot
Benoit Mandelbrot
(1924 -)
28
z n 1  z  c
2
n
29
z n 1  z  c
2
n
El valor de c determina si un conjunto de Julia es
conexo o no.
Para determinar qué valores de c producen conjuntos
de Julia conexos parece que no quede más remedio
que determinar cada conjunto iterando todos los puntos
del plano complejo para cada función z2 + c.
Afortunadamente, se puede demostrar que basta
con iterar z0 = (0, 0) para cada c.
30
Si la órbita con semilla z0 = (0, 0)
no escapa al infinito,
entonces el conjunto de Julia es
conexo.
El conjunto de todos los valores c
tales que sus
correspondientes conjuntos de
Julia son conexos
forman en el plano complejo el
famoso conjunto
de Mandelbrot.
Este es el dibujo original
que Mandelbrot
descubrió a la
comunidad científica a
finales de los 70 cuando
trabajaba en el centro de
investigación Thomas J.
Watson.
31
En la figura de la izquierda están
representados algunos conjuntos de Julia
con distintos valores de c (indicados
en el plano complejo por las líneas de
color azul). Para valores de c dentro del
conjunto de Mandelbrot la forma de los
conjuntos de Julia es semejante a
círculos. Fuera del conjunto tenemos
nubes de puntos desconectados
(conjuntos de Julia no conexos). Los
conjuntos de Julia más interesantes
estéticamente se observan
en la frontera. Las formas dendríticas de
los conjuntos de Julia corresponden a las
fronteras filamentosas del conjunto de
Mandelbrot. En la imagen inferior
puedes observar un gif animado
del efecto de la variación continua del
parámetro c en las formas de los
conjuntos J a lo largo de
una línea que va desde la frontera de M
(forma dendrítica) hasta su interior
32
(forma circular).
33
34
35
36
37
Funciones complejas
Sea S un conjunto de números complejos z = x+iy.
Una función f definida sobre S es una regla que asigna a
cada z en S un número complejo w llamado valor de f en z.
w = f(z)
–
–
–
z es una variable compleja.
S es el dominio de definición de f.
El conjunto de valores de la función f se llama rango de f.
Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos
escribir:
w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)
–
Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones
reales u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables
38
reales x e y.
Ejemplos: f ( z )  z
2
 ( x  iy )
Función de
variable
compleja
2
¿Cuáles son los
2
2
 ( x  y )  i ( 2 xy )
dominios de
definición de estas
funciones?
u ( x, y )
 2i( x  i y )  6( x  i y )
 (6 x  2 y )  i(2 x  6 y )
v( x, y )
w  u ( x, y )  iv( x, y )
Parte real
f ( z )  2 iz  6 z
w  f (z)
Parte imaginaria
¿Cuál es el valor de
en z  3  2 i ?
f (z)
f ( z )  (6 x  2 y )  i(2 x  6 y )
 (6  3  2  2)  i(2  3  6  2)
u ( x, y )
v( x, y )
 14  6 i
39
Ejemplos:
•
Polinomios de grado n:
P ( z )  c 0  c1 z  c 2 z  c 3 z  c 4 z    c n z
2
3
4
n
donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto de
cero.
P(z)
• Funciones racionales (cocientes de polinomios):
Q(z)
•
Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una
función de variable compleja con valores reales. P.ej.:
f(z)= |z|2 = x2 + y2 .
40
41
Funciones de variable real
Representación
geométrica
cartesiana
y  f ( x)
y
f ( x)  x
2
Variable real
