MATRICES: APLICACIÓN EN
ECUACIONES DIFERENCIALES
UNPSJB-FACULTAD DE INGENIERIA
ALGEBRA YGEOMETRIA
2009
MODELO BIOLÓGICO DE
CRECIMIENTO DE POBLACIÓN
Nuestro objetivo será analizar como varían los tamaños de las
poblaciones de dos especies S1 y S2 , que interactúan entre sí
en cierto tiempo t.
x1 ( t ) :
población
de la especie
S 1 en el tiempo t .
x 2 (t ) :
población
de la especie
S 2 en el tiempo t .
Si x(t) representa la población de cierta especie en un tiempo t.
La tasa de crecimiento de x(t) es:
x ( t ) 
dx
dt
Si dicha tasa es una constante a , entonces
dx
 a  x ( t )  at  c
  
dt
Función
Lineal
Tasa relativa de crecimiento:
Tasa real de crecimient o

x ( t )
Tamaño de población
x ( t )
a

x (t )
x  ( t )  a x ( t ) Ecuación
diferencia l ( E . D .)
x (t )
Solución propuesta
x (t )  c e
Si se tiene una condición inicial
x (t )  x 0 e
at
x 0  x( 0 )  c
at
Esta solución satisface la E.D. con la condición inicial dada.
Consideremos las dos poblaciones S1 y S2 relacionadas por dos E.D.
 x1 ( t )  a 11 x1 ( t )  a 12 x 2 ( t )

 x 2 ( t )  a 21 x1 ( t )  a 22 x 2 ( t )
(*)
(Sistema de Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden)
Si llamamos
 x1 ( t ) 
 ,
x  ( t )  

 x 2 ( t ) 
 x1 ( t ) 

x ( t )  

 x 2 (t ) 
y
 a 11
A  
 a 21
Entonces (*) se puede escribir en notación matricial:
x ( t )  A x ( t )
Se puede esperar que la solución tenga la forma
At
x0
siendo
x (t )  e x 0
 x (0)
a 12 

a 22 
¿ Cómo calculamos
e 1 t 
t
t
2

2!
t
e
?
At
3
 .... 
3!
t
n
 .......
n!
n !  n .( n  1).... 2 . 1
Definimos
e
A
1 A 
A
2
2!

A
3
3!
 .... 
A
n
n!
 .......
Ejemplo: Cálculo de
diagonal
1

Sea A   0
0

0
2
0
 t2

 2!

 0


 0

e
0
2 2
2 t
2!
0
At
cuando A es una matriz
At
 12
0


2
0  . Entonces A   0

3 
0

0
2
2
0
 13
0 


3
0  ; A 0

2 
3 
0


1

A t
A t
 I  At 

 .......... .....   0
2!
3!
0

2 2
Entonces
e

0 


0   .......... .......

2 2
3 t 

2! 
3 3
 et

0

0

0
e
2t
0
0
1
0
0 

0 
3t 
e 

0
2
3
0
0  t
 
0  0
1   0
0

0  ; etc .
3
3 

0
2t
0
0

0
3 t 
Si A es una matriz diagonalizable, es decir existe una matriz
C invertible tal que D  C  1 AC o A  CDC  1, entonces
e
At
 Ce
Dt
C
1
Ejemplo: Un Modelo Competitivo
Considere el sistema:
 x1 ( t )  3 x1 ( t )  x 2 ( t )

 x 2 ( t )  2 x1 ( t )  2 x 2 ( t )
Aquí un aumento en la población de una especie causa una
disminución en la tasa de crecimiento de la otra. Suponga que
las poblaciones iniciales son x1 ( 0 )  90 y x 2 ( 0 )  150 .
Encuentre las poblaciones de ambas especies para t  0 .
Solución:
 x1 ( t ) 
 3

; A
x ( t )  
 2


 x 2 ( t ) 
La solución del sistema
 80 e t
x (t )  
 160 e t

 30 e
4t
 10 e
4t




 1
 ;
2 
 x1 ( t ) 
;
x ( t )  

 x 2 (t ) 
de E . D . x  ( t )  A x ( t )
 90
x 0  
 150
es



x (t )  e x 0
At
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FORMA MATRICIAL DE ECUACIONES DIFERENCIALES