Asignación
x
42
Funciones de variable compleja
w  f (z)
¿Cómo representarlas geométricamente?
y
Parte imaginaria
f (  1)  (  1)  1
2
Imagen
2i
f (z)  z
2
f (1  i )  (1  i )  2 i
2
Preimagen. ¿Cuál es la otra?
1 i
Parte real
Asignación
1
1
x
43
Representación mediante dos planos: z y w
z  x iy
f (z)  z
Plano z
Plano w
y
v
z3  1  i
z4  1
z1   2  i
w  u  iv
2
w1  3  4 i
w3  2i
x
w4  1
z2  1  2i
u
w2  3  4i
¿Cómo transforman (a) f(z)  z  c, (b) f(z)  iz, (c) f(z)  z ?
44
45
Transformaciones mediante funciones lineales
Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar
un problema mediante una transformación en el plano complejo.
Translación:
w  f (z)  z  c
con c  ( c1 , c 2 )
z  ( x , y )  w  ( x  c1 , y  c 2 )
Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:
w  f ( z )  bz
con b  | b | (cos   i sin  )
z  r (cos   i sin  )  r | b | [cos(    )  i sin(    )]
( r ,  )  ( r | b |,    )
46
Funciones lineales
w  f ( z )  bz  c
Translación
Rotación y alargamiento/contracción
Ejemplo:
w  f ( z )  iz  ( i  1)
Esta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.
47
La función/transformación
f (z)  z
2
z  w  z  r [cos( 2 )  i sin( 2 )]
2
2
y
v
Plano w
Plano z
x
u
¿Es biyectiva la transformación?
48
f (z)  z
2
z  w  z  r [cos( 2 )  i sin( 2 )]
2
2
y
v
Plano w
Plano z
x
u
¿Cómo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del
plano z le corresponde un solo punto del plano w, ¿cómo media
circunferencia se transforma en una entera? ¿No hay el doble de
puntos en una circunferencia que en media?
49
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
50
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
51
En general
Curva en el plano w
Curva en el plano z
Obtenemos la transformación
de la parametrización:
F ( x, y )  0
Parametrizamos la curva:
u ( t )  u [ x ( t ), y ( t )]
z  z ( t )  x ( t )  iy ( t )
v ( t )  v [ x ( t ), y ( t )]
Y de aquí la curva transformada:
 (u , v )  0
Transformación f(z)
w  f ( z )  u ( x , y )  iv ( x , y )
52
¿En qué curva se transforma una circunferencia de radio
unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z2?
Circunferencia de radio unidad
centrada en el origen:
F ( x, y )  x  y  1  0
2
2
Parametrizamos.
Todos los puntos de la cincurferencia
pueden expresarse como:
z  z ( t )  cos t  i sin t , t  [ 0 , 2  )
La transformación es:
f ( z )  z  ( x  iy ) 
2
2
 ( x  y )  i ( 2 xy )
2
z  x  iy ; x ( t )  cos t , y ( t )  sin t
2
En componentes:
u ( x, y )  x  y
2
v ( x , y )  2 xy
Usando la parametrización:
u ( t )  (cos t )  (sin t )  cos( 2 t )
2
2
v ( t )  2 cos t sin t  sin( 2 t )
2
Que nos proporciona la curva:
 (u , v )  u  v  1  0
2
2
La imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en el
origen dando dos vueltas.
53
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
54
Encuentra la imagen de la línea Re(z) = 1 bajo la
transformación f(z) = z2. f ( z )  z 2  ( x  iy ) 2
u ( x, y )  x  y  1  y
2
Re(z) = x = 1,
2
2
v ( x , y )  2 xy  2 y
y  v / 2 , entonces
u  1 v / 4
2
55
¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el
plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w?
xk
z  k  iy
u ( x, y )  x  y  k  y
2
2
2
2
v ( x , y )  2 xy  2 ky
2
k u
 2
2
2
v


4
k
(
u

k
)
v

y

2k 
y
La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda:
con vértice en (k2, 0) y foco en el origen.
Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas
hacia la derecha):
y k
u ( x, y )  x  y  x  k
z  x  ik
v ( x , y )  2 xy  2 kx
2
2
2
2
2
u  k 
2
2
2
v

4
k
(
u

k
)
v

x
2 k 
x
56
Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observa
como las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, se
convierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales,
formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolas
abiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y
rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme.
.
http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex.html
Douglas N. Arnold
57
f  ( z )  (1   ) z   z
2
;   [ 0 ,1]
58
59
60
Observa que puesto
que la transformación
w = f(z) = z2 es:
u ( x, y )  x  y
2
2
v ( x , y )  2 xy
( x , y )  ( x  y , 2 xy )
2
2
Los puntos z sobre la hipérbola x2 – y2 = k se transforman en lineas u = k.
Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k’ se transforman en lineas v = k’.
61
2
f(z) = z
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
Rango
62
3
f(z) = z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
63
64
Límite de una función compleja
Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y
se escribe:
lim f ( z )  w 0
z  z0
si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0 mismo) y si:
 real  > 0,  un real  > 0:  z  z0 , y |z - z0| < , entonces |f(z) - w0| < .
y
v


z0
f(z)
En general =(, z0)
w0
Si el límite existe,
es único.
z
x
u
Es decir: si dado un entorno de radio  alrededor del límite, podemos
determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.
65
Observemos que como en el caso de variable real, la definición
de límite no nos dice cómo encontrarlo.
Demostremos que:
lim ( z  i )  2 i
zi
Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso:
f (z)  z  i
| z  z 0 | | z  i |
| f ( z )  w 0 | | ( z  i )  2 i | | z  i |
0  | z  i | 
Tomando  = ,
por ejemplo,
siempre se
cumple.
0  | z  i | 
Ejercicio: Demostrar que si el límite existe,
es único. (Nota: Suponer dos valores distintos
para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces
que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).
66
¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda
de variable real en el caso de variable compleja?
En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de
una infinidad de trayectorias. Por ejemplo:
y
f ( z )  Arg z
   Arg z   
C2
Toda vecindad de z0 contiene
valores de Arg z en el segundo
cuadrante arbitrariamente cerca
de , pero también del tercer
cuadrante arbitrariamente cerca
z0
de   . Acercándonos por C1 y por
C2 obtenemos dos valores distintos
del límite.
x
C1
67
x x
2
Ejemplo
f (z) 
x y
i( y  y )
2

x y
Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0).
Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0.
(1) Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomando
x=0 en f(z), tenemos:
Que se aproxima a i,
a medida que nos
acercamos al origen.
i( y  y )
2
f (z)
x0

 i ( y  1)
y
(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x:
Que tiende a 1.
2
x x
Como el límite por ambos
f ( z ) y0 
 x 1
caminos no coincide, el
x
límite no existe.
68
69
Ejercicios:
(1) Sean: f ( z )  u ( x , y )  i v ( x , y ), z 0  x 0  iy 0 y w 0  u 0  iv 0
Entonces:
lim f ( z )  w 0 sii
z  z0
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
u ( x, y )  u0 y
lim
( x , y ) ( x0 , y0 )
v ( x, y )  v0
(2) Demostrar que si
lim
z  z0
f ( z )  w 0  lim | f ( z ) | | w 0 |
z  z0
Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad:
| f ( z ) |  | w0 |  | f ( z )  w0 |
70
Propiedades de los límites
Sean w0 y w'0 los límites, cuando z
tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces:
lim [ f ( z )  g ( z )]  w 0  w 0
lim [ f ( z )  g ( z )]  w 0  w 0
'
'
z  z0
lim
z  z0
f (z)
g (z)

w0
w
si w  0
'
0
'
0
2
z  z0
2
z  z0
lim z  w 0
n
Nota: Es fácil demostrar estas
propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).
lim z  w 0
En particular si f(z) = g(z) = z :
y por inducción:
z  z0
n
Como además:
lim c  c
z  z0
Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn,
tendremos: lim P ( z )  P ( z 0 )
z  z0
71
Ejercicio: Demostrar que
lim f ( z )  lim f ( z )
z  z0
z  z0
72
Punto del infinito
73
Punto del infinito
•El número complejo infinito o punto del infinito,
denotado por  , no posee signo ni argumento.
•Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo.
•¿Es un punto del plano complejo? No es localizable,
pero sí “alcanzable” a través de cualquier trayectoria
en la que |z| sea creciente.
•Se “opera” como en los reales. Por ejemlo:
z /  = 0, z/0 =  , etc.
•Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito  ,
hablamos de plano complejo extendido.
74
Ejemplo: Sea
f (z) 
z 1
z2
Determina la imagen para z = ∞.
1
z 1
1
1
z
lim f ( z )  lim
 lim
 1
z 
z  z  2
z 
2 1
1
z
Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1.
Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el infinito
es encontrar la imagen de 1/z para z =0.
1
1
1 z
1
z
lim f    lim
 lim
1
z 0
z 0 1  2 z
 z  z 0 1  2
z
75
Algunas relaciones útiles:
lim f ( z )   
lim
1
0
z  z0
z  z0
lim f ( z )  w 0 
1
lim f    w 0
z 0
z
z 
lim f ( z )   
z 
lim
z 0
f (z)
1
1
f 
z
0
76
77
78
Sol.: a) 4, b) ∞, c) ∞, d) 0, e) No existe, f) 6i.
Sol.: No existe.
79
La esfera de Riemann
Bernhard Riemann
(1826 - 1866)
Esfera de radio unidad centrada en
el cero del plano complejo.
Proyección estereográfica: hacemos
corresponder cada punto del plano con
un punto de la esfera como muestra la
gráfica. El polo norte N de la esfera
corresponde al punto del infinito.
80
Otra forma de la
esfera de Riemann
Ahora ya podemos definir
límites al infinito. Si
lim f ( z )  w 0
z 
para todo real  > 0,  un real
> 0: |f(z) - w0| <  para todo
z: |z|> 1/.
O:
lim
z  z0
f (z)  
si para todo real  > 0,  un real  > 0:
|f(z)| < 1/ siempre que |z - z0| < .
81
Espirales esféricas de M.C. Escher
La proyección estereográfica tiene dos
propiedades importantes: las circunferencias
siempre se transforman en circunferencias y
la transformación conserva ángulos.
| z | r  Arg( z )
Espiral de Arquímedes. Dado que    Arg z    , la ecuación
anterior solo representa una espira de la espiral.
82
83
84
Funciones complejas continuas
Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0)
está definida en z0 y lim f ( z )  f ( z 0 )
z  z0
Decimos que f(z) es continua
en una región si es continua
en todo punto de la región.
(Nota: si en el límite  = (, z0)
no depende de z0, la continuidad
es uniforme).
Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones
continuas son continuas. El cociente de dos funciones
continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el
denominador. La composición de funciones continuas es
continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa:
f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.
85
Ejemplo:
 z2 1

, z i
Sea: f ( z )   z  i

3i , z  i
¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido.
(2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i:
z 1
2
lim
zi
zi
 lim
zi
( z  i )( z  i )
zi
 lim ( z  i )  2 i
zi
El límite existe pero no coincide con el valor de la función:
la función no es continua.
86
Funciones continuas
Ejercicios:
(1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán
continuas en todo punto en el que f(z) lo sea.
(2) Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que
u(x,y) y v(x,y) lo sean.
Nota: Recuerda que, u(x,y) será continua en (a,b) sii
lim(x,y)→(a,b) u(x,y) = u(a,b).
87
Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva,
excluyendo al origen. En coordenadas polares la
transformación es:
( r ,  )  (1 / r ,  )
Una inversión en el círculo
unidad (lo de fuera pasa adentro
y al contrario) seguida de una
reflexión respecto al eje x.
Las circunferencias de radio r se
convierten en circunferencias de
radio 1/r. En particular, una
circunferencia de radio unidad
permanece invariante.
88
( r ,  )  (1 / r ,  )
f(z) = 1/z
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio
Rango
Biyección
"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a
microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor
89
( r ,  )  (1 / r ,  )
f(z) = 1 /z
E sq u e m a d e c o lo r d e p e n d ie n te d e l m ó d u lo
D o m in io
Rango
?
¿Qué figura permanece invariante?
90
Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American.
Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.
http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html
91
Planos z y w
superpuestos
Una línea que pase por el centro O, permanece
invariante...
Una línea que no pase por el centro O se
transforma en un círculo k que pasa por O (y al
revés) y está completamente dentro del círculo
unitario de inversión c.
Si la línea es tangente al círculo unitario de
inversión c, el círculo k toca en el mismo punto
a la línea y al centro O.
...
Vamos a describirlo con algo de mates...
92
Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
f (z) 
1

z
x  iy 
x
u  iv
u
u v
2
2
x
x  y
2
x  iy
1
y simétricam
u 
1
2

; y
 u ( x , y )  iv ( x , y );
u
u v
2
i
2
v
u v
2
2
;
v
u v
2
2
ente :
;v
 y
x  y
2
2
93
Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación
f(z) = 1/z?
1
1
1
u
v
f (z)  
 u  iv ; x  iy 
 2
i 2
;
2
2
z
x  iy
u  iv
u v
u v
La recta a transforma
x
u
u v
2
u v 
2
2
2
u
c
 c; y  
r es : x  c ( y   cualquier
v
u v
2
2
 0;
2
 ;
1 

 1 
2
u 
 v 

2c 

 2c 
Es decir, un círculo de centro
(1/(2c), 0) que pasa por el
origen.
El semiplano x > c se
transforma en el interior del
círculo.
valor )
2
94
Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta
en el plano z en la forma:
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
(a, b, c, d   )
2
a  0  ecuación
de un círculo
a  0  ecuación
de una recta
Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
x
2
u
u v
2
2
; y
v
u v
2
2
2
2

u
u
v

 v  
a  2
c 2
d 0
  2
 b 2
2
2
2
2
u v
u v
 u  v  
  u  v 
a  bu  cv
u v
2
2
d 0
d ( u  v )  bu  cv  a  0
2
2
95
a ( x  y )  bx  cy  d  0
2
2
a  0  ecuación
(a, b, c, d   )
de un círculo
a  0  ecuación
de una recta
Se transforma bajo 1/z en: d ( u 2  v 2 )  bu  cv  a  0
d  0  ecuación
de un círculo
d  0  ecuación
de una recta
(1) a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro
se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro
se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro
se transforman en círculos que pasan por el centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman
en rectas que pasan por el centro.
De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma
círculos en círculos.
96
f(z) = 1 /z
E sq u e m a d e c o lo r d e p e n d ie n te d e l a rg u m e n to
D o m in io
Rango
97
u = 1/a
u = -1/b
v = -ku
b = 0; u = -v
b distinto de 0; en
circunferencias.
circunf.
u2 = -v3 /(1+v)
98
Transformaciones bilineales o de Möbius
M (z)  w 
az  b
cz  d
( ad  bc  0 , a , b , c , d  C )
La transformación inversa es
también bilineal:
M
1
(w)  z 
 dw  b
cw  a
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c.
Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.
El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
99
M (z)  w 
az  b
cz  d
( ad  bc  0 , a , b , c , d  C )
100
Cuando c  0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y
entonces:
lim T ( z )   ,
z  z0
Escribirem
os T ( z 0 )   . Si, además,
lim T ( z )  lim
z 
y escribirem
z 
ab/z
cd /z

a
c  0 , entonces
,
c
os T (  )  a / c .
Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
T ( 0 )  1 /(  i )  i , T (  )  lim T ( z )  2 ,
z 
T ( i )  lim T ( z )   , T ( i )  
zi
101
Las transformaciones de Möbius son biyecciones
102
¿Cómo transforma la bilineal?
d  
ad 
ad 


a z     b 

b 

az  b
c  
c  a 
c 

f (z)  w 

 
d 
cz  d
c
cz  d

c z  
c 

De modo que cualquier
ad


transformación bilineal
b 

a 
c 
puede obtenerse como
z '  cz  d


una composición de una
c
z'
transformación lineal
1
a bc  ad 
y una transformación 1/z.
z''


z''
z'
c
c
Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de
círculos y líneas en sí mismo.
103
b) Determinar la imagen de la región
considerar la transformación:
f (z) 
z
2z  8

1
2

2
f (z) 
al
z
2z  8
C: z2 2
z4
2
z' z  4
z  2  2,
Re(z)
4
( traslación )
z ' 6  2
2
4
6
8
Re(z')
Examen
JUNIO 04/05: P-1
104
f (z) 
1
2
z''

z
2z  8
2

1
2

2
C: z2 2
z4
C : z ' 6  2
z'
Recordemos cómo actúa la inversión:
1
z'
a ( x  y )  bx  cy  d  0  d ( u  v )  bu  cv  a  0
2
2
2
2
z ' 6  2  ( x  6 )  y  2  ( x  y )  12 x  32  0 
2
2
2
2
2
2
1
3 

2

 32 ( u  v )  12 u  1  0   u 
 v 
2
16
16 

2
2
 z ' '
3
16

1
z ' '
16
16
...exterior del círculo...
3
3/16 1/4

1
16
Re(z'')
105
f (z) 
1

2
1
2
z
2z  8

8

2
C: z2  2
z4
C : z ' 6  2
z'
 2 z''
z ' '
3
16
z''' 2z''
z ' ' '

2
2
3
1
( homotecia

1
16
)
1
8
...seguimos en
el exterior del círculo...
3/8
1/2
Re(z''')
106
i
Z   z''' e z'''
( giro de todos los afijos 180º ,
manteniend
Z 
3

8
w 
claro )
1
8
-1/2
1
o el módulo,
Z
Re(Z)
-3/8
( traslación )
2
w
1
8

1
8
1/8
1/4
Re(Z)
107
Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0.
Encontrar la imagen del semiplano infinito
za
w
superior bajo la transformación bilineal:
za
Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el
eje x, tenemos:
|za|
| z  a | | z  a |
| w |
1
|za|
De modo que el eje x
se transforma en el
círculo unidad con
centro en el origen.
z = a se transforma en
w = 0 (un punto interior
del círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que
la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.
108
109
110
111
112
113
114
115
Möbius Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness
which depicts the beauty of Möbius transformations and shows how moving to a higher
dimension reveals their essential unity. It was one of the winners in the 2007 Science and
Visualization Challenge and was featured along with the other winning entries in the September
28, 2007 issue of journal Science. The video, which was first released on YouTube in June 2007,
has been watched there by more than a million viewers and classified as a "Top Favorite of All
Time" first in the Film & Animation category and later in the Education category. It has been
selected for inclusion in MathFilm Festival 2008.
116
Tripletes a Tripletes
Observa que podemos crear una transformación de Moebius
a partir de tres puntos:
 z 2  z 3  z  z 1 az  b
z  z1 z 2  z 3
M (z) 



 z 2  z 1  z  z 3 cz  d
z  z 3 z 2  z1
b   z1 ; d   z 3 ;
a  z2  z3  z2  d ;
c  z 2  z1  z 2  b .
esta transformación tendrá un cero en z = z1 (T(z1) = 0 ,
T(z2) = 1 y tiene un polo en z = z3 (T(z3) = ). De modo
que T(z) transforma los complejos z1, z2, z3 en 0, 1, e ,
respectivamente.
117
De la misma manera, la transformación de
Moebius:
S (w) 
w  w1 w 2  w 3
w  w 3 w 2  w1
transforma w1, w2, w3 en 0, 1 e , y S-1 transforma
0, 1 e  en w1, w2, w3.
De modo que w = S-1(T(z)) transforma el triplete
z1, z2, z3 en el triplete w1, w2, w3. Observa que
como w = S-1(T(z)), tenemos que S(w) = T(z) y
w  w1 w 2  w 3
w  w 3 w 2  w1

z  z1 z 2  z 3
z  z 3 z 2  z1
118
Ejemplo:
Construye una transformación de Moebius que
transforma los puntos 1, i, −1 sobre el círculo unidad
|z| = 1 a los puntos −1, 0 y 1 sobre el eje real.
w  w1 w 2  w 3
w  w 3 w 2  w1
w 1
0 1
w  1 0  (  1)


z  z1 z 2  z 3
z  z 3 z 2  z1
z 1 i 1
z 1 i 1
o 
w 1
w 1
 i
z 1
z 1
Despejando w, tenemos w = −i(z – i)/(z + i).
119
120
121
122
Ejemplo: Construye una transformación de
Moebius que transforma los puntos , 0, 1 sobre
el eje real en los puntos 1, i, −1 sobre el círculo
|w| = 1.
Puesto que z1 = , los términos z − z1 y z2 − z1 en:
T (z) 
son 1. Y entonces:
w 1 i 1
w 1 i 1

z  z1 z 2  z 3
z  z 3 z 2  z1
1
0 1
z 1
1
o S (w)  i
w 1
w 1

1
z 1
 T (z)
123
Versión matricial
Podemos asociar la transformación bilineal a una matriz:
a
La matriz A  
c
Si T1 ( z ) 
entonces
a

c
a 1 z  b1
c1 z  d 1
b
 representa
d
, T2 ( z ) 
la transform ació T ( z ) 
a 2 z  b2
c2 z  d 2
b 2   a1
 
d 2   c1
cz  d
,
T 2 (T1 ( z )) viene dada por T ( z ) 
b   a2
  
d   c2
az  b
az  b
cz  d
b1 

d1 
124
Si w  T ( z ) 
az  b
cz  d
y podemos escribir
La matriz asociada
Ejemplo
: Si T ( z ) 
Sea S (T ( z )) 
-1
a

c
b
1
  adj 
d
i
az  b
cz  d
 i

 1
2z 1
z2
, donde
2

1
 1

2 
z
, entonces
:T
1
es :
(w) 
dw  b
 cw  a
dw  b
 cw  a
 d
adj A  
 c
y S (z) 
1
 
i
entonces
zi
iz  1
i  2
 
1  1
:S
1
.
b

a 
, encontrar
-1
S (T ( z )).
 1   2  i
  
2   1  2i
(T ( z )) 
 1  2i 
 ,
2i 
( 2  i) z  1  2i
(1  2 i ) z  2  i
125
Jos Leys
http://www.josleys.com/
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
La banda de Moebius
(Möbius strip)
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
Max Bill, “Endless surface”. From 1953 to 1956.
Size125 x 125 x 80 cm. Open air Sculpture
Middlelheim Museum, Antverpen, Belgium.
139
140
Moebius Strip II, M. C. Escher (1963)
141
142
Descargar

2. Funciones